初中三向量知識(shí)點(diǎn)概括

平面向量的線性運(yùn)算

?目標(biāo)導(dǎo)航

1.通過向量加法的探究，掌握向量加法概念，結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意

義。能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向

量的和向量。

2.在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意

義。掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和，比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)

向量等。

3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)

學(xué)在生活中的作用。培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力。

4.通過探究活動(dòng)，掌握向量減法概念，理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)

行，掌握相反向量。

5.學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造性地解決問題。能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形

法則作出兩向量的差向量。

6.通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理

解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。

7.理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平

行。

8.通過探究，體會(huì)類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)

新能力和積極進(jìn)取精神。通過解決具體問題，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。

?重難點(diǎn)突破

1.向量加法的運(yùn)算及其幾何意義。

2.對(duì)向量加法定義的理解。

3.向量的減法運(yùn)算及其幾何意義。

4.對(duì)向量減法定義的理解。

5.實(shí)數(shù)與向量積的意義。

6.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。

7.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用。

8.對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用。

?每課一記

一、求若干個(gè)向量的和的模（或最值）的問題通常按下列步驟進(jìn)行：

⑴尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；

（2）用已知長度的向量表示待求向量的模，有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì)。

二、1.向量的加法定義

向量加法的定義：如圖3,已知非零向量A.b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作AB=a,

8C=b,則向量AC叫做a與b的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=AC。

圖加

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。

2.向量加法的法則：

（1）向量加法的三角形法則

在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法則。運(yùn)用這一法則時(shí)

要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第

一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。零位移的合成可以看

作向量加法三角形法則的物理模型。

（2）平行四邊形法則

向量加法的平行四邊形法則

如圖4,以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以0

為起點(diǎn)的對(duì)角線℃就是a與b的和。我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量

加法的平行四邊形法則。

圖4"

3.向量a,b的加法也滿足交換律和結(jié)合律:

①對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+O=O+a=a。

②兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相

加，它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段。

③當(dāng)a,b不共線時(shí)，|a+b|v|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);

當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b：；

當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|aHb|(或|b|-|a|)。其中當(dāng)向量a的長度

大于向量b的長度時(shí)，|a+b1=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長度小于向量b的長度時(shí)，

|a+b|=|b|-|a|o

一般地，我們有|a+b|W|a|+|b|。

④如圖5,作贏=a,AD=b,以AB.AD為鄰邊作口ABCD,則BC=b,DC=ao

因?yàn)锳C=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a。

如圖6,因?yàn)辂?尼+麗=(而+前)+①=(a+b)+c,

AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c)o

綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。

特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過知識(shí)遷移類比獲得

新知識(shí)的過程與方法。

三、用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，

最后回扣物理問題，解決問題。

四、向量也有減法運(yùn)算。

由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和-a互為相反向量。

于是一(-a)=ao

我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=O。

所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=O。

1.平行四邊形法則

如圖1,設(shè)向量AB=b,AC=a，則AD=-b,由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a,所以BC=a-b。

由此，我們得到a-b的作圖方法。

圖2

2.三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作m=2,OB=b,則應(yīng)=a-b,即a-b

可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義。

(1)定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量。

與數(shù)X的相反數(shù)是-X類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫做a

的相反向量，記作-a。

(2)向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b),

即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。

規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的

幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。

五、我們規(guī)定實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記

作入a,它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|Xa|=|X||a|；

(2)當(dāng)人＞0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)人＜0時(shí)，的方向與a的方

向相反。

由⑴可知，人=0時(shí)，Xa=0o

根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律。

實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、U為實(shí)數(shù)，那么

⑴X(11a)=(XU)a;

(2)(入+u)a=入a+pa;

⑶入(a+b)=入a+入b.

特別地，我們有(-入)a=-(入a)=入(-a),X(a-b)=Xa-Xbo

向量共線的等價(jià)條件是：如果a(aWO)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使

b=Xao共線向量可能有以下幾種情況：

(1)有一個(gè)為零向量；

(2)兩個(gè)都為零向量；

(3)同向且模相等；

(4)同向且模不等；

(5)反向且模相等；

⑹反向且模不等。

數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大

小由I入I?Ia|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或

縮小。向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面

內(nèi)沒有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個(gè)向量在同一條

直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對(duì)于任意向量

a、b,以及任意實(shí)數(shù)人、外、恒有入(〃田土出切=入〃國土入〃213。

?經(jīng)典例題

例1化簡：

⑴商+X5

⑵DB+CD+BC

⑶Q+5?+而+麗+FX

解：

(1)BC+AB=AB+BC=AC

⑵而+而+前=豆+而+麗=(阮+而)+而=麗+而=0

(3)AB+5F+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

^\C+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

解析：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量。

例2若AC=a+b,DB=a-b

①當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？

②當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|a-b|?

③當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b平分a與b所夾的角？

④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、恰為平行四邊形的

對(duì)角線。

由平行四邊形法則，得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-bo

由此問題就可轉(zhuǎn)換為：

①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？（［a|=|b|）

②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線相等？（a.b互相垂直）

③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線平分內(nèi)角？（a.b相等）

④a+b與a-b可能是相等向量嗎？（不可能，因?yàn)閷?duì)角線方向不同）

解析：靈活的構(gòu)想，獨(dú)特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。由此我們可以想到

在解決向量問題時(shí)，可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題。

?練習(xí)題

1.已知正方形ABCD的邊長為1,AB=a,^=c,比=b,則|a+b+c|為（）。

A.0

B.3

C.&

D,2^2

2.設(shè)a=（而+而）+（記+而），b是任一非零向量，則下列結(jié)論中正確的為（）。

（l）a/7b；②a+b=a；③a+b=b；@|a+b|<|a|+1b|；⑤|a+b|=|a|+|b|。

A.①②

B.①③

C.①③⑤

D.③④⑤

3.下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是（）o

①a+b=b+a②a-b=b③O-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0

A.5

B.4

C.3

D.2

4.如圖7,D、E、F分別是AABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則AF-OB等于（）o

A.FD

B.定

C.FE

D.BE

5.下列式子中不能化簡為而的是（）。

A.（AB+CD）+BC

B.（AD+Mfi）+（BC+CM）

C.MB+AD-BM

DOC-OA+CD

6.已知A.

B.C三點(diǎn)不共線，0是AABC內(nèi)一點(diǎn)，若次+而+而=0,則0是△人8（；的（）。

A.重心

B.垂心

C.內(nèi)心

D.外心

1]_

7.3[5(22+813)-(42-213)]等于()。

A.2a-b

B.2b_a

C.b-a

D.a-b

8.設(shè)兩非零向量el、e2不共線，且kel+e2與el+ke2共線，則k的值為()。

A.1

B.-1

C.±1

D.0

9若向量方2x-3(x-2a)=0,則向量x等于()。

A6

A.—a

5

B.-6a

C.6a

nD."6-a

5

10.設(shè)向量a,b都不是零向量：

(1)若向量a與b同向，則a+b與a的方向,且|a+b||a|+|b|；

⑵若向量a與b反向，且|a|>|b|,則a+b與a的方向,且

Ia+b||a|-|b|o

11.如圖17所示，已知正方體ABCD—ABCD，設(shè)而=a,詬巾，M=c,則

AC1=_______（用A、B、C表示）

圖1"

12.在aABC,AE=5AB,EF〃BC,EF交AC于F,設(shè)施=a,AC=b,則而用a、

b表示的形式是而=0

13.在AABC,M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的靠