有限元法及其應(yīng)用 課件 FEM 1 緒論、FEM 2 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法

有限元法及應(yīng)用本次培訓(xùn)主要內(nèi)容第一部分有限元法基礎(chǔ)1桿系有限元法2平面問題有限元法第二部分

ANSYS有限元軟件簡介3有限元軟件ANSYS簡介（UtilityMenu平臺及MainMenu命令）4典型的ANSYS分析過程（前處理、求解、后處理）5靜力學(xué)分析和動(dòng)力學(xué)分析實(shí)例1緒論有限元法的發(fā)展簡史1943年，Courant從數(shù)學(xué)上明確提出有限元思想。1960年，美國的Clough教授在—篇論文中首次使用了“有限元法”這個(gè)名詞。20世紀(jì)70年代以后，隨著計(jì)算機(jī)和軟件技術(shù)的發(fā)展，有限元法也隨之迅速地發(fā)展起來。現(xiàn)在，有限元法已被應(yīng)用于固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。FEM應(yīng)用現(xiàn)狀有限元方法（FEM）現(xiàn)已成為工程設(shè)計(jì)和分析最常用的數(shù)值計(jì)算工具。廣泛應(yīng)用于：機(jī)械、航空航天、土木工程、軌道車輛結(jié)構(gòu)分析（靜態(tài)/動(dòng)態(tài)、線性/非線性）熱/流體電磁學(xué)地質(zhì)力學(xué)生物力學(xué)……..FEM應(yīng)用實(shí)例電力機(jī)車車輪有限元模型CRH5動(dòng)力轉(zhuǎn)向架輪對疲勞失效機(jī)理研究CHR380B軸箱體強(qiáng)度分析FEM應(yīng)用實(shí)例CRH380A車體疲勞壽命研究FEM應(yīng)用實(shí)例機(jī)架有限元分析風(fēng)電葉片F(xiàn)EM應(yīng)用實(shí)例FEM應(yīng)用實(shí)例塔吊、龍門架有限元分析FEM應(yīng)用實(shí)例汽車氣動(dòng)布局FEM應(yīng)用實(shí)例自行車結(jié)構(gòu)有限元模型位移等值線圖變形圖FEM應(yīng)用實(shí)例應(yīng)力等值線圖FEM應(yīng)用實(shí)例FEM應(yīng)用實(shí)例平板車幾何模型FEM應(yīng)用實(shí)例平板車應(yīng)力等值線圖平板車位移等值線圖平板車有限元模型FEM應(yīng)用實(shí)例FEM應(yīng)用實(shí)例應(yīng)力等值線圖應(yīng)力等值線圖局部放大FEM應(yīng)用實(shí)例滾筒洗衣機(jī)動(dòng)力學(xué)分析有限元模型FEM應(yīng)用實(shí)例有限元模型

真實(shí)結(jié)構(gòu)有限元法（FEM，F(xiàn)initeElementMethod）是把物理結(jié)構(gòu)分割成有限個(gè)區(qū)域，這些區(qū)域稱為單元。每個(gè)單元中有有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元間通過節(jié)點(diǎn)相連。對每一個(gè)單元建立作用力方程，組集成整個(gè)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)方程，求解該方程得到結(jié)構(gòu)的近似解。節(jié)點(diǎn)單元XZY有限元法的概念有限元法的基本思想有限元方法力學(xué)原理(彈性力學(xué)、材料力學(xué)等)數(shù)學(xué)方法(微分方程理論、變分原理)計(jì)算機(jī)程序結(jié)構(gòu)離散化虛功原理、最小勢能原理單元平衡方程公共結(jié)點(diǎn)位移相同組集整體平衡方程引入邊界條件求解節(jié)點(diǎn)位移得到單元應(yīng)變和應(yīng)力節(jié)點(diǎn)和單元有限元模型由節(jié)點(diǎn)和單元組成。節(jié)點(diǎn)(Nodes):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度，存在相互物理作用，是單元之間的連接點(diǎn)。單元(Elements):一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述。滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。

載荷約束單元之間只能通過節(jié)點(diǎn)來傳遞內(nèi)力。通過節(jié)點(diǎn)來傳遞的內(nèi)力稱為節(jié)點(diǎn)力，作用在節(jié)點(diǎn)上的荷載稱為節(jié)點(diǎn)荷載。當(dāng)連續(xù)體受到外力作用發(fā)生變形時(shí)，組成它的各個(gè)單元也將發(fā)生變形，因而各個(gè)節(jié)點(diǎn)要產(chǎn)生不同程度的位移，這種位移稱為節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)和單元信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。.....AB...2nodes分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞...AB...1node節(jié)點(diǎn)和單元自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ分析類型自由度類型結(jié)構(gòu)位移熱溫度電電位流體壓力磁磁位節(jié)點(diǎn)自由度隨連接該節(jié)點(diǎn)的

單元類型變化。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ自由度（DOFs）真實(shí)結(jié)構(gòu)有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。節(jié)點(diǎn)單元有限元模型有限元分析的基本步驟連續(xù)體離散化單元特性分析選擇位移模式分析單元的力學(xué)性質(zhì)計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力單元組集求解未知節(jié)點(diǎn)位移連續(xù)體離散化根據(jù)連續(xù)體的形態(tài)選擇最能描述連續(xù)體形狀的單元；進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將連續(xù)的結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元組成的離散體(網(wǎng)格越小計(jì)算精度越高)；對單元和節(jié)點(diǎn)按順序編號。

123456789101112①②③④⑤⑥有限元分析的基本步驟3維實(shí)體的4面體單元?jiǎng)澐制矫娴娜切螁卧獎(jiǎng)澐?維實(shí)體的6面體單元?jiǎng)澐钟邢拊治龅幕静襟E有限元分析的基本步驟確定單元的位移模式設(shè)定一個(gè)簡單的函數(shù)作為單元位移的近似函數(shù)，該函數(shù)稱為位移函數(shù)，位移函數(shù)一般取為多項(xiàng)式形式。對于三角形平面單元:節(jié)點(diǎn)位移列向量節(jié)點(diǎn)力列向量單元位移函數(shù)可表示為:式中：

[N]為形函數(shù)矩陣，其元素是位置坐標(biāo)的函數(shù)。有限元分析的基本步驟單元力學(xué)特性分析

(1)單元應(yīng)變矩陣對于平面問題，將彈性力學(xué)中的幾何方程代入位移函數(shù)，單元應(yīng)變場可用節(jié)點(diǎn)位移表示為：式中：[B]稱為單元應(yīng)變矩陣或幾何矩陣。即：(2)單元應(yīng)力矩陣根據(jù)本構(gòu)方程可將單元應(yīng)力場用節(jié)點(diǎn)位移表示為：其中，[D]是與單元材料有關(guān)的彈性矩陣。根據(jù)虛功原理（內(nèi)虛功等于外虛功）：定義剛度矩陣單元平衡方程有限元分析的基本步驟（3）單元?jiǎng)偠染仃噯卧W(xué)特性分析

幾何方程本構(gòu)方程虛功原理平衡方程剛度矩陣位移場應(yīng)變場應(yīng)力場有限元分析的基本步驟單元力學(xué)特性分析

連續(xù)彈性體有限元模型單元是通過節(jié)點(diǎn)來傳遞力的，因而作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效到節(jié)點(diǎn)上，即用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替作用在單元上的力。計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力有限元分析的基本步驟有限元分析的基本步驟整體分析將節(jié)點(diǎn)等效力按照整體節(jié)點(diǎn)順序組集成整體節(jié)點(diǎn)載荷向量{R}集成整體剛度方程[K]，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程式中：[K]——整體剛度矩陣；

{q}——全部節(jié)點(diǎn)位移組成的列陣；

{R}——全部節(jié)點(diǎn)載荷組成的列陣。引進(jìn)邊界約束條件，解總體剛度方程求出節(jié)點(diǎn)位移分量根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移與應(yīng)變、應(yīng)力的關(guān)系（幾何方程、物理方程）計(jì)算出單元應(yīng)變、應(yīng)力等派生解。有限元法的特點(diǎn)有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)（與無網(wǎng)格法、邊界元法相比）（1）概念淺顯，容易掌握，可以在不同水平上建立對該法的理解；（2）有很強(qiáng)的適用性，應(yīng)用范圍廣；（3）該方法用矩陣形式表達(dá)，便于充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)運(yùn)算優(yōu)勢；（4）精度高，速度快，可以建立更符合實(shí)際結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型。有限元法的分類（1）位移法：以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)；（2）力法：以節(jié)點(diǎn)力為基本未知數(shù)；（3）混合法：以節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力為基本未知數(shù)。2桿系結(jié)構(gòu)的有限元法工程背景（鋼架、桁架的應(yīng)用）2.1基本概念桿系結(jié)構(gòu)的單元類型分為桿單元和梁單元，二者均為線單元。桿單元的節(jié)點(diǎn)僅傳遞力而不傳遞力矩，其節(jié)點(diǎn)位移只有沿坐標(biāo)系各個(gè)軸向的線位移；梁單元的節(jié)點(diǎn)不僅傳遞力，而且傳遞力矩，其節(jié)點(diǎn)位移有沿坐標(biāo)系各個(gè)軸向的線位移和繞坐標(biāo)系各軸旋轉(zhuǎn)的角位移。節(jié)點(diǎn)編號原則：編號不能重復(fù)且不能遺漏，相鄰節(jié)點(diǎn)編號差盡量小。單元編號原則：編號不能重復(fù)且不能遺漏，相鄰單元編號差盡量小。商業(yè)有限元軟件可自動(dòng)完成。節(jié)點(diǎn)和單元編號方法2.1基本概念2.1基本概念邊界條件：模型部分節(jié)點(diǎn)上的約束和荷載的總稱。整體坐標(biāo)系：標(biāo)識模型空間位置關(guān)系的坐標(biāo)系。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：表示節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的空間位置。單元節(jié)點(diǎn)信息：每個(gè)單元所包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。單元局部坐標(biāo)系：選取單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i為原點(diǎn)，x軸方向由節(jié)點(diǎn)i指向節(jié)點(diǎn)j，按右手定則確定y軸和z軸。單元材料特性是指每個(gè)單元的材料特性參數(shù)。對于線彈性結(jié)構(gòu)有限元分析，單元的材料特性參數(shù)主要包括彈性模量、泊松比和密度。桿單元的截面參數(shù)包含截面面積和截面形心位置。梁單元的截面形狀參數(shù)包含橫截面面積、截面形心位置、截面慣性矩和極慣性矩等。

2.1基本概念2.2平面桁架平面桁架有限元模型確定單元類型：平面桿單元單元編號、節(jié)點(diǎn)編號2.2平面桁架2.2.1局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧植孔鴺?biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力2.2平面桁架水平方向，桿件處于靜態(tài)平衡狀態(tài)，垂直方向，桿件載荷恒等于0，因此單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為矩陣形式即：單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系2.2平面桁架其中，2.2平面桁架單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（1）單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧嫌晒?jié)點(diǎn)位移向量求節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)換矩陣。2.2平面桁架（2）剛度矩陣中各元素的力學(xué)意義矩陣中的元素均是單位節(jié)點(diǎn)位移所引起的節(jié)點(diǎn)力的數(shù)值，所以稱它們?yōu)閯偠认禂?shù)。每行或每列元素的力學(xué)意義：同一行的4個(gè)元素是4個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對同一個(gè)節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)；同一列的4個(gè)元素是同一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對4個(gè)節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。2.2平面桁架（3）對稱性根據(jù)力學(xué)中力的互等定理和單元?jiǎng)偠认禂?shù)的力學(xué)意義，有可知單元?jiǎng)偠榷剃嚍閷ΨQ矩陣。

第一組力在使di

=1，其他節(jié)點(diǎn)位移均為0第二組力在使dj

=1，其他節(jié)點(diǎn)位移均為02.2平面桁架（4）奇異性單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?，即單元?jiǎng)偠染仃嚨男辛惺綖榱恪７从沉司仃囍羞€沒有考慮到單元兩端與整個(gè)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，所以可以產(chǎn)生任意的剛體位移。2.2平面桁架

（5）分塊性單元?jiǎng)偠染仃嚨姆謮K形式單元節(jié)點(diǎn)位移向量的分塊形式單元節(jié)點(diǎn)力向量的分塊形式單元平衡方程2.2平面桁架2.2.2坐標(biāo)變換整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系

2.2平面桁架

其中T為正交矩陣同理兩邊同時(shí)左乘TT，得到T為正交矩陣，2.2.3整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?.2平面桁架單元平衡方程整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下平衡方程的分塊形式2.2.4整體分析（1）等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算

2.2平面桁架集中力均布載荷非節(jié)點(diǎn)載荷，必須通過等效處理，轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)載荷，應(yīng)按照靜力等效原則進(jìn)行，由此轉(zhuǎn)化而引起的單元內(nèi)力和應(yīng)力差異，只是局部的，不會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。2.2.4整體分析（2）整體節(jié)點(diǎn)位移和整體節(jié)點(diǎn)力2.2平面桁架對于單元①對于單元②對于單元③對于單元④2.2平面桁架2.2.4整體分析（3）求整體剛度矩陣對于單元⑤對于單元⑥對于單元⑦對于單元①：

對于單元③：

對于單元④：2.2平面桁架以節(jié)點(diǎn)2為例，根據(jù)節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷平衡：2.2平面桁架整體剛度矩陣“剛度集成法”2.2平面桁架整體平衡方程

整體剛度矩陣的性質(zhì)節(jié)點(diǎn)位移向量與節(jié)點(diǎn)載荷向量之間的轉(zhuǎn)換矩陣。矩陣中的元素均為剛度系數(shù)，其力學(xué)意義是：同一行所有元素是所有節(jié)點(diǎn)位移對同一個(gè)節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)；同一列的所有元素是同一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對所有節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。對稱性分塊性：處于主對角線上的子塊稱為主子塊，其余子塊稱為副子塊。主子塊反映同一節(jié)點(diǎn)處的力與位移的關(guān)系，為正非零子塊。副子塊反映結(jié)構(gòu)上不同節(jié)點(diǎn)間的力與位移的相互關(guān)系。對于副子塊，如果節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)在一個(gè)單元上，則是非零子塊；如果節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)不在一個(gè)單元上，則是零子塊。2.2平面桁架2.2平面桁架稀疏性：非零元素集中在主對角線的周圍，在其余位置上存在大量的零元素。非零子塊數(shù)量很少，如果節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，稀疏性越突出。利用剛度矩陣的稀疏性，可設(shè)法只存儲(chǔ)非零元素，從而大大節(jié)省內(nèi)存。奇異性：剛度矩陣的行列式為零。2.2.5約束條件的引入由于整體剛度矩陣的奇異性，必須引入約束條件后才能將其轉(zhuǎn)變?yōu)榉瞧娈惥仃?，進(jìn)而求解整體平衡方程；必須限制結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動(dòng)的線位移和角位移，即消除結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動(dòng)的自由度。對于平面結(jié)構(gòu)至少應(yīng)合理布置3個(gè)方向的約束；對于空間結(jié)構(gòu)至少應(yīng)有6個(gè)方向的約束。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，應(yīng)按結(jié)構(gòu)約束的實(shí)際情況，合理地限制選擇某些節(jié)點(diǎn)的某些自由度為零或?yàn)槟硞€(gè)定值。2.2平面桁架2.2平面桁架劃行劃列法引入約束條件，原理簡單，可降低系數(shù)矩陣的規(guī)模：但是劃行劃列之后需將節(jié)點(diǎn)編號重新編排，編程不大方便；不能用于非零位移的約束條件。當(dāng)δ5=0時(shí)，可劃去剛度矩陣第5行和第5列，以及右端荷載項(xiàng)的第5行。2.2.5約束條件的引入（1）劃行劃列法——把整體剛度矩陣中位移為零的自由度所對應(yīng)的行、列和相應(yīng)的荷載項(xiàng)劃去。其原因是：若節(jié)點(diǎn)位移已知可不必再解，該方程可以劃去。同時(shí)該位移對其他方程的影響也為零。（2）主對角線元素置“1”法2.2平面桁架如果第i個(gè)自由度δi=0，那么將剛度矩陣K中對應(yīng)的i行和i列全部元素都置“0”，而將對角線元素kii置“1”，同時(shí)將右端荷載項(xiàng)中相應(yīng)的元素置為“0”?？删_地引入約束條件，可保持原方程的階數(shù)與對稱性，是處理固定約束條件的常用方法，但是不能用于非零位移約束。（3）主元賦大值法2.2平面桁架如果第i個(gè)位移自由度δi=δi*

，那么將剛度矩陣K中對應(yīng)的主元賦一個(gè)大值A(chǔ)（如A=1020），右端荷載項(xiàng)中的對應(yīng)行用此大值與已知位移的乘積Aδi*代替。引入的位移約束條件是近似的。方便程序處理，保持了原方程的階數(shù)與對稱性。既能用于零位移約束，也可以用于非零位移約束約束條件兩端同時(shí)除以A，略去小項(xiàng)2.2.6求單元內(nèi)力2.2平面桁架整體平衡方程引入約束條件，求解坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系下的單元節(jié)點(diǎn)位移局部坐標(biāo)系下的單元節(jié)點(diǎn)力向量單元內(nèi)力和應(yīng)力整體坐標(biāo)系下的全部節(jié)點(diǎn)位移2.2平面桁架有限元法求解桁架結(jié)構(gòu)的步驟為：合理簡化結(jié)構(gòu)，將結(jié)構(gòu)離散化（劃分單元），選取局部和整體坐標(biāo)系，對單元和節(jié)點(diǎn)編號；給出原始參數(shù)（各桿件的幾何參數(shù)、材料特性參數(shù)、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)等）；計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載列陣（節(jié)點(diǎn)荷載和等效節(jié)點(diǎn)荷載）；計(jì)算局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，確定每個(gè)單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T，求得整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嘖；用剛度集成法形成整體剛度矩陣；引入約束條件；用線性方程組的求解方法（高斯消元法等）解整體平衡方程，求得節(jié)點(diǎn)位移；計(jì)算各桿件內(nèi)力與應(yīng)力，并可進(jìn)行強(qiáng)度校核。例題2-1計(jì)算下圖所示平面桁架的節(jié)點(diǎn)位移和桿件的內(nèi)力。設(shè)各桿件的截面尺寸和制造材料均相同，其面積為，彈性模量。2.2平面桁架例題2-11.結(jié)構(gòu)離散化

（a）平面桁架（b）單元、節(jié)點(diǎn)編號與整體、局部坐標(biāo)系2.2平面桁架對于單元①和②對于單元③2.2平面桁架2.計(jì)算單元在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣2.2平面桁架①單元與x正方向夾角90°②單元與x正方向夾角0°③單元與x正方向夾角135°3.計(jì)算單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣單元①2.2平面桁架2.2平面桁架單元②

單元③

注意單元③的ij節(jié)點(diǎn)2.2平面桁架4.有限元方程的建立2.2平面桁架節(jié)點(diǎn)載荷向量節(jié)點(diǎn)位移向量5.引入邊件條件6.求線性解方程組2.2平面桁架7.計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移引起的節(jié)點(diǎn)載荷2.2平面桁架

對于單元①2.2平面桁架

對于單元②2.2平面桁架

對于單元③Step1.結(jié)構(gòu)的離散化與編號節(jié)點(diǎn)xy10024000340030040300單元編號及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2①12②32③13④43各單元的長度及軸線方向余弦單元lcossin①40010②3000-1③5000.80.6④40010節(jié)點(diǎn)及坐標(biāo)（對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行自然離散）2.2平面桁架2.2平面桁架Step2.單元描述各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃?節(jié)點(diǎn)載荷按節(jié)點(diǎn)編號進(jìn)行組裝。

2.2平面桁架Step2.組裝整體剛度方程節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)載荷：20000N2.2平面桁架整體剛度方程為：

邊界條件BC(u):代入整體方程并化簡得：2.2平面桁架Step2.處理邊界條件求解

所有節(jié)點(diǎn)位移：

按平剖面假設(shè)，梁受荷載發(fā)生彎曲變形時(shí)，各截面的位移應(yīng)包括：軸向拉壓變形u，截面中性軸處的撓度v，以及截面轉(zhuǎn)角θ。節(jié)點(diǎn)力列向量：2.3平面鋼架節(jié)點(diǎn)位移列向量：鋼架結(jié)構(gòu)單元與節(jié)點(diǎn)

是軸向力，

是橫向力，

是彎矩單元節(jié)點(diǎn)位移：單元節(jié)點(diǎn)力：2.3平面鋼架節(jié)點(diǎn)位移：2.3.1單元位移與載荷簡記為其中為e單元的剛度矩陣，單元?jiǎng)偠染仃嚾我辉豮ij

應(yīng)等于：當(dāng)

第j個(gè)位移分量為1，且其他位移分量皆為0時(shí)，對應(yīng)的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量

2.3平面鋼架在彈性范圍內(nèi)，小變形情況下，與的關(guān)系為：2.3.2局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃噀單元長為l，彈性模量為E，截面慣性矩為Iz。當(dāng)且其余位移為0時(shí)，軸向位移2.3平面鋼架軸向力由平衡條件：2.3平面鋼架垂向撓度：轉(zhuǎn)角：用同樣的方法，可解出此單元?jiǎng)偠染仃嚨钠溆嘣?。梁單元的剛度矩陣為?.3平面鋼架分塊形式可寫為：單元平衡方程，即單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)