重難點(diǎn)01 空間角度和距離五種解題方法-【滿分全攻略】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測試（滬教版2020選修一+選修二）（解析版）

重難點(diǎn)01空間角度和距離五種解題方法

?【目錄】

題型一：空間中直線與直線所成的角

題型二：空間中直線與平面所成的角

題型三：二面角

題型四：體積法求點(diǎn)面距離

題型五：空間向量解距離、夾角問題

匚技巧方法

異面直線及其所成的角

1、異面直線所成的角：

直線a,b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)。，作直線a',b',并使a'//a,b'//b.我們把直線a'

和6'所成的銳角（或直角）叫做異面直線。和匕所成的角.異面直線所成的角的范圍：06（0,2L],當(dāng)

2

0=90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直.

2、求異面直線所成的角的方法：

求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線.

3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：

1.余弓玄定理：在AAB。中，a2=b2+c2-2bccosA>b2=a2+c2-2accosB>

c2=a2+b2—labcosC.

a2+b2c2

2.余弦定理的推論：COSA」"一）,8SB/+C2〃,C0SC=~.

2hr2nr2ah

二.直線與平面所成的角

1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：

（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；

（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；

（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°.

顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0,直線和平面所成的角的范圍為[0,2L].

22

2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩

條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的.具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)

節(jié)：

（1）作--作出斜線與射影所成的角；

（2）證--論證所作（或找到的）角就是要求的角；

（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出

角.

（4）答--回答求解問題.

在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用.在直線與

平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

3、斜線和平面所成角的最小性：

斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是

斜線在平面上的射影.在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選

中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)

過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角.對于已知的斜線來說這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映

了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”.根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和

這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.

用空間向量直線與平面所成角的求法：

（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解

直角三角形求得.

（2）向量求法：設(shè)直線/的方向向量為之，平面的法向量為；，直線與平面所成的角為。，7與；的夾角為<p,

則有sin8=|cos<p|=卜.

Ia|IuI

三.二面角的平面角及求法

1、二面角的定義：

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二

面角的面.棱為AB、面分別為a、B的二面角記作二面角a-AB-0.有時(shí)為了方便，也可在a、0內(nèi)（棱

以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q,將這個(gè)二面角記作尸-AB-Q.如果棱記作/,那么這個(gè)二面角記作二

?Q

B

面角a-/-0或P-/-Q.

2、二面角的平面角--

在二面角a-/-0的棱/上任取一點(diǎn)0,以點(diǎn)0為垂足，在半平面a和0內(nèi)分別作垂直于棱/的射線0A

和。8,則射線。4和0B構(gòu)成的NAOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二

面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面

角/AOB的大小與點(diǎn)。的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱/上的點(diǎn)0.

3、二面角的平面角求法：

（1）定義；

（2）三垂線定理及其逆定理：

①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直.

②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于

二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角.

（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的

交線所成的角，就是二面角的平面角.；

（4）平移或延長（展）線（面）法；

（5）射影公式；

（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角；

（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：

設(shè)平面a和0的法向量分別為；和若兩個(gè)平面的夾角為。，則

（1）當(dāng)0〈＜u，——，0=＜v＞，此時(shí)cos8=cos＜u，~'=—.

2lulIvl

―?

（2）當(dāng)VVu，丫＞W(wǎng)ir時(shí)，0—cos（TI-VU，V＞）=-cosVu，=-=—―——?

2lulIvl

四.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

1、平面上兩點(diǎn)間的距離公式

（1）設(shè)月（再,>1i）>2（a>2）>貝"4巴=—4）”+（，a—M）'°

特別地，_______________________

當(dāng)耳鳥_LX軸時(shí)，々8={5-力=y/（y2+y\\-4y1y2=|刈-%I；

當(dāng)耳匕_Ly軸時(shí)，.巴一再）'=+x1f-4再吃=|―一再|(zhì)。

（2）設(shè)45,R,一（&心）在直線了=丘+6上時(shí)，

則IB=J（l+4'x（一再y=y/l+k2I七-&I=J（1+后）［6+再）2-4甬Xj］,

或=卜31->il=J。+套）［5+獷-4）仍］。

點(diǎn)評：求距離（長度）和參數(shù)的值等?！?/p>

2、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

⑴設(shè)4（不，無，巴（出乃），線段6H的中點(diǎn)"（方>'），貝小2。

1，_兇+%

（2）設(shè)A18C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（再，>!）,B（如y2）,C（馮，y3）,重心G（%y）,

‘.一I+.0+X3

則，3。

）2112―1122

點(diǎn)評:利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可研究圖形的軸對稱和中心對稱以及三角形等問題。如:

曲線f（x,y）=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）中心對稱的曲線方程是/（2。一乂?-），）=0；曲線

/（X,y）=0關(guān)于點(diǎn)（0,0）中心對稱的曲線方程是/（-x-y）=0;曲線/（x,0=0關(guān)于y

軸對稱的曲線方程是/（-%>）=0,曲線/（X,y）=0關(guān)于x軸對稱的曲線方程是

/（x,-y）=0等。

3、點(diǎn)到直線的距離

⑴點(diǎn)尸（七，比）到直線毋+制+。=0（/+爐工0）的距離是

YA2+B。；

（2）點(diǎn)P（%，%）到直線V=版+b的距離是d=叱f。

一+-

點(diǎn)評：點(diǎn)尸（七，％）到直線x=a的距離是dW改）-a|；點(diǎn)尸（知）b）到直線的>'=b

距離是目=|北一切；特別地，點(diǎn)尸（飛，打）到直線工=0（9'軸）距離是d=|七點(diǎn)

尸（七，比）到直線>'=0（X軸）距離是4=|凡|。，

4、兩條平行線之間的距離

⑴設(shè)/+爐H0,qxq,則直線,4x+bj+q=0與直線Jx+by+q=0之間的

距離是d=/一G；

（4）直線產(chǎn)fcr+4與直線y=fcy+b?之間的距離是d="j/J（々工與）。

S+k2

點(diǎn)評：利用點(diǎn)到直線的距離可研究二角形、直線和圖等有關(guān)問潁

u能力拓展

題型一：空間中直線與直線所成的角

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如圖，上海海關(guān)大樓的鐘樓可以看作一個(gè)正四棱柱，且鐘樓的四個(gè)側(cè)面均有

時(shí)鐘懸掛，在0點(diǎn)到12點(diǎn)時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)中（包括0點(diǎn)，但不包括12點(diǎn)），相鄰兩面時(shí)鐘的時(shí)針兩兩相

互垂直的情況的次數(shù)為（）

【分析】根據(jù)正四棱柱相鄰側(cè)面的線線關(guān)系即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)時(shí)針在3時(shí)或9時(shí)相互垂直，0時(shí)或6時(shí)時(shí)針平行，其它時(shí)間時(shí)針?biāo)谥本€異面但不垂直，

所以能夠垂直2次.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了正四棱柱相鄰側(cè)面的線線關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共7小題）

2.（2022春?虹口區(qū)期末）在正四面體A8CZ）中，直線BC與所成角的大小為

~2~

【分析】取BC的中點(diǎn)/，由正四面體可得AB=AC,可得BCL面ADW,進(jìn)而可得AO,BC互

相垂直，求出這兩條直線的夾角.

【解答】解：取8C的中點(diǎn)何，連接AM,DM,

由正四面體可得。B=OC,AB=AC,

所以可得AM_LBC,DMLBC,而。

所以2。，面4。〃，ffijADc?ADM,

所以BC1AD.

即直線BC與A。所成角的大小為：2L,

2

故答案為：2L.

2

【點(diǎn)評】本題考查正四面體的性質(zhì)的應(yīng)用及兩條直線夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖所示，在正方體中，異面直線AB與CO所成的角為_?L_.

【分析】連接BE、AE,由CO〃BE,則異面直線48與CD所成的角的平面角為NA8E（或其補(bǔ)角），然后

求解即可.

【解答】解：連接BE、AE,

由CD"BE,

則異面直線AB與CO所成的角的平面角為NABE（或其補(bǔ)角），

又aABE為正三角形，

貝|」NABE4，

故答案為：2L.

3

【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

4.（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知正方體ABCO-AiBiCiCi的棱長為“，E是棱CC\的中點(diǎn)，則近與不

的夾角的大小為n-arcos-?^--

3—

【分析】以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸的正方向，G81為），軸的正方向，CiC為z軸的正方向建立直角坐

標(biāo)系.求出AE=（-67,-a,--）,c,A：=（"，a,0），根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式求出cosVAE，c,A,

2A1

>=~^苔魯彳=薩：，=-2卓’再有向量夾角的取值范圍求出標(biāo)與三訪的夾角的大小，

【解答】解：

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1G為x軸的正方向，C1B1為y軸的正方向，C1C為z軸的正方向建立直角坐標(biāo)系.

因此可得Ci(0,0,0),Ai(a,a,0),A(a,a,a),E(0,0,旦).

2

所以出標(biāo)=(-a,-a,-]),(；茨；=(小—得標(biāo)?乎；=-242,由=’(-a)2+(-a)2+(-|-)2

=>

|-aa2+a2+02=

趣.C1Ai_-2a2

所以得：cos〈AE，c]A；>一啦,

|AE|，|C[AII-1-a?V2a3

又兩向量的夾角取值范圍為[0,n],

所以互與不的夾角的大小為11-arccos

3

故答案為：n-arccos.

【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思想，是基礎(chǔ)題.

5.（2022秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，在空間四邊形A8CZ）中，E,G分別為AB,CO的中點(diǎn)且EG=6,AC

1

=BD=8,則異面直線AC和BO所成角是——arccos-^—

O

A

B

C

【分析】取BC的中點(diǎn)F,連接EF、EG,MEF//AC,FG//BD,則異面直線AC和BQ所成角為NEFG（或

其補(bǔ)角），然后結(jié)合余弦定理求解即可.

【解答】解：取8C的中點(diǎn)F,

連接EREG,

貝|JEF〃AC,FG//BD,

則異面直線AC和所成角為NEFG（或其補(bǔ)角），

又EG=6,EF=FG=4,

則COSE與等等1

8

即異面直線AC和8。所成角是arccos』，

故答案為：arccos'i"

o

【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

6.（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知長方體ABC。-481cl。的棱A8=8C=4,CC\=3,則異面直線ABi

與cd所成角的大小是_L.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

---caiJr.cjucuonsc....

【分析】設(shè)A山與ABi交于點(diǎn)H,證得異面直線AB\與CD\所成的角是/AiHA或其補(bǔ)角，由余弦定理解

三角形可得.

【解答】解：連接4B,由4功與8c平行且相等得4O1C8是平行四邊形，CDi〃4B,

設(shè)A1B與ABi交于點(diǎn)H,則異面直線ABi與C￡>i所成的角是N444或其補(bǔ)角,

在矩形ABBiAi中，AB=4,44=3,則AH=A[H="/AB2+BB；￡

9992525

AiH^+AH-AA7才式唱7

cos/AHAi=-2A]HAH-2><25W，

4

7

NAHA廣arcco

【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思想，是基礎(chǔ)題.

7.（2022?松江區(qū)二模）如圖所示，在正方體ABC。-A11GO1中，若E是功。的中點(diǎn)，則異面直線4G

與。E所成角的大小為arccosH.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

-----?±Uore------

【分析】由異面直線所成角的求法，結(jié)合空間向量的應(yīng)用求解即可.

【解答】解：設(shè)AB=2,

則A[C；?而=(衣一位)?(-DD^+1DC)=DC'DF[-^DC2-DA'DD^^-DA-DC=2"

又lAi3|=W^，IDEI=V5.

設(shè)異面直線4cl與力E所成角的大小為0,

AiC/DE2V10

則COS0n=

|A^||DE|2V2xV5-IO'

即異面直線4cl與DE所成角的大小為arccos迎i，

cix-jun]0

故答案為：arccos?1

cix—juo]0

【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

8.（2021秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，正方體ABC。-AiBCiQi中，點(diǎn)E,F,G分別是。。i，AB,CCi的

中點(diǎn)，則直線4E與GF所成角的大小是arccos畫（用反三角函數(shù)表示）.

10―

【分析】異面直線所成的角通過平移相交，找到平面角，轉(zhuǎn)化為平面三角形的角求解，由題意：E,F,G

分別是。。1，AB,CC的中點(diǎn)，連接BiG,FB\,那么NFGBi就是異面直線4E與GF所成的角.

【解答】解：由題意：A8CO-AB1C1O1是正方體，E,F,G分別是Z）G，AB,C。的中點(diǎn)，連接B1G,

"：A\E//B\G,

?；NFGBi為異面直線AiE與G尸所成的角.

連接FB],設(shè)正方體棱長為2,

在三角形FBiG中，AA\^AB=AD=2,

BiF=q22+1

B\G=22+1

FG={/+（?。?=氓,

（通產(chǎn)+（述）2-（而產(chǎn)=每

cosZFGBi=

2XV6xV510

即異面直線4E與GF所成的角為arccos±助.

10

故答案為：arccos」亞.

10

【點(diǎn)評】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力

的培養(yǎng).

三.解答題（共5小題）

9.（2023?寶山區(qū)二模）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，ND4B=60°,對角線AC與8。相交

于點(diǎn)O,底面ABC。，PB與底面48。所成的角為60°,E是尸8的中點(diǎn).

（1）求異面直線OE與孫所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）證明：OE〃平面以D,并求點(diǎn)E到平面玄。的距離.

【分析】（1）取A8的中點(diǎn)凡連接E凡DF,可得EF〃勿，所以DE與EF所成的角即為。E與孫所成的

角，由題意求出EEDE,。尸的值，由余弦定理可得兩條直線所成角的余弦值，進(jìn)而求出角的大??；

（2）由（1）可證得面OEF〃面以。，進(jìn)而可證得OE〃面物￡>,進(jìn)而可知E到平面陰。的距離等于。到

平面PAD的距離，再由等體積法求出O到平面PAD的距離.

【解答】解：（1）因?yàn)镻O_L底面A8CC,BO=OD,

所以PB=PD,

又因?yàn)镻B與底面ABC。所成的角為60°,所以△PB。為等邊三角形，

因?yàn)镋為尸8的中點(diǎn)，所以「。=￡>￡=近尸。=代，

2

因?yàn)樗倪呅蜛BC。邊長為2的菱形，ZDAB=60°,所以△A8Z）為等邊三角形，即8。=2,

所以。E=代，AO=禽，DF=a，

取AB的中點(diǎn)尸，連接ERDF,可得EF〃抬,

所以。E與EF所成的角即為DE與PA所成的角，

則后尸二方附，附=JP02+A02=A/3+3=&，

所以EF=?,

2

在△￡>￡/中，COS/￡)EQDE2+EF2_DF2=-----2——尸=返_,

2口后價(jià)2X?X與4

所以NDEF=arccos

4_

即異面直線DE與PA所成角的大小為arccosYN；

4

(2)證明：連接OF,

由(1)nJ#OF//AD,EF//PA,EFQOF=F,

所以面OEF〃面PAD,

因?yàn)镺EU面OEF,

所以O(shè)E〃面PAD^

所以。到面PAD的距離等于E到面PAD的距離，設(shè)h,

貝I]Vo-PAD=VP-AOD>

而VP.AOD=^SAOD'PO=X^S^ABD'PO=1'1X^1-X2X2X43,

332324

SAPAD=l^-^AD2-(^)2=1-3V2^32-(^-)2=1-3V2-M

所以2?工?3&=?近X2X2xJ^,解得/j=H,

3223245

即點(diǎn)E到平面PAD的距離為返

5

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證法及面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，等體積法求點(diǎn)到面的距離的應(yīng)用，屬于中檔

題.

10.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，在正三棱柱ABC-AIBICI中，底面ABC的面積為心后，側(cè)面積為

60,。是AB的中點(diǎn).

（1）求異面直線Ci。與AC所成的角的大小;

（2）求直線Ci￡>與平面ACG4所成的角的大小.

【分析】（1）由題意得連接CQ,作￡>￡>i〃CiC,根據(jù)題意求出AB=4,￡>￡>i=5,則建立以。為原點(diǎn)，以

DB、DC、DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法，即可得出答案；

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,2V3，5）,A（-2,0,0）,C（0,2禽，0）,利用向量法，即可

得出答案.

【解答】解：（1）在正三棱柱ABC-4BC1中，。是AB的中點(diǎn)，連接CQ,作DDi〃CiC,

貝|JC￡>J_A8,則建立以。為原點(diǎn)，以DB、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系。

-xyz,如圖所示：

:,底面A8C的面積為4?，側(cè)面積為60,

.■?SAABC=X4B2sin60°=4?，且34B?O￡）i=60,解得48=4,DDi=5,

2

則。（0,0,0）,C1（0,2?,5）,A（-2,0,0）,C（0,2代，0）,

.??5c^=（0>2代，5）,AC=⑵2A/3-0），

一DCJA匚—I2=3面.

.,.cos<，

DCi|D?[I'IACIV37X437

二異面直線C\D與AC所成的角余弦值為對五，

37_

故異面直線C\D與AC所成的角的大小為arccos司國?；

37

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,273，5）,A（-2,0,0）,C（0,2百，0）,

則m=（2,2禽，0）,而產(chǎn)（0,0,5）,麗丁（0,2A/3>5）,

設(shè)平面ACC1A1的一個(gè)法向量為11=（x,y,z）,

nIfn*AC=2x+2V3y=0er-nl

則，_,，取貝！Jy=-1,z=0

n,CC[=5z=0

平面ACC1A1的一個(gè)法向量為，=（炳,-1,0）,

設(shè)直線C\D與平面ACG4所成的角為a,

=JPCrnl_

則cosa=|cos<n?

1|DC[I?|n|2XA/3737

故直線C\D與平面ACC\A\所成的角的大小為arccos^llL.

37

【點(diǎn)評】本題考查異面直線的夾角和直線與平面的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

11.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，在四棱錐尸-A8CZ）中，底面ABCZ）是矩形.已知A8=3,A￡>=2,

B4=2,PD=2近,ZPAB=60°.

（I）證明平面PAB-,

（II）求異面直線PC與AD所成角的大小.

【分析】（I）通過證明AO_LA8,來證得4O_L平面以8；

（II）判斷出異面直線PC與AD所成角，解三角形求得角的大小.

【解答】證明：（1）由于四邊形ABC。是矩形，所以

由于見2+A￡>2=PQ2,所以A。J_布，

由于ABCB4=A,AB,以u平面以B,所以AO_L平面以B.

解：（IJ）由于AQ〃BC,所以BC_L平面%B,

由于PBu平面附8,所以8cLp8,

所以NPCB是異面直線PC與AO所成角，

PB=^22+32-2X2X3XCOS600='

所以tan/PC8=4_,由于/PCB是銳角，所以/PCB=arctarP^.

【點(diǎn)評】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

12.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在棱長為4的正方體ABC。-AiBCiOi中，點(diǎn)P在棱CCi上且CCi=4CP.

（1）求AP與BG所成角的大??；

（2）求點(diǎn)4到平面APD\的距離.

AB

【分析】（1）可以取BC的中點(diǎn)M,連接PM,AM,則NARW即為所求，在△APM中利用余弦定理求解;

（2）利用等體積法求解.

【解答】解：（1）如圖，設(shè)M為BC上的點(diǎn)，且BC=4CM,連接PM,AM,C\B,且Bg=4&，

又因?yàn)镃Ci=4CP,故P例〃BCi,且PM=LBC,=&，則NAPM即為”與8G所成角，

41

在△4PM中，=VCP2+AC2=V12+（4V2）2=V33>AM=VAB2+BM2=^16+9=5,

故COSNAPMMAP+E.武二二2=5倔,

2AP-PM66

故所求的角為arccos^逗；

66

（2）連接4P,易知v四棱錐MRJS△"嚴(yán)瑟X/X4X4X4=等，

在△”四中，DiP'Cip2+C]Di2=5,ADi=4后，AP=^,

ADi2+Ap2-Dip2r'國

故cosZD}AP=------------------=-^,故sinZDiAP=^L^,

2AD1?AP倔V66

SAAPD.=fADi-AF，sinZD|AP=2V4l.

再設(shè)4至同面”。的距離為“‘則電棱錐口：％建"颯7=畀汨『等，

【點(diǎn)評】本題考查空間角和距離的計(jì)算，側(cè)重于考查等體積法和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.（2022?寶山區(qū)模擬）已知正方體4BC￡>-48iCi￡>i的棱長為1,P是CG的中點(diǎn)，過4P的平面與88|,

QDi分別交于Q，R,且BQ=L

4

（1）求異面直線PQ與AB所成角的大?。?/p>

（2）求Ci到平面AQPR的距離.

【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，確定PQ與AB的位置關(guān)系，進(jìn)而求PQ與AB所成角的大

小；

（2）Ci到平面4QPR的距離即C到平面AQP的距離，根據(jù)等體積法求解即可.

【解答】（D解：?.?A8CO-4B1C1D1為正方體,

."B"L平面BCC1B1,

?；PQu平面BCC\B\,

C.ABVPQ,

.,.異面直線P。與A8所成角的大小為90°.

（2）。到平面AQPR的距離即C到平面AQP的距離，

5△戶QC=LX—X1=—>AB為三棱錐A-PQC的高,

224

V,.pec=|xSApQCXAB-^

P是CC1的中點(diǎn)，過AP的平面與BB1，。。分別交于Q,R,且8。=工，

4

.?.￡>R=_1,四邊形4QPR為菱形，

4

22

AC=a,AP=^AC+（1）=-|,RQ=BD=近,

SAAPQ=1SAQPR=^XyX-|XV2=^-'

設(shè)C到平面AQP的距離為d,

?."CjAQ-QC^Xs△虹QX4吉

解得：d=叵.

3_

...求Cl到平面AQPR的距離為亞.

3

【點(diǎn)評】本題考查異面直線的夾角和點(diǎn)到平面的距離，是中檔題.

題型二：空間中直線與平面所成的角

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）如圖，在正方體A8CD-A181clz）1中，點(diǎn)。為線段8。的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在

線段C。上，直線OP與平面AiB。所成的角為a,則sina的取值范圍是（）

C.安D.，1]

【分析】建立坐標(biāo)系，求平面48。的法向量，再結(jié)合線面角的向量求法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求得sina的取值

范圍.

【解答】解：如圖所示：設(shè)正方體棱長為1,

以。為原點(diǎn)，DA,DC,DDi，為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),Al(1,0,1),B(1,1,0),O(A,工0),

22U

設(shè)點(diǎn)P(0,k),/G[0,1],

則而=(2，y.t)，DB=(1,1,0)，西=(1,0,1)，

設(shè)平面48。的法向量為（x,y,Z），

一DB*n=x+y=0

則有|_______,設(shè)x=1,貝！Iy=-1,z=-1,

DA1,n=x+z=0

則平面48。的法向量為［=（i,-i,-i）,

In.0P|

則sina=|cos〈E,而＞1=

|n||0P|

設(shè)廠2t2+4t+2,「24（號）2號

設(shè)-（6t2+3）2’

當(dāng)任［0，/）時(shí)，＞'＞°，當(dāng)任（y＞1］時(shí)，＜＜。，

2

所以y=2t+4t+2在1o.1）上是增函數(shù)，在（上，1］上是減函數(shù),

6t2+322

當(dāng)/=0時(shí)，y=2,時(shí)，y=l,

32

f=l時(shí)，尸'，???y€等，1］,

所以sinaE［竺］.

3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線與平面所成的角，屬于中檔題.

二.填空題（共5小題）

2.（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）正方體A8C。-AiBiGU中，直線8a與平面所成角的大小為45

【分析】作出線面角解三角形即可.

【解答】解：由題知CiBiL平面448,則/BiBCi即為直線8cl與平面A4B所成角，BB\=B\C\,BB\

±B1C1,則NBiBCi=45°,

故直線BC1與平面所成角的大小為45°.

【點(diǎn)評】本題考查線面角的基本定義與求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?靜安區(qū)二模）如圖，正方體ABC。-A/iCiDi中，E為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形BCCiBi的中心,

則直線EF與側(cè)面BBCiC所成角的正切值是_返」.

【分析】由直線與平面所成角的作法可得/EFB為直線EF與側(cè)面381cle所成的角，然后求解即可.

【解答】解：連接8C1，

平面BB\C\C,

則/EFB為直線EF與側(cè)面BB\C\C所成的角，

設(shè)|AB|=2,

則|BFI=V2>

貝iJtanZEFB==-4^工，

tan乙MD|B況F［|五2_

則直線E尸與側(cè)面321cle所成角的正切值是亞.

2

故答案為：Y2.

2

D

【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面所成角的作法，重點(diǎn)考查了直線與平面所成角的求法，屬基礎(chǔ)題.

4.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，棱長為1的正方體ABCD-4B1C1Q1中，P為中點(diǎn)，則過P、A、

【分析】過P作PQ〃AC交。于Q,求出PQ的值，可得過P、A、C三點(diǎn)的截面為四邊形B4CQ,可得

四邊形B4CQ為梯形，分別求出上下底邊和高，進(jìn)而求出它的面積.

【解答】解：作PQ〃AC交DiCi于。，因?yàn)镻為中點(diǎn)，所以過P、A、C三點(diǎn)的截面為四邊形以C。,

所以PQ=LC=Y2,4C=&,可得四邊形力CQ為梯形，

22

過PM_LAICI交于何，過M作MN_LAC交于N,可得尸M=亞,

4

在正方體中，A\C\//AC,所以MN_LAC,而

所以AC_L面PMN,可得AC_LPN,

即梯形APQC的高為PM可得面4。，可得MNLPM,

P^VPM2+MN2^

所以S梯形印CQ=1CPQ+AOPN=1（亞+&）?厄=旦

22248

故答案為：9.

8

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用及梯形面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）在平面a上有/BOC=60°,04是平面的一條斜線，OA與NBOC的兩邊

所成的角都為45°,且OA=1,則直線OA與平面a所成角為arcsin1?

------ClXOXXA3-------

【分析】過A作A。，AE分別垂直O(jiān)B,OC于。，E,4尸垂直a于凡可得直線04與平面a所成角為/

A0F,再根據(jù)三角形中的關(guān)系可得各邊長，從而求得AF,進(jìn)而求得sin/AOF即可.

【解答】解：過A作4。，AE分別垂直08,0C于。，E,A尸垂直a于凡連接如圖.

則由題意，AFLOD,又AOJ_O。，AFQAD=A,AF,A￡?u平面A/7）,故OOJ_平面AF￡>,又DFu平面AFD,

故。/）_1_。凡

因?yàn)镺A=1,ZA0D=ZAOE=45°，故。。=4￡>=亞，同理。E=AE=亞.

22

又RtZ\OFQ與RtZSOFE中，OF=OF,0D=0E,故Rt^OFZ）絲Rt△。尸E.

又NBOC=60°,故NDOF=NEOF=30°,故。F=O￡>tan30°=1_,所以30=4口2_0\2=圾，故

63

sinZAOF=—=^-

A03_

又AF垂直a,故直線0A與平面a所成角為NA0F,故直線OA與平面a所成角為arcsin近.

3

故答案為：arcsinl.

3

A

【點(diǎn)評】本題主要考查直線與平面所成的角，屬于中檔題.

6.（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）正方體中ABCO-4B1C1C1，過5作直線/,若直線/與平面A8C。中的直

線所成角的最小值為生，且直線/與直線BG所成角為三，則滿足條件的直線/的條數(shù)為2.

64

【分析】將直線/與直線BC\所成角轉(zhuǎn)化為直線/與所成角，從而得直線/為以AG為軸以4。、DD\

為母線的圓錐的母線所在直線；又直線/與平面ABC。中的直線所成角的最小值為線面角，再將線面角轉(zhuǎn)化

為直線/與平面A8CQ的法線。所成角，分別在左側(cè)面與后側(cè)面內(nèi)作與成三的直線UE,D\F,從

3

而得直線/為以?？跒檩S以。E、。尸為母線的圓錐的母線所在直線，而兩圓錐只有2條交線，從而得滿

足條件的直線/的條數(shù)為2.

【解答】解：①如圖，易知3Ci〃ADi，

直線/與直線BC1所成角也，即為直線I與AD\所成角三，

44

而直線45、直線。Di與直線AG,所成角都為2L,

4

二直線/為以AOi為軸以4。、DD\為母線的圓錐的母線所在直線；

②?.?直線/與平面ABC。中的直線所成角的最小值三為直線與平面的線面角，

6

又平面ABCQ,.?.直線/與。。所成角為三，

3

分別在左側(cè)面與后側(cè)面內(nèi)作與。。成匹的直線DiE,D\F,

3

則直線/為以D\D為軸以DiE、D\F為母線的圓錐的母線所在直線，

由①②知直線/為兩圓錐的母線所在直線的交線，

而兩圓錐的母線所在直線的交線僅有2條，

故滿足條件的直線/的條數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角，線面角的概念，化歸轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力，屬中檔題.

三.解答題（共8小題）

7.（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，多面體AiGOiA8c。是由棱長為3的正方體ABC0-A1B1C15沿平面48。

截去一角所得到在棱4G上取一點(diǎn)E,過點(diǎn)。1，C,E的平面交棱BG于點(diǎn)尺

（1）求證：EF//A\B；

（2）若CiE=2EAi，求點(diǎn)E到平面A1OC8的距離以及ECi與平面A1Q1CB所成角的大小.

【分析】（1）在正方體中可知Ai8〃QiC,進(jìn)而可證得。C〃面A］。，再由線面平行的性質(zhì)定理可得。C

//EF,進(jìn)而可證得E尸〃Ai&

（2）由等體積法VE_ADB="B-ADE'可得E到面AIOICB的距離，設(shè)線面角，可得角的正弦值，進(jìn)而

求出線面角的大小.

【解答】解：（1）證明：在正方體中，A\D\//BC,且A|￡>i=BC,

所以四邊形4O1C8為平行四邊形，所以Ai8〃OiC,

而Z>1C0面AiBCi,A18U面AiBCi，

所以O(shè)1C〃面A1BC1，

又因?yàn)镺1CU面EFCD\,面A\BC\n面EFCD\=EF,

所以。1C〃EF,

所以EF//A\B；

（2）點(diǎn)E到平面A1OC8的距離即是E到面A3"的距離，設(shè)為力,

因?yàn)閂E-A；D：B-VB-A】D：E'

在正方體中，B到面4OE的距離為正方體的棱長3,

又因?yàn)槿鬋iE=2E4i，所以5八an^=~SAAnr=^xlxAiDiXDJCI=1x3X3=^.,

△A1D：E3°AA1D.C13262

因?yàn)槊鍭4B,所以AiDiLAiB,

所似SaA】D：B=/^X4B=aX3X3&=平’

所以看"△A1D：B"=5S21A1D：E3

即9&?〃=2?3,解得人=』2,

222

所以E到面4UCB的距離為亞；

2______________________

22

A1E=1AICI=1-372=V2）^I￡=JA1D1+A1E-2A1E'A1D1COS^-=^9+2-2X3XV2X與

=VB>

設(shè)瓦（I與平面AiOCB所成角的大小為a,a￡[0,—],

2

近

貝I]sina=』—=—?―=」頁

D]EV510

所以a=arcsin之亞-,

10_

即ED\與平面A\D\CB所成角的大小為arcsin'五.

10

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用及等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

8.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，在正三棱柱ABC-4B1G中，底面ABC的面積為小/E，側(cè)面積為

60,。是A8的中點(diǎn).

（1）求異面直線CiO與AC所成的角的大??；

（2）求直線Ci￡>與平面ACG4所成的角的大小.

B

【分析】（1）由題意得連接8,作￡>Qi〃CiC,根據(jù)題意求出AB=4,DDi=5,則建立以。為原點(diǎn)，以

DB、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系。-"z,利用向量法，即可得出答案；

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,2代，5）,4（-2,0,0）,C（0,2禽，0）,利用向量法，即可

得出答案.

【解答】解：（1）在正三棱柱ABC-AiBiCi中，。是AB的中點(diǎn)，連接C￡）,作。5〃GC,