2025屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試專題強化練九統(tǒng)計案例

專題強化練(九)統(tǒng)計案例1．(2024·佛山二模)2024年3月5日，國務院總理李克強在政府工作報告中指出“著力擴大消費和有效投資．面對需求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動消費盡快復原．幫扶旅游業(yè)發(fā)展．圍繞補短板、調結構、增后勁擴大有效投資．”某旅游公司為確定接下來五年的發(fā)展規(guī)劃，對2013—2024這十年的國內旅客人數(shù)作了初步處理，用xi和yi分別表示第i年的年份代號和國內游客人數(shù)(單位：百萬人次)，得到下面的表格與散點圖．年份2013201420152016201720242024202420242024年份代碼x12345678910國內游客數(shù)y3262361139904432500055426006287932462530(1)2024—2024年疫情特別時期，旅游業(yè)受到重挫，現(xiàn)剔除這三年的數(shù)據(jù)，再依據(jù)剩余樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，7)建立國內游客人數(shù)y關于年份代號x的一元線性回來模型；(2)2024年春節(jié)期間旅游市場旺盛火爆，預料2024年國內旅游人數(shù)約4550百萬人次，假如2024—2027年能持續(xù)2013—2024年的增長勢頭，請結合以上信息預料2027年國內游客人數(shù)．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))x.參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,)yi＝31843，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－4)(yi－4549)＝13104.解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,)yi＝eq\f(31843,7)＝4549，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－4)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)（xi－4）（yi－4549）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2),eq\f(13104,28)＝468，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝4549－468×4＝2677，所以國內游客人數(shù)y關于年份代號x的一元線性回來模型為eq\o(y,\s\up6(^))＝468x＋2677.(2)在eq\o(y,\s\up6(^))＝468x＋2677中，取x＝11，可得eq\o(y,\s\up6(^))＝468×11＋2677＝7825.即預料2027年國內游客人數(shù)為7825百萬人次．2．(2024·廣東模擬)數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學嬉戲，玩家須要依據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出全部剩余空格的數(shù)字，并滿意每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數(shù)字均含1～9，不重復．數(shù)獨愛好者小明準備報名參與“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的競賽．(1)賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度y(秒)與訓練天數(shù)x(天)有關，經統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：x/天1234567y/秒990990450320300240210現(xiàn)用y＝a＋eq\f(b,x)作為回來方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回來方程，并預料小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數(shù)據(jù)：其中ti＝eq\f(1,xi)eq\i\su(i＝1,7,)tiyieq\o(t,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,7,)teq\o\al(2,i)－7eq\o(t,\s\up6(－))218450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)uivi－n\o(u,\s\up6(－))·\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ueq\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))·eq\o(u,\s\up6(－)).(2)小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時起先解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得競賽．若小明每局獲勝的概率為eq\f(2,3)，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請你估計小明最終贏得競賽的概率．解：(1)由題意，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，令t＝eq\f(1,x)，設y關于t的線性回來方程為y＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti·yi－7\o(t,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)teq\o\al(2,i)－7\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f(1845－7×0.37×500,0.55)＝1000，則eq\o(a,\s\up6(^))＝500－1000×0.37＝130.所以y＝1000t＋130，又t＝eq\f(1,x)，所以y關于x的回來方程為y＝eq\f(1000,x)＋130，故x＝100時，y＝140.所以經過100天訓練后，每天解題的平均速度y約為140秒．(2)設競賽再接著進行X局小明最終獲得競賽，則最終一局肯定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有輸贏．當X＝2時，小明4∶1勝，所以P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)；當X＝3時，小明4∶2勝，所以P(X＝3)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；當X＝4時，小明4∶3勝，所以P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27).所以小明最終贏得競賽的概率為eq\f(4,9)＋eq\f(8,27)＋eq\f(4,27)＝eq\f(8,9).3．(2024·普寧校級二模)2024年10月份黃山市某開發(fā)區(qū)一企業(yè)順當開工復產，該企業(yè)生產不同規(guī)格的一種產品，依據(jù)檢測標準，其合格產品的質量y(單位：g)與尺寸x(單位：mm)之間近似滿意關系式y(tǒng)＝c·xb(b、c為大于0的常數(shù))．依據(jù)某項指標測定，當產品質量與尺寸的比在區(qū)間(eq\f(e,9)，eq\f(e,7))內時為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機抽取6件合格產品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸x/mm384858687888質量y/g16.818.820.722.42425.5質量與尺寸的比eq\f(y,x)0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)試求隨機變量ξ的分布列和期望；(2)依據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關統(tǒng)計量的值如表：eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi·lnyi)eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)eq\i\su(i＝1,6,)(lnyi)eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)275.324.618.3101.4①依據(jù)所給統(tǒng)計量，求y關于x的回來方程；②已知優(yōu)等品的收益z(單位：千元)與x，y的關系為z＝2y－0.32x，則當優(yōu)等品的尺寸x為何值時，收益z的預報值最大？(精確到0.1)參考公式：對于樣本(vi，ui)(i＝1，2，…，n)，其回來直線u＝b·v＋a的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（vi－\o(v,\s\up6(－))）（ui－\o(u,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（vi－\o(v,\s\up6(－))）2)eq\f(\i\su(i＝1,n,)viui－n\o(v,\s\up6(－))\o(u,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(u,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))·eq\o(v,\s\up6(－)),e≈2.7182.解：（1）由已知，優(yōu)等品的質量與尺寸的比在區(qū)間(eq\f(e,9)，eq\f(e,7))內，即eq\f(y,x)∈（0.302，0.388）則隨機抽取的6件合格產品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品.現(xiàn)從抽取的6件合格產品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)ξ＝0，1，2，3P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20).ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2).(2)對y＝c·xb(b，c>0)兩邊取自然對數(shù)得lny＝lnc＋blnx，令vi＝lnxi，ui＝lnyi，得u＝b·v＋a，且a＝lnc，①依據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)vi·ui－n\o(v,\s\up6(－))·\o(u,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)＝eq\f(75.3－24.6×18.3÷6,101.4－24.62÷6)＝eq\f(0.27,0.54)＝eq\f(1,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(u,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(v,\s\up6(－))＝(18.3－eq\f(1,2)×24.6)÷6＝1，得eq\o(a,\s\up6(^))＝lneq\o(c,\s\up6(^))＝1，故eq\o(c,\s\up6(^))＝e.所求y關于x的回來方程為y＝e·xeq\s\up6(\f(1,2))，②由①可知，eq\o(y,\s\up6(^))＝e·xeq\s\up6(\f(1,2))，則eq\o(z,\s\up6(^))＝2eeq\r(x)－0.32x，由優(yōu)等品質量與尺寸的比eq\f(\o(y,\s\up6(^)),x)＝eq\f(ex\s\up6(\f(1,2)),x)＝eq\f(e,\r(x))∈(eq\f(e,9)，eq\f(e,7))?eq\r(x)∈(7，9)，即x∈(49，81)．令t＝eq\r(x)∈(7，9)，eq\o(z,\s\up6(^))(t)＝－0.32t2＋2et＝－0.32(t－eq\f(e,0.32))2＋eq\f(e2,0.32)，當t＝eq\r(x)＝eq\f(e,0.32)≈8.5∈(7，9)時，eq\o(z,\s\up6(^))取最大值，即優(yōu)等品的尺寸x≈72.3(mm)，收益eq\o(z,\s\up6(^))的預報值最大．4．(2024·深圳二模)飛盤運動是一項入門簡潔，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經成為了年輕人運動的新潮流．某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區(qū)的年輕人進行了簡潔隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表：性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中依據(jù)性別采納分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián)？假如把上表中全部數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請說明其中的緣由．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.010.001xα2.7066.63510.828解：(1)樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4∶6，依據(jù)性別采納分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人，隨機變量X的取值為：0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，隨機變量X的分布列為：X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).(2)零假設為H0：愛好飛盤運動與性別無關聯(lián)．依據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經計算得到χ2＝eq\f(50×（6×24－4×16）2,10×40×22×28)≈1.299<6.635＝x0.01，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即認為愛好飛盤運動與性別無關聯(lián)；列聯(lián)表中全部數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍后，χ2＝eq\f(500×（60×240－40×160）2,100×400×220×280)≈12.99>6.635＝x0.01，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，推斷H0成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián)；所以結論不一樣，緣由是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結論發(fā)生了改變．5．(2024·高州一模)小家電指除大功率、大體積家用電器(如冰箱、洗衣機、空調等)以外的家用電器，運用場景廣泛，近年來隨著科技發(fā)展，智能小家電市場規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢，如表為2017—2024年中國智能小家電市場規(guī)模(單位：千億元)，其中2017—2024年對應的代碼依次為1～5.年份代碼x12345市場規(guī)模y0.91.21.51.41.6(1)由表數(shù)據(jù)可知，可用線性回來模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于x的閱歷回來方程(系數(shù)精確到0.01)；(3)某傳媒公司為了了解中國智能小家電消費者年齡分布，隨機調查了200名消費者，統(tǒng)計這200名消費者年齡，依據(jù)青少年與中老年分為兩組，得到如下2×2列聯(lián)表：青少年中老年合計喜愛購買智能小家電80不喜愛購買智能小家電60合計110200依據(jù)α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為是否喜愛購買智能小家電與年齡有關？參考數(shù)據(jù)：eq\o(y,\s\up6(－))＝1.32，eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝21.4，eq\r(eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2)≈0.55，eq\r(10)≈3.16，參考公式：相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(y,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)),回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.附：a0.100.0100.001xa2.7066.63510.828解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝1.32，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＝10,eq\r(eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2)≈0.55，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝1.6，故r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(y,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))≈eq\f(1.6,3.16×0.55)≈0.92，y與x的相關系數(shù)近似為0.92，y與x的線性相關程度較高，可以用線性回來模型擬合y與x的關系．(2)eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝21.4，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝55，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi·yi－5\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(21.4－5×3×1.32,55－5×32)＝0.16，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1.32－0.16×3＝0.84，故y關于x的閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.16x＋0.84.(3)2×2列聯(lián)表如下：青少年中老年合計喜愛購買智能小家電8030110不喜愛購買智能小家電306090合計11090200因為χ2＝eq\f(200×（80×60－30×30）2,110×90×110×90)≈31.038>10.828，所以依據(jù)α＝0.001的獨立性檢驗，能認為是否喜愛購買智能小家電與年齡有關．6．(2024·惠州校級模擬)某企業(yè)生產的產品按質量分為一等品和二等品，該企業(yè)安排對現(xiàn)有生產設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產的大量產品中各抽取200件產品作為樣本，產品的質量狀況統(tǒng)計如表：一等品二等品合計設備改造前12080200設備改造后15050200合計270130400附：χ2＝eq\f