專題04 一次函數(shù)中的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題（解析版）-2024年?？?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

專題04一次函數(shù)中的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題類型一、菱形問(wèn)題例1．（1個(gè)動(dòng)點(diǎn)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，．

(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出直線的解析式．(2)如圖2，直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，且交y軸于點(diǎn)C，連接，若點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P使得時(shí)，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P在直線上且在第三象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在其它點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)或者(3)存在，【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，進(jìn)而可求出，由圖可知，問(wèn)題隨之得解；（2）根據(jù)直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，可得點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，根據(jù)，，可得，進(jìn)而可得直線的解析式，則，利用勾股定理可得，，，根據(jù)，即可得；根據(jù)點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線的解析式，可得設(shè)，即有，，問(wèn)題隨之得解；（3）在（2）中已得：直線的解析式，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)P在直線上且在第三象限內(nèi)，可得，為鈍角，即點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形為菱形，根據(jù)，可得，解得：（正值舍去），進(jìn)而可得，在菱形中，利用平移可得．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∴由圖可知，將代入中，有，解得：，則直線的解析式；（2）∵直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，∴點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，∵，，∴，將代入中，有，解得：，∴直線的解析式，當(dāng)時(shí)，，即，∵，，，∴，同理：，，∵直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線的解析式，∴設(shè)，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或者；（3）在（2）中已得：直線的解析式，設(shè)，∵點(diǎn)P在直線上且在第三象限內(nèi)，∴，∵，，∴，∵點(diǎn)P在直線上且在第三象限內(nèi)，∴為鈍角，∴點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形為菱形，∴，∴，解得：（正值舍去），∴，∵在菱形中，將向上平移線段長(zhǎng)的距離即可得到線段，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平移，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用勾股定理求出兩點(diǎn)間的距離和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答本題的關(guān)鍵．例2．（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且．

(1)求兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)坐標(biāo)為或(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)的交點(diǎn)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）運(yùn)用待定系數(shù)求出直線的解析式，設(shè)，可以用含的式子表示，分類討論：點(diǎn)在第三象限；點(diǎn)在第一象限；圖形結(jié)合即可求解；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分類討論：如圖所示，以為對(duì)角線，四邊形為菱形，可得點(diǎn)在點(diǎn)上方和點(diǎn)在點(diǎn)下方兩種情況；以為對(duì)角線，四邊形為菱形；以為對(duì)角線，四邊形為菱形；圖形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：∵直線分別交軸、軸于點(diǎn)，∴令，，令，，∴，，∴，在中，，∴，∵點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，∴．（2）解：由（1）可知，，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵，，∴在中，，∵，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∴①當(dāng)點(diǎn)在第三象限，設(shè)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，∴，，，∴，，∴，∴，解得，，則，∴；②當(dāng)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，，

∴，，，∵，∴，即是直角三角形，∵，∴，∴在中，，即，∴，∵，∴，則，∴；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）解：點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，由（1）可知，，，，，①如圖所示，以為對(duì)角線，四邊形為菱形，

∴，，且點(diǎn)在第一象限，∴；②如圖所示，以為對(duì)角線，四邊形為菱形，

同理，，，且點(diǎn)在第四象限，∴；③如圖所示，以為對(duì)角線，四邊形為菱形，

在中，，，，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴在中，設(shè)，則，∴，即，解得，，（不符合題意，舍去），∵，∴；④如圖所示，以為對(duì)角線，四邊形為菱形，

∴，是對(duì)角線，，，∴；綜上所述，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或，∴存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，幾何圖形的特點(diǎn)，勾股定理等知識(shí)解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】將一個(gè)矩形紙片放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)A在x軸，點(diǎn)C在y軸．在邊上取一點(diǎn)D，將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．

(1)如圖1，求點(diǎn)E坐標(biāo)和直線的解析式；(2)點(diǎn)P為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段（不包含端點(diǎn)A，O）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線ly軸，直線l被截得的線段長(zhǎng)為d．求d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；②在該坐標(biāo)系所在平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)C，E，P，G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)，直線的解析式為；(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解直線的解析式；（2）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分別求出直線的解析式，分兩種情況：當(dāng)和時(shí)，利用d等于兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差求解即可；②分為對(duì)角線和為邊兩種情況，分別畫出圖形，結(jié)合菱形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，點(diǎn)O，點(diǎn)B，∴，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；（2）∵，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，則在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，即，解得：，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，則，，解得，，∴直線的解析式為，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)l分別與交于點(diǎn)H、G，

∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)l分別與交于點(diǎn)H、K，∵，∴，∴；綜上，d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，∵四邊形是菱形，∴設(shè)，則，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，解得，即，∵，∴；

當(dāng)為邊時(shí)，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，即為點(diǎn)B；綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)是或．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)、熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．類型二、矩形存在性問(wèn)題例．（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)D在x軸上，直線交y軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，線段的長(zhǎng)是2和4；(1)求直線的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）分別求出，先確定直線的解析式，從而求出H點(diǎn)坐標(biāo)，再求的面積即可；（3）分三種情況討論：當(dāng)M點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，，再由F點(diǎn)平移到M點(diǎn)，D點(diǎn)平移到N點(diǎn)，求出；當(dāng)M點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，，再由D點(diǎn)平移到M點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)平移到N點(diǎn)，求出；當(dāng)M點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)為矩形的對(duì)角線，．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴∵是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∴設(shè)直線的解析式為∴，解得，∴直線的解析式為；（2）∵直線的解析式為∴，∵四邊形是矩形，∴∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴∴∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，∴∴；（3）存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，理由如下：當(dāng)M點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，∵∴，∴∴∴,∴∴即解得∴，∵F點(diǎn)平移到M點(diǎn)，D點(diǎn)平移到N點(diǎn)，∴；當(dāng)M點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，即解得∴∵D點(diǎn)平移到M點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)平移到N點(diǎn)，∴當(dāng)M點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)為矩形的對(duì)角線，∴；綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，，是直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是折線上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖（1），當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，使最?。挥弥背吆蛨A規(guī)畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)①作圖見(jiàn)解析，；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，解方程即可得到結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，求得，于是得到結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，令，得；令，得，，，把代入，得，直線為，在中，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：①如圖所示：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，，故直線解析式為，點(diǎn)在軸上，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為；②存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸，如圖1所示：，為等腰直角三角形，即，，為等腰直角三角形，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，如圖2所示：在與中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由圖可知，點(diǎn)是直線與直線交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題、直角三角形問(wèn)題，第（2）②題采用了分類討論的思想，與三角形全等結(jié)合，聯(lián)立方程組求解即可解決問(wèn)題．類型三、正方形存在性問(wèn)題例1．已知，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使四邊形是正方形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)，點(diǎn)(2)或(3)存在，或【分析】（1）分別令，求得點(diǎn)，點(diǎn)；（2）聯(lián)立得出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)已知條件得出，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)為正方形時(shí)，，①點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，過(guò)作于，證明，則，，解方程組，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，同理可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：令，解得，令則，解得，點(diǎn)，點(diǎn)（2）聯(lián)立解得：為解得：為或

（3）存在點(diǎn)的坐標(biāo)為或理由如下：設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)當(dāng)為正方形時(shí)，①點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作軸于，過(guò)作于，，，．

，則，，即解得：，．為

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，同理可得，∴，，即解得：，，為綜上，或

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合問(wèn)題，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，三角形面積問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與直線（）交于點(diǎn)P，．(1)求直線的解析式；(2)連接、，若直線上存在一點(diǎn)Q，使得，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)將直線向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，直線l與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)N為直線l上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，E，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或；【分析】（1）先求出，然后求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；（2）先求出點(diǎn)B和點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出四邊形的面積，然后分類討論：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí)；分別求出三角形的面積，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）先求出直線為，然后得到，然后分情況進(jìn)行分析：當(dāng)作為矩形的邊時(shí)；當(dāng)作為矩形的對(duì)角線時(shí)；分別求出兩種情況的點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，∴令，則，∴點(diǎn)A為，∴，∵，∴點(diǎn)C為，點(diǎn)D為，∴直線的解析式為；（2）解：在中，令，則，∴點(diǎn)B為，∵，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；∴；∵點(diǎn)Q在直線上，則設(shè)點(diǎn)Q為，則當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方時(shí)，如下圖：∵，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí)，如上圖：，∴，∴解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜合上述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：∵直線向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，∴直線為，令，則，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即；當(dāng)作為矩形的邊時(shí)，如圖：∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)作為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖：∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；綜合上述，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出圖形，從而運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題．【變式訓(xùn)練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn)D，，(1)求直線的解析式；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，在直線上存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)或或或或【分析】（1）根據(jù)題意可得，再由，求出m的值，即可；（2）先求出，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出的三邊長(zhǎng)，即可；（3）分若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)；若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)；若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：∵過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：對(duì)于直線：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵點(diǎn)，∴，，，∴，，∴是等腰直角三角形；（3）解：設(shè)直線交x軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)，∴，設(shè)平移后直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，如圖，若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，此時(shí)，，，，∴，∴，∵，∴，∴，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖，若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，此時(shí)，，，，同理此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖，若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則，同理，∴，，∴或0（舍去），∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖，若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，則，，同理，∴，，∴（舍去）；如圖，若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理，∴，∴，解得：，∴，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖，若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理，∴，∴，解得：，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線平行于y軸，交直線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)D），連接．(1)求直線的解析式；(2)設(shè)，求的面積S的表達(dá)式（用含m的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，則以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或或或【分析】（1）將代入得到；（2）由兩直線交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；易得線段的長(zhǎng)度，所以根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積公式列方程求得，于是得到點(diǎn)，推出．第1種情況，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到；第2種情況，如圖3根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到；第3種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，得到或．【詳解】（1）∵直線交x軸于點(diǎn)，∴．∴．∴直線；（2）由得：．∴．∵，∴．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)，∵，∴，∴，如圖2，，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，∵，∴，在與中，，∴．∴．∴．∴；如圖3，是等腰直角三角形，∴，∴，∴以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角，點(diǎn)C的坐標(biāo)是或．當(dāng)時(shí)，，可得，同法可得或．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，點(diǎn)C為OB上一動(dòng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為；(2)連接AC，并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，若△OAD的面積恰好被x軸分成1∶2兩部分，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，若∠OAC＝30°，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△OA'B'，如圖2所示，OA'所在直線交直線AC于點(diǎn)P，當(dāng)△OAP為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或(3)點(diǎn)的坐標(biāo)或或或【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系即可求解；（2）分兩種情況討論，S△OCD=2S△AOC時(shí)，2S△OCD=S△AOC時(shí)，由三角形的面積關(guān)系可求點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，即可求解；（3）分兩種情況，當(dāng)∠APO=90°時(shí)，當(dāng)∠AOP=90°時(shí)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，∴AO=2AB，∵AO2=AB2+OB2，∴BA=，∴A．（2）根據(jù)題意分兩種情況討論：①S△OCD=2S△AOC時(shí)，∴×OC×OD=2××OC×AB，∴OD=2AB=2，∴點(diǎn)D（0，-2），設(shè)直線AD的解析式為y=kx-2，∴=3k-2，∴k=，∴直線AD的解析式為y=x-2，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=2，∴點(diǎn)C（2，0）；②2S△OCD=S△AOC時(shí)，∴2××OC×OD=×OC×AB，∴OD=AB=，∴點(diǎn)D（0，-），設(shè)直線AD的解析式為，∴，∴，∴直線AD的解析式為y=x-，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=1，∴點(diǎn)C（1，0）；綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）或（1，0）．（3）如圖，當(dāng)∠APO=90°時(shí)，連接BB'，過(guò)點(diǎn)B'作B'H⊥OB于H，∵將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，∵∠OAC=30°，∠APO=90°，∴∠AOP=60°，∴∠B'OB=60°，∵B'H⊥OB，∴∠OB'H=30°，∴當(dāng)∠AOP=90°時(shí)，如圖，∵將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，∴點(diǎn)B'在y軸上，∴點(diǎn)B'（0，-3），如圖，由中心對(duì)稱的性質(zhì)可得：點(diǎn)的坐標(biāo)或，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)或或或【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．若以O(shè)、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)是射線上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）把點(diǎn)A代入，求出m，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分點(diǎn)E在線段上和在射線上兩種情況討論，利用列方程求出a的值，即可得解；（3）分①是對(duì)角線，②是對(duì)角線，③是對(duì)角線三種情況討論，利用菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）把點(diǎn)代入函數(shù)得：，則點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把代入得：解得：直線的解析式為．（2）直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為則有軸，當(dāng)時(shí)，以O(shè)、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或補(bǔ)充理由如下：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是①當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，是的垂直平分線，且與的中點(diǎn)相同，菱形對(duì)角線的交點(diǎn)設(shè)為M，畫圖如下：

∵，∴直線的解析式是直線，，，令，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，解得：，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，且，畫圖如下，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∵，即，解得：或(此時(shí)點(diǎn)P即為點(diǎn)C，舍去)∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是③當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，則有，作圖如下：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∵，即解得：或(此時(shí)點(diǎn)P在第二象限，舍去)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是又∵，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，本題綜合程度大，根據(jù)題意正確作圖和分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：，．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第二象限內(nèi)，已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線：與x軸交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)M，以線段為直角邊作等腰直角，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或（）【分析】（1）根據(jù)證明即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于J，證明四邊形是矩形，得出，，根據(jù)證明，得出，，證明，，即可得出答案；（3）分三種情況：點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，分別畫出圖形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于J，∵，∴，，由已知可得，且，∵軸，軸，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（3）解：對(duì)于直線，令，可得，∴，令，可得，∴，當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，由（1）知，，∴，，∴，∴；同理可得．當(dāng)點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，由（1）知，∴，，∴，∴，同理可得．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或（）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且，連接，已知．(1)求直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段上分別取點(diǎn)M，N，使得軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接是否存在點(diǎn)M，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)線段的表達(dá)式(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式得到D到的距離等于B點(diǎn)到的距離的2倍，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，然后利用直線的解析式計(jì)算函數(shù)值為4所對(duì)應(yīng)的自變量的值，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．（3）先求出直線的表達(dá)式,再求