專題函數(shù)對稱性周期性和奇偶性的規(guī)律講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆高三一輪復(fù)習(xí)專題講義——函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)周期性：對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。對稱性定義（略），請用圖形來理解。對稱性：我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答案是肯定的探討：（1）函數(shù)關(guān)于對稱也可以寫成或若寫成：，函數(shù)關(guān)于直線對稱（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱或若寫成：，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱周期性：（1）函數(shù)滿足如下關(guān)系系，則A、B、定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理4：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理5：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.兩個函數(shù)的圖象對稱性 與關(guān)于X軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。與關(guān)于Y軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。與關(guān)于直線對稱。函數(shù)的軸對稱：定理1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.推論1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.推論2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線（y軸）對稱.特別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡化.函數(shù)的點(diǎn)對稱：定理2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.推論3：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.推論4：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.特別地，推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.三、試題1．已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間，且，則的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能為0D．可正可負(fù).分析：形似周期函數(shù)，但事實上不是，不過我們可以取特殊值代入，通過適當(dāng)描點(diǎn)作出它的圖象來了解其性質(zhì).或者，先用代替，使變形為對稱.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個單位.，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又由，有，.選A.當(dāng)然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為A.2：6.在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則() 上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù) 上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)分析：由可知圖象關(guān)于為偶函數(shù)圖象關(guān)于對稱，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合在區(qū)間上是減函數(shù)，可得如右草圖.故選B既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為，則可能為（） D.5分析：，，∴，則可能為5，選D.4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，且當(dāng)時，.求的值.分析：由推論1可知，的圖象關(guān)于直線對稱，即，同樣，滿足，現(xiàn)由上述的定理3知是以4為周期的函數(shù).，同時還知是偶函數(shù)，所以.5．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則（） A．0 B．1 C． D．56．設(shè)f（x）是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f（x）在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則下面正確的結(jié)論是（）(A)；(B)；(C)；(D)7．設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)y＝f(x)是定義在上的周期函數(shù)