滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末滿分沖刺卷特訓(xùn)12特殊平行四邊形情景探究壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)12特殊平行四邊形情景探究壓軸題一、解答題1．問題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過延長(zhǎng)ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問題得到解決，請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論（“成立”或“不成立”）拓展應(yīng)用：將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出MF的長(zhǎng)．2．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．3．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．4．【方法回顧】（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝．【問題解決】（2）如圖2，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1.5，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長(zhǎng)．【思維拓展】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為．（用含m的式子表示）5．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？探究問題：（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)說明理由；拓展問題：（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：．6．問題背景若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂針點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角的和是180°，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形中，是一條對(duì)角線，，，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為頂針點(diǎn)；若再滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考(1)如圖2，在中，，，、為外兩點(diǎn)，，，為等邊三角形．①點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，并說明理由．實(shí)踐操作(2)在長(zhǎng)方形中，，．①如圖3，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)、，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段與線段的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說明理由．7．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號(hào))(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．8．折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)活動(dòng)．今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看著折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．實(shí)踐操作，解決問題(1)如圖1，將矩形紙片沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi)，邊和相交于點(diǎn)．在圖1中，①和的數(shù)量關(guān)系為___________．②連接，和的位置關(guān)系為___________(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)（），如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由(3)小敏沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形（如圖3所示），沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì)稱圖形，則小敏折疊的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為（寫出所有可能情況）(4)新題探究：平行四邊形中，，如圖4所示，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在所在平面內(nèi)，連接，當(dāng)恰好為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)度為___________．9．已知，正方形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P、G分別在射線、邊上，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接．(1)如圖1，取的中點(diǎn)E、F，連接，若點(diǎn)Q剛好落在線段上，且點(diǎn)P在線段FC上，則的度數(shù)不可能是下列選項(xiàng)中的______；（填序號(hào)）①45°，②59°，③72°(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，試判斷點(diǎn)P是否一定在射線BC上點(diǎn)C的右側(cè)，并說明理由；(3)在（2）的條件下，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②若線段與相交于點(diǎn)N，連接，試探索點(diǎn)Q落在不同位置時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．10．【定義】只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有ADB和ACB，此時(shí)；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有BAC和BDC，此時(shí)．(1)【理解】如圖1，______；(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號(hào)）；(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說明理由；(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若，則等于多少？11．問題初探（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．聰明的小明是這樣做的：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，由，得，即點(diǎn)、、共線，易證≌______故EF、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．類比探究（2）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．聯(lián)想拓展（3）如圖，在中，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．12．【概念理解】若一條直線把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖1，直線經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，易知直線將分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱直線為的等積直線．(1)如圖2，矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．①求證：．②請(qǐng)你判斷直線是否為該矩形的等積直線．______．（填“是”或“不是”）(2)【問題探究】如圖3是一個(gè)缺角矩形，其中，小華同學(xué)給出了該圖形等積直線的一個(gè)作圖方案：將這個(gè)圖形分成矩形、矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心，所在直線是該缺角矩形的等積直線．如圖4，直線是該圖形的一條等積直線，它與邊，分別交于點(diǎn)，，過的中點(diǎn)的直線分別交邊，于點(diǎn)，，直線______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等積直線．(3)【實(shí)際應(yīng)用】若缺角矩形是老張家的一塊田地如圖5．為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了灌溉方便，便想使每個(gè)兒子分得的土地都有一邊和水井相鄰，試問該如何分割這塊土地？畫出圖形，并說明理由．13．【問題背景】如圖1，小正方形BEFG繞大正方形ABCD的頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，其中，，．(1)【問題探究】猜想AE與CG的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______，請(qǐng)對(duì)上述猜想加以說明．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，連接EC，若，，求線段AE長(zhǎng)．(3)【問題拓展】在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，線段CF的長(zhǎng)為______．(4)如圖3，連接DF，取DF中點(diǎn)M，連接EM，則線段EM的取值范圍是______．14．【問題情境】(1)同學(xué)們我們?cè)?jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【繼續(xù)探究】(2)若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，如圖所示，①請(qǐng)判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，求線段長(zhǎng)．愛動(dòng)腦筋的小麗同學(xué)是這樣做的：過點(diǎn)作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請(qǐng)寫出你的求解過程．【拓展提升】(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用圖，則的最小值為______．15．定義：如果四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形，那么這個(gè)四邊形叫做等面積四邊形，這條對(duì)角線叫做等面積對(duì)角線．(1)[概念理解]下列圖形中，屬于等面積四邊形的是______．A．平行四邊形

B．對(duì)角線互相垂直的四邊形

C．對(duì)角線相等的四邊形(2)等面積四邊形的性質(zhì)：在等面積四邊形中，等面積對(duì)角線平分另一條對(duì)角線．利用所學(xué)知識(shí)證明等面積四邊形的性質(zhì)，即：如圖1，已知：四邊形ABCD是等面積四邊形，等面積對(duì)角線AC與對(duì)角線BD交于點(diǎn)O，△ABC與△ADC的面積相等．求證：BO＝DO．(3)[探究應(yīng)用]如圖2，已知四邊形ABCD是等面積四邊形，等面積對(duì)角線AC與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，AC﹣BC＝2CE．①求證：∠BCE＝2∠DAC；②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求證：AC＝BD．16．【問題情境】（1）小明在學(xué)習(xí)過程中遇到這樣的一道試題：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為邊上一動(dòng)點(diǎn)．，垂足為，求證：．請(qǐng)你幫助小明完成證明；【問題探究】（2）小明在“問題情境”的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究．如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足．連接，，．①求證：；②判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題探究】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，如圖3，若為的中點(diǎn)，直接寫出的最小值為_________．17．問題提出：一條線段沿某個(gè)方向平移一段距離后與原線段構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．我們可以利用這一性質(zhì)，將有些條件通過平移集中在一起來解決一些幾何問題．如圖①，兩條長(zhǎng)度相等的線段和相交于O點(diǎn)，，直線與直線的夾角為，求線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系．分析：考慮將、和集中到同一個(gè)三角形中，以便運(yùn)用三角形的知識(shí)尋求三條線段的數(shù)量關(guān)系：如圖②，作且，則四邊形是平行四邊形，從而；由于，，所以是等邊三角形，故；通過平行又求得．在中，研究三條線段的大小關(guān)系就可以了．如圖②，若，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)__________；問題解決：如圖③，矩形中，E、F分別是、上的點(diǎn)，滿足，，求證：；拓展應(yīng)用：如圖④，中，，D、E分別在、上，、交于點(diǎn)O，，，若，，則____________．18．某數(shù)學(xué)興趣小組利用正方形硬紙片開展了一次活動(dòng)，請(qǐng)閱讀下面的探究片段，完成所提出的問題．四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，，且交正方形外角的角平分線于點(diǎn)F．【探究1】當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，如圖1，發(fā)現(xiàn)，這需要證明與所在的兩個(gè)三角形全等，而與顯然不全等，考慮到點(diǎn)E是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)H，連接，證明與全等即可．【探究2】(1)如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊上（不與點(diǎn)B、C重合）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“”仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程，如果不成立，請(qǐng)說明理由；(2)如圖3，如果點(diǎn)E是邊延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)你畫出圖形，并判斷“”是否成立？（填“是”或“否”）；【探究3】(3)連接交直線于點(diǎn)I，連接，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【探究4】(4)當(dāng)時(shí)，此時(shí)的面積為．19．綜合與實(shí)踐問題解決：(1)已知四邊形是正方形，以為頂點(diǎn)作等腰直角，，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，請(qǐng)判斷和的關(guān)系，并說明理由．問題探究：(2)如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，求證：；問題拓展：(3)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．20．【問題背景】在矩形紙片中，，，點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)Q在邊上，將紙片沿折疊，使頂點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖①，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)A重合．①當(dāng)時(shí)，______．②若點(diǎn)E恰好在線段上，則的長(zhǎng)為_______．【深入思考】（2）點(diǎn)E恰好落在邊上．①請(qǐng)?jiān)趫D②中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕；（不寫作法，保留作圖痕跡）②如圖③，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，連接．請(qǐng)根據(jù)題意，補(bǔ)全圖③并證明四邊形是菱形；③在②的條件下，當(dāng)時(shí)，菱形的邊長(zhǎng)為___________，的長(zhǎng)為_______．【拓展提升】（3）如圖④，若，連接．當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．21．在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．【感知】（1）如圖①，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：．【探究】如圖②，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（2）求證：．（3）連結(jié)，若，則的長(zhǎng)為______．【應(yīng)用】（4）如圖③，取的中點(diǎn)，連結(jié)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)、．若，四邊形的面積為______．22．定義：有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做“準(zhǔn)矩形”；有兩組鄰邊（不重復(fù)）相等的四邊形叫做“準(zhǔn)菱形”．如圖①，在四邊形中，若，則四邊形是“準(zhǔn)矩形”；如圖②，在四邊形中，若，，則四邊形是“準(zhǔn)菱形”．(1)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)分別在圖③、圖④中畫出“準(zhǔn)矩形”和“準(zhǔn)菱形”．（要求：D、在格點(diǎn)上）；(2)下列說法正確的有；（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）①一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)矩形”是矩形；②一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)矩形”是矩形；③一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)菱形”是菱形；④一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)菱形”是菱形．(3)如圖⑤，在中，，以為一邊向外作“準(zhǔn)菱形”，且，，、交于點(diǎn)D；①若，求證：“準(zhǔn)菱形”是菱形；②在①的條件下，連接，若，，，請(qǐng)直接寫出菱形的邊長(zhǎng)．23．綜合與實(shí)踐．如圖①，四邊形是矩形，且，，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與邊交于點(diǎn)F．觀察：（1）線段和有什么數(shù)量關(guān)系？并進(jìn)行證明．操作：（2）小英連結(jié)、后發(fā)現(xiàn)，四邊形的形狀一定是___________；當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為_______時(shí)，四邊形是菱形探究：（3）受小英的啟發(fā)，小亮對(duì)圖形進(jìn)一步操作，將圖②中的與分別沿與進(jìn)行翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別落在矩形內(nèi)的點(diǎn)、處，連結(jié)、，如圖③，請(qǐng)你判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．24．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；探索延仲：如圖2，若在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．25．問題解決：如圖1，是等邊內(nèi)一點(diǎn)，且，，，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，則點(diǎn)與之間的距離為______，______度．類比探究：如圖2，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，．你能求出的度數(shù)嗎？寫出完整的解答過程．遷移運(yùn)用：如圖3，若點(diǎn)是正方形外一點(diǎn)，，，，則=______．（直接寫出答案）26．【問題情境】如圖1，四邊形和四邊形都為正方形，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，分別連接對(duì)角線，，．將正方形從圖1的位置開始繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）【自主探究】(1)小斌畫出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的情形（如圖2），連接后，小斌發(fā)現(xiàn)四邊形是平行四邊形，請(qǐng)幫他證明這一結(jié)論；(2)小亮畫出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的某一情形（如圖3），連接、，寫出線段、的關(guān)系：______．【拓展延伸】(3)如圖4，小穎在正方形繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)過程中（），連接、，請(qǐng)你直接寫出當(dāng)為等腰三角形時(shí)的值．特訓(xùn)12特殊平行四邊形情景探究壓軸題一、解答題1．問題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過延長(zhǎng)ME交AD于點(diǎn)H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問題得到解決，請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論（“成立”或“不成立”）拓展應(yīng)用：將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出MF的長(zhǎng)．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由見詳解；（2）結(jié)論成立，理由見詳解；（3）成立；拓展應(yīng)用：MF=或【分析】（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因?yàn)椤螮DH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H，證法同第（1）小題；（3）如圖3中，延長(zhǎng)EM到點(diǎn)H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，先證明△AMH≌△FME，延長(zhǎng)AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，再證明?DCE??DAH，可得?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；拓展應(yīng)用：分兩種情形畫出圖形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝MF，又∵∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD-AH=CD-CE，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖2中，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴AD+AH=CD+CE，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（3）如圖3中，延長(zhǎng)EM到點(diǎn)H，使EM=HM，連接AH，DE，DH，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，∴AH∥EF，延長(zhǎng)AH交CE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)O，∴∠AKE=∠CEF=90°，∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，∵∠COK=∠AOD，∴∠DCE=∠DAH，在?DCE和?DAH中，∵，∴?DCE??DAH，∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，∴?HDE是等腰直角三角形，M是HE的中點(diǎn)，∴DM⊥EM，DM＝ME，故答案是：成立；拓展應(yīng)用：如圖4中，連接DE．延長(zhǎng)EM到H，使得MH＝ME，連接AH，延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于K．作MR⊥DE于R．易證△AMH≌△FME（SAS），∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，∴AH∥DF，∴∠DAH＋∠ADE＝180°，∴∠DAH＋∠CDE＝90°，∵∠DCE＋∠EDC＝90°∴∠DAH＝∠DCE，∵DA＝DC，∴△DAH≌△DCE（SAS），∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，∴∠HDE＝∠ADC＝90°，∵M(jìn)E＝MH，∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，在Rt△CDE中，DE＝，∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，在Rt△FMR中，F(xiàn)M＝，如圖5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6?5＝1，在Rt△MRF中，F(xiàn)M＝綜上所述：MF=或．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）先證明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明△AEF是等腰三角形；（2）利用三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理可證明DM=MN，再證明∠DMN=∠DAB=90°，即可解決問題；（3）連接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）證明方法類似，可證明DM=MN，再證明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出結(jié)論.【解析】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）解：結(jié)論：DM＝MN，DM⊥MN，證明：∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∵AE＝AF，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MAD＝∠ADM，∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠NMF＝∠EAF，∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，∴DM⊥MN，∴MN＝DM，MN⊥DM，故答案為MN＝DM，MN⊥DM；（3）解：結(jié)論仍然成立．理由：如圖，連接AE，設(shè)AE交DM于O，交CD于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，∵在Rt△ADF中，M是AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，∴MN=AE，MN∥AE，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，∴∠DOG＝∠ECG＝90°，∵NM∥AE，∴∠DOG＝∠DMN＝90°，∴MN⊥DM，MN＝DM．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)定理，找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（2）成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．考點(diǎn)：四邊形綜合題.4．【方法回顧】（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝．【問題解決】（2）如圖2，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1.5，過點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，且∠DAP＝90°，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點(diǎn)B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，若EF＝1，求BE的長(zhǎng)．【思維拓展】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為．（用含m的式子表示）【答案】（1）1.5；（2）；（3）．【分析】（1）【方法回顧】如圖1，利用“”證明，則，，然后利用得到．（2）【問題解決】證明，推出，，再利用勾股定理構(gòu)建方程解決問題即可．（3）【思維拓展】如圖3中，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，．設(shè)，由，推出，可得，利用勾股定理即可解決問題．【解析】解：（1）【方法回顧】如圖1中，四邊形為正方形，，，，，，又∵，，，，，，．故答案為1.5．（2）【問題解決】如圖2中，四邊形是菱形，，，，，即，，，，，，，，．，．（3）【思維拓展】如圖3中，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，．，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形，，設(shè)，，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．5．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），AB＝AE，過點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF．提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？探究問題：（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合．用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí)．在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)說明理由；拓展問題：（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）DE＝CF；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見解析；（3）AF＋CF＝DF或|AF－CF|＝DF【分析】（1）易證△BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出結(jié)果；（2）情況1：過點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，設(shè)BC交DF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=CF，連接BE，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，則∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，則EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；情況2：過點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長(zhǎng)線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，由ASA證得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，則△GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，證明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長(zhǎng)線于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS證得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長(zhǎng)線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，證明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS證得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，則△DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS證得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則△HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS證得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；④當(dāng)F在AD左側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交AF的延長(zhǎng)線于H，連接BE，設(shè)AD交BF于P，證明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS證得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，則∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS證得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=CB，當(dāng)點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合時(shí)，則DE=CF，故答案為：DE=CF；（2）在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中結(jié)論相同；理由如下：情況1：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，過點(diǎn)C作CG⊥CF，交DF于G，如圖②所示：則∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，設(shè)BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴FG=CF，連接BE，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=（180°-90°+2α）=45°+α，∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，∴DE=CF；情況2：過點(diǎn)C作CG⊥CF交DF延長(zhǎng)線于G，連接BE，設(shè)CD交BF于P，如圖③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF，∵∠FPD=∠BPC，∴∠FDP=∠PBC，在△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴FG=CF，設(shè)∠CDG=α，則∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴DE=FG，∴DE=CF；（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交FA延長(zhǎng)線于H，如圖④所示：由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC，在△HDA和△FDC中，，∴△HDA≌△FDC（SAS），∴CF=HA，∴DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；②當(dāng)F在AB的下方時(shí)，作DH⊥DE，交FC延長(zhǎng)線于H，在DF上取點(diǎn)N，使CN=CD，連接BN，如圖⑤所示：設(shè)∠DAE=α，則∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB，∴∠CNB=∠CBN=（180°-∠NCB）=（180°-90°+2α）=45°+α，∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN是等腰直角三角形，∴BF=NF，在△CNF和△CBF中，，∴△CNF≌△CBF（SSS），∴∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，∴△DFH是等腰直角三角形，∴FH=DF，DF=DH，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH，在△ADF和△CDH中，，∴△ADF≌△CDH（SAS），∴CH=AF，∴FH=CH+CF=AF+CF，∴AF+CF=DF；③當(dāng)F在DC的上方時(shí)，連接BE，作HD⊥DF，交AF于H，如圖⑥所示：由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF=DF，DH=DF，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF，在△ADC和△HDF中，，∴△ADC≌△HDF（SAS），∴AH=CF，∴HF=AF-AH=AF-CF，∴AF-CF=DF；④當(dāng)F在AD左側(cè)時(shí)，作HD⊥DF交AF的延長(zhǎng)線于H，連接BE，設(shè)AD交BF于P，如圖⑦所示：∵AB=AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA，∴∠ABP=∠FDP，∴∠FEA=∠FBA，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∴∠FEB=∠FBE，∴△BFE是等腰直角三角形，∴EF=BF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴DH=DF，HF=DF，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC，在△HDA和△FDC中，，∴△HDA≌△FDC（SAS），∴AF=CF，∴AH-AF=CF-AF=HF，∴CF-AF=DF，綜上所述，線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF，故答案為：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．問題背景若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂針點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角的和是180°，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形中，是一條對(duì)角線，，，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為頂針點(diǎn)；若再滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考(1)如圖2，在中，，，、為外兩點(diǎn)，，，為等邊三角形．①點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，并說明理由．實(shí)踐操作(2)在長(zhǎng)方形中，，．①如圖3，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)、，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段與線段的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①、，②，理由見解析；（2）①作圖見解析；②與可能相等，的長(zhǎng)度分別為，，2或18．【分析】（1）根據(jù)互為頂點(diǎn)，互為勾股頂針點(diǎn)的定義即可判斷．（2）①以C為圓心，CB為半徑畫弧交AD于F，連接CF，作∠BCF的角平分線交AB于E，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．②分四種情形：如圖①中，當(dāng)時(shí)；如圖②中，當(dāng)時(shí)；如圖③中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合；如圖④中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，分別求解即可解決問題．【解析】解：（1）根據(jù)互為頂點(diǎn)，互為勾股頂針點(diǎn)的定義可知：①點(diǎn)A與點(diǎn)D和E關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，理由：如圖2中，∵△BDC是等邊三角形，∴∠D＝60°，∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠A＋∠D＝180°，∴點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，故答案為：D和E，A．（2）①如圖，點(diǎn)、即為所求(本質(zhì)就是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，相當(dāng)于折疊)．②與可能相等，情況如下：情況一：如圖①，由上一問易知，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，連接，∵，∴，∴，在中，，，∴，解得，即；情況二：如圖②當(dāng)時(shí)，設(shè)，同法可得，則，，則，，在中，則有，解得：；情況三：如圖③，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與重合，可得；情況四：如圖④，當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與重合，可得．綜上所述，與可能相等，的長(zhǎng)度分別為，，2或18．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．7．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號(hào))(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．【答案】(1)①②③(2)是(3)①1；②；③【分析】（1）如圖，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，由此可直接進(jìn)行判斷；（2）如圖2，證明，根據(jù)割補(bǔ)法可得直線是圖形的面積平分線；（3）①如圖4，先計(jì)算圖形的面積，可得出矩形的面積，由此可得出的長(zhǎng)；②如圖5，根據(jù)面積平分線可知梯形的面積為，根據(jù)面積公式列式可得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得的最大值；③如圖6，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，列不等式可得的取值．【解析】（1）解：根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，∴直線是該“圖形”等積線的是①②③；故答案為：①②③；（2）如圖2，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，即，，即，直線是圖形的等積線．故答案為：是；（3）①圖形的面積，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，若是圖形的面積平分線，且，點(diǎn)必然在線段上，如圖所示，矩形的面積，，②如圖，當(dāng)與重合時(shí)，最大，過點(diǎn)作于，是圖形的面積平分線，梯形的面積，即，，，，由勾股定理得：；即的最大值是；③在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，如圖，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，四邊形面積的平分，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識(shí)，并明確面積平分線的畫法，并熟練掌握矩形面積平分線是過對(duì)角線交點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)活動(dòng)．今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看著折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．實(shí)踐操作，解決問題(1)如圖1，將矩形紙片沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi)，邊和相交于點(diǎn)．在圖1中，①和的數(shù)量關(guān)系為___________．②連接，和的位置關(guān)系為___________(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)（），如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由(3)小敏沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形（如圖3所示），沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì)稱圖形，則小敏折疊的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為（寫出所有可能情況）(4)新題探究：平行四邊形中，，如圖4所示，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在所在平面內(nèi)，連接，當(dāng)恰好為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)度為___________．【答案】(1)①；②(2)結(jié)論①和結(jié)論②成立，見解析(3)或(4)或或或【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換得出，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)以及①的結(jié)論得出，根據(jù)頂角相等的兩個(gè)等腰三角形兩底角相等得出，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行證明即可求解；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，得出，繼而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；（4）分三種情況討論，分別畫出圖形，結(jié)合（1）中的結(jié)論，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理即可求解．【解析】（1）解：①∵將矩形紙片沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi)，邊和相交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；②如圖，②∵折疊，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴∵，∴，即∴又∵，，∴，∴，故答案為：；（2），，理由如下，∵四邊形是平行四邊形，∴,，∴，∵折疊，，，，∴，∴，∵折疊，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵，∴，即∴又∵，，∴，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，如圖，依題意，，，，設(shè)，則，∵∴,解得：，∴，在中，，∴矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，此時(shí)是正方形，∴矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為，故答案為：或（4）解：當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，由（1）可得，∴,在中，∵∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，由（1）可得，∴,∵折疊，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴在中，，，∴，，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵∵四邊形是平行四邊形，∴,，∴，∵折疊，，，，∴，∴，又，∴∵，∴又，∴，在中，，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得∴．綜上所述：的長(zhǎng)度為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．已知，正方形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P、G分別在射線、邊上，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接．(1)如圖1，取的中點(diǎn)E、F，連接，若點(diǎn)Q剛好落在線段上，且點(diǎn)P在線段FC上，則的度數(shù)不可能是下列選項(xiàng)中的______；（填序號(hào)）①45°，②59°，③72°(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，試判斷點(diǎn)P是否一定在射線BC上點(diǎn)C的右側(cè)，并說明理由；(3)在（2）的條件下，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②若線段與相交于點(diǎn)N，連接，試探索點(diǎn)Q落在不同位置時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)③(2)是，見解析(3)①3；②的度數(shù)不變，且，見解析【分析】（1）可推出，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）作，可證得，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，在中求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，設(shè)，則，在中，由勾股定理列出方程求得結(jié)果；②先證得，，進(jìn)而證得，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解析】（1）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在F點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)，不可能是③，故答案為：③；（2）解：如圖2，點(diǎn)P落在點(diǎn)C的右側(cè)，理由如下：連接，作于E，∵點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱，∴垂直平分，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴點(diǎn)P是否一定在射線上點(diǎn)C的右側(cè)；（3）解：①如圖3，作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，∵是的垂直平分線，∴，，在中，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，∴，∴；②如圖4，不發(fā)生變化，理由如下：作，由（2）可知：，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)不發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．10．【定義】只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有ADB和ACB，此時(shí)；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有BAC和BDC，此時(shí)．(1)【理解】如圖1，______；(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號(hào)）；(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說明理由；(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若，則等于多少？【答案】(1)∠ACD(2)③(3)正方形，理由見解析(4)16【分析】（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD；（2）只有③是只有一組對(duì)角是直角的四邊形；（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，進(jìn)而求得∠ACE=90°，從而推得結(jié)果；（4）可推出OB=OD，進(jìn)而推出△BOG是直角三角形，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解析】（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD，故答案為：∠ACD；（2）只有③是只有一組對(duì)角是直角的四邊形，故答案為：③；（3）四邊形ACEF是正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，∴∠ADC=∠ABD=45°，∵四邊形ACEF是菱形，∴∠ECF=∠ACD=45°，∴∠ACE=90°，∴四邊形ACEF是正方形；（4）∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OB=AC，∵中是的中點(diǎn)，∴OD=AC，∴OB=OD=BD，∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴OG⊥BD，∴∠BOG=90°，在中，∴，即，∴，故答案是為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正方形判定等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是充分利用定義給出的結(jié)論．11．問題初探（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．聰明的小明是這樣做的：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，由，得，即點(diǎn)、、共線，易證≌______故EF、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．類比探究（2）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．聯(lián)想拓展（3）如圖，在中，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；；（2），理由見解析；（3）【分析】把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到答案；在上截取，連接，證明≌，得到，，再證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，根據(jù)的結(jié)論得出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解析】（1）解：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得與重合，則，，，，即點(diǎn)、、在同一條直線上，，，，，在和中，，≌，，故答案為：；；，理由如下：在上截取，連接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，，，；（3）如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，，，，，，，，由可知，≌，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．【概念理解】若一條直線把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖1，直線經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，易知直線將分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱直線為的等積直線．(1)如圖2，矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．①求證：．②請(qǐng)你判斷直線是否為該矩形的等積直線．______．（填“是”或“不是”）(2)【問題探究】如圖3是一個(gè)缺角矩形，其中，小華同學(xué)給出了該圖形等積直線的一個(gè)作圖方案：將這個(gè)圖形分成矩形、矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心，所在直線是該缺角矩形的等積直線．如圖4，直線是該圖形的一條等積直線，它與邊，分別交于點(diǎn)，，過的中點(diǎn)的直線分別交邊，于點(diǎn)，，直線______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等積直線．(3)【實(shí)際應(yīng)用】若缺角矩形是老張家的一塊田地如圖5．為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了灌溉方便，便想使每個(gè)兒子分得的土地都有一邊和水井相鄰，試問該如何分割這塊土地？畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②是(2)是(3)沿直線分割這塊土地即可滿足題意，作圖見解析【分析】（1）①根據(jù)矩形性質(zhì)，得到，利用平行線性質(zhì)和對(duì)頂角相等得到，，判定，得到；②根據(jù)，，，結(jié)合梯形面積公式即可得到將矩形分成兩個(gè)面積相等的梯形，得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，MO＝NO，結(jié)合平行線性質(zhì)得到∠PMO＝∠QNO，判定△POM≌△QON（ASA），得到，再根據(jù)MN是等積直線，分缺角矩形的兩部分面積相等，進(jìn)而得到直線PQ是等積直線；（3）由（1）（2）的方法可知，如圖所示，找到缺角矩形的等積直線，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與相交的直線均為缺角矩形的等積直線，過的直線即可將土地分成滿足題意的情況．【解析】（1）①證明：矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，在和中，，，；②由①知，在矩形中，，，，，即直線為矩形的等積直線，故答案為：是；（2）解：是MN的中點(diǎn)，∴MO＝NO，在缺角矩形ABCDEF中，AFBC，∴∠PMO＝∠QNO，在△POM和△QON中，∴△POM≌△QON（ASA），∴，又∵M(jìn)N是等積直線，分缺角矩形的兩部分面積相等，∴PQ也分缺角矩形的兩部分面積相等，即直線PQ是等積直線，故答案為：是；（3）解：由（1）（2）的方法可知，找到缺角矩形的等積直線，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與相交的直線均為缺角矩形的等積直線，如圖所示：連接并延長(zhǎng)，直線過點(diǎn)且與相交，為缺角矩形等積直線，如上圖所示，沿直線分割這塊土地即可滿足題意．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，讀懂題意，明確等積直線的畫法，熟練掌握三角形的中線，矩形的性質(zhì)，梯形的面積的求解是解題的關(guān)鍵．13．【問題背景】如圖1，小正方形BEFG繞大正方形ABCD的頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，其中，，．(1)【問題探究】猜想AE與CG的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______，請(qǐng)對(duì)上述猜想加以說明．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，連接EC，若，，求線段AE長(zhǎng)．(3)【問題拓展】在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，線段CF的長(zhǎng)為______．(4)如圖3，連接DF，取DF中點(diǎn)M，連接EM，則線段EM的取值范圍是______．【答案】(1)相等，垂直，說明見解析(2)(3)(4)【分析】（1）延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)O，交CG于點(diǎn)H．由正方形的性質(zhì)利用“SAS”易證(SAS)，即得出AE=CG，．再由對(duì)頂角相等得出，從而得出，即；（2）連接EG，由正方形的性質(zhì)得出，，即證明A、E、G三點(diǎn)共線．從而得出，再由AE=CG結(jié)合勾股定理即可求出答案；（3）由C、E、F三點(diǎn)共線，可得出，再由勾股定理求出EC的長(zhǎng)，從而利用計(jì)算即可；（4）延長(zhǎng)FE至點(diǎn)N，使EN=EF，連接BN，DN，BD，即可知EM為的中位線，得出．根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得出．再求出，利用三角形三邊關(guān)系即可確定，從而可求出的范圍．（1）如圖，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)O，交CG于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴AB=BC，BE=BG，，∴，即，∴(SAS)，∴AE=CG，．∵，∴，即．故答案為：相等，垂直；（2）如圖，連接EG，∵四邊形BEFG是正方形，∴，，∴，即A、E、G三點(diǎn)共線．由（1）可知AE=CG，，∴，∴；（3）如圖，∵C、E、F三點(diǎn)共線，∴，∴，∴．故答案為：；（4）如圖，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)N，使EN=EF，連接BN，DN，BD由所作輔助線和題意可知EM為的中位線，∴．∵四邊形BEFG是正方形，∴．∵E為線段NF的中點(diǎn)，∴．∵四邊形ABCD是正方形，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，較難．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．14．【問題情境】(1)同學(xué)們我們?cè)?jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【繼續(xù)探究】(2)若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，如圖所示，①請(qǐng)判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，求線段長(zhǎng)．愛動(dòng)腦筋的小麗同學(xué)是這樣做的：過點(diǎn)作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請(qǐng)寫出你的求解過程．【拓展提升】(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用圖，則的最小值為______．【答案】(1)，(2)①結(jié)論：，，理由見解析，②(3)【分析】（1）由“”可證，可得結(jié)論．（2）①延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由“”可證，可得，由四邊形內(nèi)角和定理可求，可得結(jié)論．②過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由“”可證，可得，，由勾股定理可求解．（3）說明點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．在中，可得．根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)交于．四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，，即，，故答案為：，．（2）解：①結(jié)論：，．理由：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，．②如圖3，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，又，，，，，，．（3）解：如圖4中，由（2）可知，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．在中，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．15．定義：如果四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形，那么這個(gè)四邊形叫做等面積四邊形，這條對(duì)角線叫做等面積對(duì)角線．(1)[概念理解]下列圖形中，屬于等面積四邊形的是______．A．平行四邊形

B．對(duì)角線互相垂直的四邊形

C．對(duì)角線相等的四邊形(2)等面積四邊形的性質(zhì)：在等面積四邊形中，等面積對(duì)角線平分另一條對(duì)角線．利用所學(xué)知識(shí)證明等面積四邊形的性質(zhì)，即：如圖1，已知：四邊形ABCD是等面積四邊形，等面積對(duì)角線AC與對(duì)角線BD交于點(diǎn)O，△ABC與△ADC的面積相等．求證：BO＝DO．(3)[探究應(yīng)用]如圖2，已知四邊形ABCD是等面積四邊形，等面積對(duì)角線AC與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，AC﹣BC＝2CE．①求證：∠BCE＝2∠DAC；②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求證：AC＝BD．【答案】(1)A(2)見解析(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論．（2）如圖1中，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M，過點(diǎn)B作BN⊥AC于N．證明△DOM≌△BON（AAS），可得結(jié)論．（3）①如圖2中，在EA上取一點(diǎn)T，使得ET=EC，連接DT，BT．證明四邊形BCDT是平行四邊形，可得結(jié)論．②證明四邊形BCDT是矩形，△BCE，△DET都是等邊三角形，可得結(jié)論．（1）平行四邊形屬于等面積四邊形．故答案為：A；（2）如圖1中，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M，過點(diǎn)B作BN⊥AC于N．∵S△ADC＝S△ABC，∴，∴DM＝BN，∵∠DMO＝∠BNO，∠DOM＝∠BON，∴△DOM≌△BON（AAS），∴OD＝OB．（3）①證明：如圖2中，在EA上取一點(diǎn)T，使得ET＝EC，連接DT，BT．∵四邊形是等面積四邊形，AC是等面積對(duì)角線，∴DE＝EB，∵EC＝ET，∴四邊形BCDT是平行四邊形，∴BC＝DT，DTBC，∴∠BCE＝∠DTE，∵AC﹣BC＝2CE，∴AC﹣2CE＝BC，∴AC﹣CT＝AT＝BC，∴TA＝TD，∴∠DAC＝∠ADT，∵∠DTE＝∠DAC+∠ADT，∴∠BCE＝2∠DAC．②如圖2﹣1中，輔助線同①．由①可知，∠ECB＝2∠DAC＝60°，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠DCA+∠BCE＝90°，∵四邊形BCDT是平行四邊形，∴四邊形BCDT是矩形，∴EC＝ET＝ED＝DB，∴△BCE是等邊三角形，∴∠CEB＝∠DET＝60°，∴△DET是等邊三角形，∵TA＝DT，∴AT＝ET＝EC＝DE＝BE，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等面積四邊形的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．16．【問題情境】（1）小明在學(xué)習(xí)過程中遇到這樣的一道試題：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為邊上一動(dòng)點(diǎn)．，垂足為，求證：．請(qǐng)你幫助小明完成證明；【問題探究】（2）小明在“問題情境”的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究．如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足．連接，，．①求證：；②判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題探究】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，如圖3，若為的中點(diǎn)，直接寫出的最小值為_________．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，由，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解；（2）①根據(jù)已知條件證明，可得；②連接，證明，可得，進(jìn)而可得，證明是等腰直角三角形，可得，等量代換即可證明；（3）連接，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，勾股定理求得，即可求解．【解析】（1）證明：∵正方形中，是對(duì)角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）①由（1）知，∴，即，又∵，∴，∴．②．

理由如下：如圖，連接，∵，∴，∴，，又，∴．

由（1）知，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；

（3）如圖，連接，，，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，正方形的邊長(zhǎng)為,為的中點(diǎn)，則中，，，即的最小值為，，，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．問題提出：一條線段沿某個(gè)方向平移一段距離后與原線段構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．我們可以利用這一性質(zhì)，將有些條件通過平移集中在一起來解決一些幾何問題．如圖①，兩條長(zhǎng)度相等的線段和相交于O點(diǎn)，，直線與直線的夾角為，求線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系．分析：考慮將、和集中到同一個(gè)三角形中，以便運(yùn)用三角形的知識(shí)尋求三條線段的數(shù)量關(guān)系：如圖②，作且，則四邊形是平行四邊形，從而；由于，，所以是等邊三角形，故；通過平行又求得．在中，研究三條線段的大小關(guān)系就可以了．如圖②，若，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)__________；問題解決：如圖③，矩形中，E、F分別是、上的點(diǎn)，滿足，，求證：；拓展應(yīng)用：如圖④，中，，D、E分別在、上，、交于點(diǎn)O，，，若，，則____________．【答案】問題提出：；問題解決：見解析；拓展運(yùn)用：【分析】問題提出：過E作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作且，則四邊形是平行四邊形，從而；由于，，所以是等邊三角形，故；通過平行又求得，分別在和中，利用勾股定理求解即可；問題解決：作交于G，證明，再證是等腰直角三角形即可；拓展運(yùn)用：作且，然后類似“問題提出”求解即可．【解析】問題提出：過E作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作且，∴四邊形是平行四邊形，，∴，，∵，∴，又，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，，，∴，，∴，中，，，，∴；問題解決：作交于G，連接，，∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，又，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；拓展應(yīng)用：作且，連接，過F作于M，∴四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，又，∴，∴是等邊三