2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.6-正弦定理和余弦定理【課件】

第四章三角函數(shù)、解三角形第6節(jié)正弦定理和余弦定理ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實1知識梳理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則1.正、余弦定理2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)______________________________一解兩解一解一解無解3.三角形常用面積公式常用結(jié)論×診斷自測解析(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角的正弦值之比.(3)已知三角時，不可求三邊.(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC不一定為銳角三角形.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.(

) (2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.(

) (3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(

) (4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時，△ABC為鈍角三角形.(

)√××B解析因為sinA＝6sinB，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因為C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcosC，2.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，則c＝(

)D解得C＝45°或C＝135°.得AB＝3，所以AB＝BC.過點B作BD⊥AC，交AC于點D，C∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.5.(易錯題)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是(

) A.有一解

B.有兩解 C.無解

D.有解但解的個數(shù)不確定C解析由已知得cosC(sinA－sinB)＝0，所以cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.6.(易錯題)在△ABC中，角A，B，C，滿足sinAcosC－sinBcosC＝0，則三角形的形狀為__________________________.直角三角形或等腰三角形KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一利用正、余弦定理解三角形證明

因為BDsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.例1

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC. (1)證明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解法一如圖所示，過點D作DE∥BC交AB于E，因為AD＝2DC，因為∠BED＝π－∠ABC，所以cos∠BED＝－cos∠ABC，化簡得3c2＋6a2－11ac＝0，方程兩邊同時除以a2，因為BD＝b，所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，因為b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°.75°解析由正弦定理及bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，D考點二判斷三角形的形狀A(yù).等邊三角形

B.直角邊不相等的直角三角形C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形A所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.A又A，B∈(0，π)，又B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinC＜sinBcosA，即sin(A＋B)＜sinBcosA，所以sinAcosB＜0.因為在三角形中sinA＞0，所以cosB＜0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.AA.鈍角三角形

B.直角三角形C.銳角三角形

D.等邊三角形解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為______________.直角三角形∴△ABC為直角三角形.考點三和三角形面積有關(guān)的問題所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，解若選①，由于△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且btanA＝(2c－b)tanB，∵sinB≠0，∴sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA.化簡可得2cos2A＋cosA＝1，則b＋c＝2a.(2)求△ABC的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.訓(xùn)練3

在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求： (1)a的值； (2)sinC和△ABC的面積.且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得解得a＝8.在△ABC中，由正弦定理，得∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，且a＋b＝11.在△ABC中，由正弦定理，可得又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB射影定理的應(yīng)用設(shè)△ABC的三邊是a，b，c，它們所對的角分別是A，B，C，則有：a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.注：以“a＝bcosC＋ccosB”為例，b，c在a上的射影分別為bcosC，ccosB，故名射影定理.證明

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，則bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可證b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.解析法一因為sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，例

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是(

) A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B

D.B＝2AA即cosC(2sinB－sinA)＝0，所以cosC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，又△ABC為銳角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.法二由正弦定理和余弦定理得所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC為銳角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.法三

由正弦定理及sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因為△ABC為銳角三角形，所以cosC≠0，則2b＝a.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3D解析由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故選D.DBA解析在△ABC中，由正弦定理及acosB＋bcosA＝3ccosC.得sinAcosB＋cosAsinB＝3sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝3sinCcosC，由正弦定理及asinA－csinC＋bsinA＝0，得a2－c2＝－ab.A又由余弦定理得解析∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)，∵tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均為銳角，∴選項A正確；6.(多選)已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，下列四個命題中正確的是(

) A.若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC是銳角三角形 B.若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形 C.若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形ACD由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，則△ABC是等腰三角形，∴選項C正確；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，則△ABC是等邊三角形，∴選項D正確.解析A＝2B?sinA＝sin2B?sinA＝2sinBcosB，由正弦定理得a＝2bcosB，7.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，則a＝________.解析由題意畫出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五的“田域類”中寫道：問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13里，14里，15里，求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為________平方里.84解析由正弦定理可得∵sinAsinC≠0，A＋C＝π－B，∴ac＝8，而a＋c＝6，∴(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，∴a2＋c2＝20，解由題設(shè)及余弦定理得因此△ABC的面積為解在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，而0°<C<30°，所以30°<30°＋C<60°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.＝sin(30°＋C)，＝sinCsinC，解若選①，由正弦定理得若選②，由正弦定理得余下同①.若選③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，余下同①.A解析∵a2＝b2＋c2－