滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01銳角三角函數(shù)之正弦重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題01銳角三角函數(shù)之正弦重難點(diǎn)專練（原卷版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海崇明區(qū)·九年級(jí)一模）在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin∠A的值為（）A． B． C． D．3．(2023·上海市川沙中學(xué)南校九年級(jí)期中）在中，分別是的對(duì)邊，如果，那么下列等式中正確的是()A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、解答題4．(2023·上海青浦區(qū)·九年級(jí)二模）已知：如圖，在正方形ABCD中，聯(lián)結(jié)BD，E是邊AB上一點(diǎn)，BF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，且EF?BD＝BE?BF．（1）求證：∠ADE＝∠BDE；（2）延長(zhǎng)DF與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求證：BG＝BC＋AE．5．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知∠MAN是銳角，點(diǎn)B、C在邊AM上，點(diǎn)D在邊AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=，AB=5，AC=9．（1）如圖1，當(dāng)CE與邊AN相交于點(diǎn)F時(shí)，求證：DF·CE=BC·BE；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AN上時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在∠MAN外部時(shí)，設(shè)AD=x，△BCE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域．6．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△中，，，是邊的中點(diǎn)，于.（1）試求的值；（2）求證：；（3）若是邊上的點(diǎn)，且使△為等腰三角形，請(qǐng)求的長(zhǎng).7．(2023·上海）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣2，0）（1）直接寫出：a＝（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，當(dāng)△QAP與△QCD相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，N為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線NA，NB分別交y軸于D，E兩點(diǎn)，分別交拋物線的對(duì)稱軸于F，G兩點(diǎn)．①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；②若，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．8．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在半徑為2的扇形中，°，點(diǎn)C在半徑OB上，AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)D，交弧AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)．（1）若C是半徑OB中點(diǎn)，求的正弦值；（2）若E是弧AB的中點(diǎn)，求證：；（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．9．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（1）求點(diǎn)A、B坐標(biāo)和∠BAO度數(shù)（2）點(diǎn)C、D分別是線段OA、AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且CD=DA，設(shè)線段OC的長(zhǎng)度為x,,請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及定義域（3）點(diǎn)C、D分別是射線OA、射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，且CD=DA，當(dāng)ΔODB為等腰三角形時(shí)，求C的坐標(biāo)（第（3）小題直接寫出分類情況和答案，不用過(guò)程）10．(2023·上海市民辦新竹園中學(xué)）如圖①，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA·OB＝OP2，我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角．(1)如圖②，已知∠MON＝90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB＝135°，求證：∠APB是∠MON的智慧角；(2)如圖①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，連接AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積．11．（2017·上海嘉定區(qū)·九年級(jí)一模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（,），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；某二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）假如點(diǎn)在該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，且△ACQ是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如果第一象限內(nèi)的點(diǎn)在（1）中求出的二次函數(shù)的圖像上，且，求的正弦值.12．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)三模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；②⊙D的半徑＝；（3）求∠ACO的正弦值．13．(2023·上海崇明區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝5，BC＝8，sinB＝．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求⊙O的半徑長(zhǎng)．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，于，且∶3∶2．（1）試求的值；（2）若菱形的面積為100，試求其兩條對(duì)角線與的長(zhǎng)．15．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，把△沿著過(guò)點(diǎn)的某條直線折疊，使點(diǎn)落在軸負(fù)半軸上的點(diǎn)處，折痕與軸交于點(diǎn)．（1）試求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）求的值．16．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的半徑為，在中，、都是圓的半徑，且．點(diǎn)在錢段的延長(zhǎng)錢上，且．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求的正弦值．17．(2023·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長(zhǎng)．18．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)二模）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，以為圓心，5為半徑的圓與相交于、兩點(diǎn)，連結(jié)、．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的正弦值．三、填空題19．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)一模）在中，，，，那么______．20．(2023·上海徐匯區(qū)·）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正方形的頂點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)在邊上，那么的長(zhǎng)是_____．21．(2023·上海九年級(jí)一模）如圖，、、是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)相同，那么的正弦值為_(kāi)________________．22．(2023·上海松江區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么的正弦值為_(kāi)____．23．(2023·上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，已知在梯形中，平行于，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，垂直于，垂足為，且平分，，______．24．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=60°，斜邊BC=14cm，則BC邊上的高為_(kāi)_________cm；答案:25．(2023·上海市位育初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cos∠B=_____．專題01銳角三角函數(shù)之正弦重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海崇明區(qū)·九年級(jí)一模）在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．答案:A分析：利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得答案．【詳解】∵，，，∴AB==10，∴sinA==，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin∠A的值為（）A． B． C． D．答案:C分析：連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)格點(diǎn)的長(zhǎng)度求出BD，CD邊的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理證明∠BDC＝∠ADC＝90°，再計(jì)算sin∠A=計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為x，則，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、銳角的三角函數(shù)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．3．(2023·上海市川沙中學(xué)南校九年級(jí)期中）在中，分別是的對(duì)邊，如果，那么下列等式中正確的是()A． B． C． D．答案:D分析：分別算出∠A的各個(gè)三角函數(shù)值即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：由題意可得：，∴∴正確答案應(yīng)該是D，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、解答題4．(2023·上海青浦區(qū)·九年級(jí)二模）已知：如圖，在正方形ABCD中，聯(lián)結(jié)BD，E是邊AB上一點(diǎn)，BF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，且EF?BD＝BE?BF．（1）求證：∠ADE＝∠BDE；（2）延長(zhǎng)DF與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求證：BG＝BC＋AE．答案:（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)定義得出sin∠EBF＝，sin∠BDE＝，再由EF?BD＝BE?BF，可得＝，即可得∠EBF＝∠BDE，再根據(jù)正方形性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)BF交DA的延長(zhǎng)線于H，先證明△DFH≌△DFB，再結(jié)合正方形性質(zhì)證明△GBF≌△DHF，可得BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，再證明△DAE≌△BAH，可得AH＝AE，結(jié)論得證．【詳解】（1）∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝，在Rt△DBF中，sin∠BDE＝，∵EF?BD＝BE?BF，∴＝，∴sin∠EBF＝sin∠BDE，∴∠EBF＝∠BDE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DAE＝90°＝∠BFD，∴∠EBF＋∠BEF＝∠ADE＋∠AED＝90°，∵∠BEF＝∠AED，∴∠EBF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠BDE；（2）如圖，延長(zhǎng)BF交DA的延長(zhǎng)線于H，∵∠ADE＝∠BDE，∠DFH＝∠DFB＝90°，DF＝DF，∴△DFH≌△DFB（ASA），∴HF＝BF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，∴∠G＝∠ADE，∠GBF＝∠H，在△GBF和△DHF中，，∴△GBF≌△DHF（AAS），∴BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，在△DAE和△BAH中，，∴△DAE≌△BAH（ASA），∴AH＝AE，∴BG＝BC＋AE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．5．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知∠MAN是銳角，點(diǎn)B、C在邊AM上，點(diǎn)D在邊AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=，AB=5，AC=9．（1）如圖1，當(dāng)CE與邊AN相交于點(diǎn)F時(shí)，求證：DF·CE=BC·BE；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AN上時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在∠MAN外部時(shí)，設(shè)AD=x，△BCE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域．答案:（1）證明見(jiàn)解析；（2）AD=；（3）．定義域?yàn)椋海治觯海?）根據(jù)CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE結(jié)合題干證明出△ABD∽△ECB，進(jìn)而得到，再等量代換即可得到DF·CE=BC·BE．（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為H．根據(jù)條件先證明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根據(jù)求出BD，利用三角函數(shù)求出BH，根據(jù)勾股定理即可求出AD．（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為H．BH=4，AH=3，DH=根據(jù)△ECB∽△ABD得到，代入化簡(jiǎn)為即可求解．【詳解】解：（1）∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．∵∠A=∠DBE，∴∠A=∠BEC．∴△ABD∽△ECB，∴．∵，∴，∴DF·CE=BC·BE．（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為H．∵CE∥BD，∴∠CEB=∠EBD=∠A，又∵∠BCE=∠ECA，∴△CEB∽△CAE，∴，∴．∵AB=5，AC=9，∴BC=4，∴，∴CE=6．∵，∴．在Rt△ABH中，，∴AH=．DH=．AD=．（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AN，垂足為H．BH=4，AH=3，DH=．．∵△ECB∽△ABD，∴．∵，∴，∴．定義域?yàn)椋军c(diǎn)睛】此題屬于平面幾何的綜合應(yīng)用，主要利用三角形相似，找到相似比，根據(jù)相似比求值，計(jì)算量較大，有一定難度．6．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△中，，，是邊的中點(diǎn)，于.（1）試求的值；（2）求證：；（3）若是邊上的點(diǎn)，且使△為等腰三角形，請(qǐng)求的長(zhǎng).答案:（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為或或分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出MB的長(zhǎng)度，然后通過(guò)等量代換得出∠MCH=∠MBC，進(jìn)而利用求解即可；（2）通過(guò)，得出，進(jìn)而有，從而可證△AMH∽△BMA，則結(jié)論可證；（3）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，分三個(gè)情況討論：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，利用求解；②當(dāng)時(shí)，可直接得的長(zhǎng)；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)Q，利用求解．【詳解】（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，又∵M(jìn)是邊AC的中點(diǎn)，∴AM=MC=AC=1，∴MB=．又CH⊥BM于H，則∠MHC=，，∴∠MCH=∠MBC，∴；（2）∵，∴，∴AM2=MC2=，即，又∵∠AMH=∠BMA，∴△AMH∽△BMA，∴∠ABM=∠CAH；（3）在△MHC中，．，．∵,∴，∴．∵，∴．當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，分以下三個(gè)情況討論：①當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，∵，，∴，∴；∴，即，∴；②當(dāng)時(shí),；③當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)Q，∵，，∴，∴，∴，即，∴；綜上所述，當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握等腰三角形的定義，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵．7．(2023·上海）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣2，0）（1）直接寫出：a＝（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，當(dāng)△QAP與△QCD相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，N為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線NA，NB分別交y軸于D，E兩點(diǎn)，分別交拋物線的對(duì)稱軸于F，G兩點(diǎn)．①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；②若，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．答案:（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，）；（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，4）．分析：（1）將點(diǎn)A代入拋物線即可．（2）相似分兩種情況，一種是AP∥CD，根據(jù)兩直線平行k相等，再代入點(diǎn)A就可以求出此時(shí)直線AP的解析式，和拋物線聯(lián)立就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；另一種根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解即可．（3）①設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示線段長(zhǎng)度，列比值算出數(shù)值即可．②轉(zhuǎn)換題干中的比值，把斜線的比值轉(zhuǎn)換為水平線的比值，表示線段長(zhǎng)度，列式求解即可．【詳解】解：（1）將A（﹣2，0）代入拋物線中，得0＝4a+4a﹣2，解得．故答案為．（2）拋物線的解析式為，令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0），令x＝0，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)A、C，得：解得∴y＝﹣x﹣2，設(shè)直線BC的解析式為y＝k1x+b1，代入點(diǎn)點(diǎn)B、C，得：解得∴y＝x﹣2，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)D（m，m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），PQ＝，DQ＝，AQ＝，CQ＝，①當(dāng)AP∥CD時(shí)，△APQ∽△CDQ，設(shè)直線AP的解析式為y＝x+b3，代入點(diǎn)A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，∴y＝x+1，令x+1＝x2﹣﹣2，解得x1＝﹣2，x2＝6，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝4，∴P（6，4）．②當(dāng)∠APQ＝∠QCD時(shí)，△APQ∽△DCQ，∴，∴＝解得m1＝﹣2（舍），m2＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝，∴P（，）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，）．（3）①過(guò)點(diǎn)N作NK垂直x軸于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n2﹣n﹣2），則NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．②∵，△NED∽△NGF，∴，過(guò)點(diǎn)N向拋物線的對(duì)稱軸作垂線，分別交y軸和對(duì)稱軸于點(diǎn)J、H，∴△NJE∽△NHG，∴，NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，∴4（1﹣n）＝﹣5n，解得n＝﹣4，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，4）．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，比較考查邏輯分析能力以及計(jì)算能力，需對(duì)知識(shí)熟練掌握.8．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在半徑為2的扇形中，°，點(diǎn)C在半徑OB上，AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)D，交弧AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)．（1）若C是半徑OB中點(diǎn)，求的正弦值；（2）若E是弧AB的中點(diǎn)，求證：；（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為2或．分析：（1）先求出OCOB=1，設(shè)OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根據(jù)勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出∠CBE=∠BCE，再判斷出△OBE∽△EBC，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：①當(dāng)CD=CE時(shí)，判斷出四邊形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；②當(dāng)CD=DE時(shí)，判斷出∠DAE=∠DEA，再判斷出∠OAE=OEA，進(jìn)而得出∠DEA=∠OEA，即：點(diǎn)D和點(diǎn)O重合，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵C是半徑OB中點(diǎn)，∴OCOB=1．∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD．設(shè)OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；（2）如圖1，連接AE，CE．∵DE是AC垂直平分線，∴AE=CE．∵E是弧AB的中點(diǎn)，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．連接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BO?BC；（3）△DCE是以CD為腰的等腰三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)CD=CE時(shí)．∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四邊形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；②當(dāng)CD=DE時(shí)．∵DE是AC垂直平分線，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．連接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴點(diǎn)D和點(diǎn)O重合，此時(shí)，點(diǎn)C和點(diǎn)B重合，∴CD=2．綜上所述：當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為2或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．9．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（1）求點(diǎn)A、B坐標(biāo)和∠BAO度數(shù)（2）點(diǎn)C、D分別是線段OA、AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且CD=DA，設(shè)線段OC的長(zhǎng)度為x,,請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及定義域（3）點(diǎn)C、D分別是射線OA、射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，且CD=DA，當(dāng)ΔODB為等腰三角形時(shí)，求C的坐標(biāo)（第（3）小題直接寫出分類情況和答案，不用過(guò)程）答案:（1）A(0,3),B(),60°（2）（0＜x＜3）（3）（0，0），，（0，6）分析：(1)對(duì)于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)的y與x的值，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后再根據(jù)三角函數(shù)求出∠BAO的度數(shù)即可；(2)先證明△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD=AC=3-x，作DH⊥y軸于點(diǎn)H，用含x的式子表示出DH的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可；(3)當(dāng)△ODB為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：當(dāng)OD=DB時(shí)；當(dāng)BD=BO時(shí)；當(dāng)OD=OB時(shí)，利用等邊三角形的性質(zhì)分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】(1)一次函數(shù)，令，則有，解得：，，令，得，，，在，，∵sin∠ABO=，，；(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為點(diǎn)H，，，，∴ΔADC是等邊三角形，，，==，∵S△OCD=，；(3)由(1)知，在Rt△OAB中，OA=3，OB=3，∠BAO=60°，AB=6，∠ABO=30°，當(dāng)△ODB為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①如圖1，當(dāng)OD=DB時(shí)，D在OB的垂直平分線上，則D為AB的中點(diǎn)，AD=AB=3，∵CD=DA，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=AD=3，∴C與原點(diǎn)重合，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)；②如圖2，當(dāng)BD=BO=3時(shí)，AD=AB-BD=6-3，∵CD=DA，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=AD=6-3，∴OC=OA-AC=3-(6-3)=3-3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3-3)；③如圖3，當(dāng)OD=OB=3時(shí)，∠ODB=∠OBD=30°，∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°，∴∠ODB=∠AOD=30°，∴AD=OA=3，∵CD=DA，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=AD=3，∴OC=OA+AC=3+3=6，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，，(0，6).【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，涉及了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)定義，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，有一定的難度，利用分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.10．(2023·上海市民辦新竹園中學(xué)）如圖①，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA·OB＝OP2，我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角．(1)如圖②，已知∠MON＝90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB＝135°，求證：∠APB是∠MON的智慧角；(2)如圖①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，連接AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積．答案:（1）詳見(jiàn)解析；（2）∠APB＝180°－,S△AOB＝2sinα..解析：試題分析：(1)在△OAP中利用三角形內(nèi)角和可以求得∠OAP+∠APO為135°，再根據(jù)已知條件容易得到∠OAP=∠OPB.由“兩組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等”不難證明△AOP∽△POB.利用相似三角形的性質(zhì)可以證明OA·OB=OP2.由于上述證明過(guò)程中所用到的幾何關(guān)系不隨旋轉(zhuǎn)而改變，所以可以證明本小題的結(jié)論.(2)利用已知條件不難通過(guò)“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角相等”證明△AOP∽△POB.通過(guò)∠OAP=∠OPB可以將∠APB轉(zhuǎn)化為△OAP的兩個(gè)內(nèi)角之和，從而利用三角形內(nèi)角和獲得∠APB與α的關(guān)系.至于△AOB的面積，可以作出OB邊上的高，利用銳角三角函數(shù)將這條高的長(zhǎng)度用含有OA和α的式子表示出來(lái).通過(guò)三角形面積公式和OA·OB=OP2的關(guān)系可以得到△AOB的面積與α的關(guān)系.試題解析：(1)證明：∵∠MON=90°，點(diǎn)P為∠MON平分線上的一點(diǎn)，∴，∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=180°-45°=135°.∵∠APB=135°，∴∠APO+∠OPB=135°，∴∠OAP=∠OPB，∵∠OAP=∠OPB，∠AOP=∠POB=45°，∴△AOP∽△POB，∴，∴OP2=OA·OB，∴∠APB是∠MON的智慧角.(2)下面求解∠APB的度數(shù).∵∠APB是∠MON的智慧角，∴OA·OB=OP2，∴，∵點(diǎn)P為∠MON平分線上的一點(diǎn)，∠MON=α(0°<α<90°)，∴.∵，∠AOP=∠POB，∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=，∵∠APB=∠OPB+∠APO=∠OAP+∠APO，∴.下面求解△AOB的面積.如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H.(以下用符號(hào)S△AOB代指△AOB的面積)∵∠MON=α(0°<α<90°)，即∠AOH=α，∴在Rt△OHA中，，∴，∵∠APB是∠MON的智慧角，∴OA·OB=OP2，∴，∵OP=2，∴，即△AOB的面積為.點(diǎn)睛：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí).正確理解題意，充分利用所謂“智慧角”所包含的條件是解決該題的重要前提；避免對(duì)條件中“旋轉(zhuǎn)”之類字眼的過(guò)分解讀也是在解決本題的過(guò)程中需要特別注意的.另外，利用“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角相等”判定三角形相似的方法容易被忽略，從而造成不必要的困難.11．（2017·上海嘉定區(qū)·九年級(jí)一模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（,），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；某二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）假如點(diǎn)在該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，且△ACQ是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如果第一象限內(nèi)的點(diǎn)在（1）中求出的二次函數(shù)的圖像上，且，求的正弦值.答案:（1）二次函數(shù)的解析式為.；（2），，，；（3）.解析：分析：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為將已知三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問(wèn)題；（2）由點(diǎn)在該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，且△ACQ是等腰三角形，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）利用三角函數(shù)和勾股定理即求的正弦值.【詳解】解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，將（,）、（，）、（,）代入，得解得，，.所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.（2）如圖1，∵點(diǎn)B與點(diǎn)C為拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，∵C(0,5),A(3,1)，∴AC==5，當(dāng)AQ=AC=5時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,6)或(3,?4)；當(dāng)CQ=CA=5時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,9)；當(dāng)QA=QC時(shí),設(shè)Q(3,t),則(t?1)2=32+(t?5)2,解得t=,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,)；綜上所述,滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,6)或(3,?4)或(3,9)或(3,);（3）由題意得，該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線.聯(lián)結(jié)交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為(圖2).將直線與的交點(diǎn)記為，易得，，.∴故可設(shè)，則，.又∵，則.由題意得方程：.解得，，∴.∴.“點(diǎn)睛”本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用三角函數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)三模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；②⊙D的半徑＝；（3）求∠ACO的正弦值．答案:（1）答案見(jiàn)解析；（2）①，，②；（3）．分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，C的坐標(biāo)即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)（1）中的平面直角坐標(biāo)系直接填空；②在直角中，利用勾股定理即可求解；（3）連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M，利用的面積等積轉(zhuǎn)換求得AM的長(zhǎng)度，然后在中利用正弦函數(shù)的定義求得的正弦值．【詳解】解：（1）作弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的在該坐標(biāo)系中的位置如圖所示：（2）解：①根據(jù)圖示知，C（6，2），D（2，0），故答案為：（6，2），（2，0）；②解：在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理知⊙D的半徑AD＝，故答案為：；（3）解：連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M．則OA?CH＝OC?AM，即×4×6＝×?AM，解得，AM＝；在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角函數(shù)；利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．13．(2023·上海崇明區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝5，BC＝8，sinB＝．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求⊙O的半徑長(zhǎng)．答案:（1）AC＝5；（2）分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求BH的長(zhǎng)，由勾股定理可求AC的長(zhǎng)；（2）利用勾股定理列出方程，可求解．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵sinB＝＝，AB＝5，∴AH＝3，∴BH＝＝＝4，∵CH＝BC﹣BH，∴CH＝4，∴AC＝＝＝5；（2）如圖2，連接OB，OC，AO，AO交BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝5，OC＝OB，∴AO是BC的垂直平分線，∴BE＝EC＝4，∴AE＝＝＝3，∵BO2＝BE2+OE2，∴BO2＝16+（OB﹣3）2，∴BO＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓和外心，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，于，且∶3∶2．（1）試求的值；（2）若菱形的面積為100，試求其兩條對(duì)角線與的長(zhǎng)．答案:（1）；（2），分析：（1）令A(yù)H=3k，DH=2k，根據(jù)勾股定理求得BH的值，再根據(jù)三角函數(shù)公式求得sin∠BAD的值；（2）根據(jù)面積公式求得k的值，再根據(jù)勾股定理求得BD的值，最后根據(jù)面積公式求得AC的值．【詳解】解：（1）令，，由四邊形為菱形得．在△中，，，．∴，∴．（2）∵，又∵，∴，解得．又在△中，，，，∴，∵，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力．15．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，把△沿著過(guò)點(diǎn)的某條直線折疊，使點(diǎn)落在軸負(fù)半軸上的點(diǎn)處，折痕與軸交于點(diǎn)．（1）試求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）求的值．答案:（1）（4，0），（0，3），（，0）；（2）=．分析：（1）由直線解析式及可得出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意翻折后能求出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△DCO中可通過(guò)解直角三角形得出C點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由題意得∠ABC=∠DBC，根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)，通過(guò)Rt△BOC可得出sin∠ABC的值．【詳解】解：（1）∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=4∴（4，0），（0，3）．∴，，．由翻折得：，，．∴（0，－2）設(shè)點(diǎn)（，0），則．則在△中，，，．∴，解得．∴（，0）．（2）∵∴==．∵∴．∴=．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的知識(shí)，結(jié)合了幾何圖形，綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)也較多，同學(xué)們要注意掌握此類問(wèn)題的解法．16．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的半徑為，在中，、都是圓的半徑，且．點(diǎn)在錢段的延長(zhǎng)錢上，且．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求的正弦值．答案:（1）；（2）分析：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，先利用勾股定理求解，從而可得，再利用勾股定理求解，從而可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求解的長(zhǎng)，再利用，從而可得答案．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵在中，∴，∴，∴．（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，∴【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，含的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．(2023·上海市育才初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長(zhǎng)．答案:分析：根據(jù)題意由銳角三角函數(shù)可求∠A=∠BCD，可證△ACD∽△CBD，即可求CD的長(zhǎng)，由勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD∴，∴CD2=BD?AD=4∴CD=2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意求出CD的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．18．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)二模）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，以為圓心，5為半徑的圓與相交于、兩點(diǎn)，連結(jié)、．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的正弦值．答案:（1）6；（2）．分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理得出EG=FG，然后由O為AB的中點(diǎn)，OG∥AC可推出OG為△ABC的中位線，從而可求出OG的長(zhǎng)，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的長(zhǎng)，從而可得出EF的長(zhǎng)；（2）首先由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出CO=BO，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG中，求出sin∠OCG的值即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，∴EG=FG，OG∥AC，又O為AB的中點(diǎn)，∴G為BC的中點(diǎn)，即OG為△ABC的中位線，∴OG=AC=4，在Rt△OEG中，由勾股定理得，EG=，∴EF=2EG=6；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，又O為AB的中點(diǎn)，∴CO=BO=4，又OG⊥BC，∴CG=BG=BC=8，∴CE=CG-EG=8-3=5，∴CE=EO，∴∠COE=∠OCE，∴sin∠OCE=．∴∠COE的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，作出輔助線，綜合運(yùn)算基本性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．三、填空題19．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)一模）在中，，，，那么______．答案:分析：直接利用正弦的定義列式求解即可．【詳解】解：∵，，∴∵∴，解得：BC=12．故填：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦的定義，正確理解正弦的定義是解答本題的關(guān)鍵．20．(2023·上海徐匯區(qū)·）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正方形的頂點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)在邊上，那么的長(zhǎng)是_____．答案:分析：根據(jù)等邊三角形以及正方形的性質(zhì)，在Rt△CDG中運(yùn)用正弦的定義建立方程求解即可．【詳解】根據(jù)題可知，△ADE為等邊三角形，即：AD=DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，設(shè)AD=x，則DG=x，DC=AC-AD=2-x，∴在Rt△CDG中，，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是