2020-2021學(xué)年湖南省郴州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020.2021學(xué)年湖南省郴州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)集合A={x|-3VxV2},B={-2,-1,0,1,2},則AA8=()

A.{x|-2<x<l}B.{R-lWxWl}C.{-2,-1,0,1)D.{-3,-2,

7,1}

2.若復(fù)數(shù)z的模為5,虛部為-4,則復(fù)數(shù)z=（

A.3-4fB.-3-4z

C.3-4，或-3-41D.5-4/

3.已知等比數(shù)列｛斯｝中,43ali=4。7,數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列,且。7=47,則()

A.3B.6C.7D.8

4.劉徽（約公元225年一295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人

之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)

圓的內(nèi)接正〃邊形等分成〃個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得很大時(shí)，這幾個(gè)等腰

三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想得到sin3°的近似值為（）

71兀兀

B.C.D.

9018027060

5.設(shè)〃=log36,Z?=log612,C=log918,則（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

6.已知平面向量而，而滿足I蘇1=1瓦1=1,PA-PB=若I皮1=1，則I菽I的最大值為

()

A.&-1B-V3-1c.V2+1D.V3+1

7.為了加強(qiáng)新冠疫苗的接種工作，某醫(yī)院欲從5名醫(yī)生和4名護(hù)士中抽選了3人（醫(yī)生和

護(hù)士均至少有一人）分配到A,B,C三個(gè)地區(qū)參加醫(yī)療支援工作（每個(gè)地區(qū)一人），方

案要求醫(yī)生不能去A地區(qū)，則分配方案共有（）

A.264種B.224種C.200種D.236種

log^x,x>0

8.已知函數(shù)（/）=4,a（a>0且.若函數(shù)/（x）的圖象上有且只

|x+3|,-4<x<0

有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。的取值范圍是（）

A.(0,$?)B.（。，+8）

C.(4，1)U(1,Q)D.(0,1)U(1,4)

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分）

9.甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計(jì)如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為x甲、

B.甲的成績比乙穩(wěn)定

C.x甲一定大于x乙

D.甲的成績的極差大于乙的成績的極差

10.已知6ca<0,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a2<Z?2B.且+^">2C.lgd1>lgabD.|a|fl<|a|z>

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=|sinx|-sin|x|有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.f（x）是偶函數(shù)

B.f（x）在（0,2TT）上有3個(gè)零點(diǎn)

C.7（x）在（￡,兀）上單調(diào)遞增

D.f（x）的最大值為2

12.如圖3所示，正三棱柱ABC-AiSG各棱的長度均相等，。為AAi的中點(diǎn)，M、N分別

是線段881和線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足8M=CiM當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列

結(jié)論中正確的是（）

A.△QMN是等腰三角形

B.在ADMN內(nèi)總存在與平面BCCiBi垂直的線段

C.三棱錐Ai-ZWN的體積是三棱柱ABC-A向G的體積的看

D.COS/MDNE育'

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知直線尤=1是函數(shù)￡6）=$：111（3乂哈）（3〉0）的一條對(duì)稱軸，寫出3的一個(gè)可

能值為.

14.已知隨機(jī)變量X,y滿足X?8（6,—）,Y=3X+1,E（K）=

6--------

15.（x+包）（2尤-工）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

XX

16.已知扇形AOB半徑為1,/AOB=120°,弧丘上的點(diǎn)P滿足

0P=入0A+W0B（人，WER），則入+四的最大值是；PA,PB最小值是-

四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）

17.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且simA+sidB-sin2C=sinA?sinB

（I）求C；

（II）若△ABC的面積為10晶，D為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S”對(duì)〃eN*有25"=斯2+3.

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（II）若b=2%+3，求｛瓦｝的前〃項(xiàng)和

nn

19.如圖，矩形ABC。中，AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，滿足

ADLBE,

I)

I)

I/IR\--------/------------------1---------H

(I)求證：平面ADE±nABCE；

(II)求二面角E-AC-D的余弦值.

20.足不出戶，手機(jī)下單，送菜到家，輕松逛起手機(jī)“菜市場”，拎起手機(jī)“菜籃子”，省

心又省力.某手機(jī)A”(應(yīng)用程序)公司為了了解居民使用這款A(yù)勿使用者的人數(shù)及滿

意度，對(duì)一大型小區(qū)居民開展5個(gè)月的調(diào)查活動(dòng)，從使用這款A(yù)pp的人數(shù)的滿意度統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下：

月份12345

不滿意的人數(shù)1201051009580

(I)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不滿意人數(shù)y與月份尤之間的回歸直線方程一人?，并預(yù)測

y-bx+a

該小區(qū)10月份的對(duì)這款A(yù)以不滿意人數(shù)：

(II)工作人員發(fā)現(xiàn)使用這款A(yù)pp居民的年齡X近似服從正態(tài)分布N(35,42),求尸

(27<xW47)的值；

(III)工作人員從這5個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表中隨機(jī)抽查100人，調(diào)查是否使用這款4力與性

別的關(guān)系，得到如表：

使用App不使用App

女性4812

男性2218

能否據(jù)此判斷有99%的把握認(rèn)為是否使用這款A(yù)pp與性別有關(guān)?

n__

?LxiYi-nxyZ區(qū)3d3

參考公式：b=2zL-i=l

na=y-bx

x2-nx2=E(-x)2

EX1

i=li=l

附：隨機(jī)變量：m?N(u，。2),貝尸(U-。)心0.68272,P(|i-2o

N+2o)^0.9545,P(四-3。＜^n+3o)"0.9973.

K2=---------n(ad-bc)-------------(其中n—a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛分依)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

21.已知圓M經(jīng)過兩點(diǎn)A(3,，§),B(2,2)且圓心M在直線y=x-2上.

(I)求圓M的方程；

(II)設(shè)E,尸是圓M上異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，直線?！?。尸的斜率分別為M，L2,且心

,fe=2,求證：直線所經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22.某校高二年級(jí)為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，每個(gè)星期都舉行“快樂體育”活動(dòng).在一次“套

圈圈”的游戲中，規(guī)則如下：在規(guī)定的4米之外的地方有一個(gè)目標(biāo)物體，選手站在原地

丟圈，套中目標(biāo)物即獲勝；規(guī)定每小組兩人，每人兩次，套中的次數(shù)之和不少于3次稱

為“最佳拍檔”，甲、乙兩人同一組，甲、乙兩人丟圈套中的概率為別為pi,P2,假設(shè)

兩人是否套中相互沒有影響.

(I)若P14,p21，設(shè)甲、乙兩人丟圈套中的次數(shù)之和為"求孑的分布列及數(shù)學(xué)

期望E-)；

(II)若Pl+P2=白，則游戲中甲乙兩人這一組要想獲得“最佳拍檔”次數(shù)為16次，則

理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)pi,P2的值.

參考答案

一、單選題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.設(shè)集合A={x|-3<x<2},B=[-2,-1,0,1,2},則()

A.[x\-2<x<l]B.因-lWxWl}C.{-2,-1,0,1}D.{-3,-2,

-1，1}

【分析】利用交集定義直接求解.

解：:?集合A={尤卜3cx<2},B={-2,-1,0,1,2),

.?.AnB={-2,-1,0,1).

故選：C.

2.若復(fù)數(shù)z的模為5,虛部為-4,則復(fù)數(shù)z=()

A.3-4;B.-3-4;

C.3-41或-3-4iD.5-4;

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i,a,beR,

:復(fù)數(shù)z的模為5,虛部為-4,

|z|=Va2+(-4)2=5>解得a=+3,

.,.z—3-4z或z—3+4i.

故選：C.

3.已知等比數(shù)列{a,,}中，a3ali=407,數(shù)列{瓦}是等差數(shù)列，且份=。7,則63+bii=()

A.3B.6C.7D.8

2

a

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛飆｝的公比為4,由a3ali=4〃7,可得7=4〃7/0,解得47,數(shù)列｛瓦｝

是等差數(shù)列，則/?3+如=2。7=2〃7.

解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,<a：=4〃7W0,解得“7=4,

數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列，則加+"1=2加=2〃7=8.

故選：D.

4.劉徽(約公元225年一295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人

之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)

圓的內(nèi)接正“邊形等分成“個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)“變得很大時(shí)，這”個(gè)等腰

三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想得到sin3°的近似值為（）

【分析】將一個(gè)單位圓分成120個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為3。，由這120

個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，能求出sin30的近似值.

解：將一個(gè)單位圓分成120個(gè)扇形，

則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為3。，

?.?這120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，

.\120X-J-XIXlXsin3°=60sin30-IT,

/.sin3°?----

60

故選：D.

5.設(shè)〃=log36,/?=log612,C=log918,貝U（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的換底公式，運(yùn)算法則即可求解.

解：a=log36=1+log32=1+4^-?

lg3

i9

Z?=log612=l+log62=1+---g--,

lg6

12

C=log918=1+log92=1+---g--,

lg9

'：0<lg3<lg6<lg9,lg2>0,

,lg2)lg2〉lg2

**Tg31^6辛，

.\a>b>c,

故選：D.

6.已知平面向量而，詢滿足I笆1=1強(qiáng)1=1,PA*PB=若I玩1=1，則I菽I的最大值為

()

A.B.V3-lC.D.

【分析】先根據(jù)向量的夾角公式求出A,再根據(jù)余弦定理求出ABf再根據(jù)當(dāng)A,B,C

在同一直線上時(shí)，|正|有最大值，問題得以解決.

解：?.,國1=1麗=1，PA-PB=

PA,PBi

cosP=P=—Tt

IPAI-IPBI23

由余弦定理，RJMAB2=PA2+PB2-2PA?P8cosP=l+l+l=3,

?'-AB-yJ2,則IABl=V^,

??.|安|=1,，當(dāng)4B,C在同一直線上時(shí)，|菽|有最大值，

?,.lACl=lABl+lBCl=V3+i>

故選：D.

7.為了加強(qiáng)新冠疫苗的接種工作，某醫(yī)院欲從5名醫(yī)生和4名護(hù)士中抽選了3人（醫(yī)生和

護(hù)士均至少有一人）分配到4B,C三個(gè)地區(qū)參加醫(yī)療支援工作（每個(gè)地區(qū)一人），方

案要求醫(yī)生不能去A地區(qū)，則分配方案共有（）

A.264種B.224種C.200種D.236種

【分析】據(jù)題意，分2種情況討論：①選出3人為1名醫(yī)生和2名護(hù)士，②選出3人為2

名醫(yī)生和1名護(hù)士，由加法原理計(jì)算可得答案.

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①選出3人為1名醫(yī)生和2名護(hù)士，有C3C?X2XA±12O種安排方法，

②選出3人為2名醫(yī)生和1名護(hù)士，有cVc：XAg=80種安排方法，

則有120+80=200種安排方法，

故選：C.

'log.x,x>0

8.已知函數(shù)（/）=4,a（a>0且a=l）.若函數(shù)/（x）的圖象上有且只

|x+3|,-4<x<0

有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a的取值范圍是（）

A.（0,4）B.（0,+8）

44

C.（―,1）U（1,Q）D.（0,1）U（1,4）

【分析】根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，求出當(dāng)-4Wx<0時(shí)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化

函數(shù)無)=log°x,(x>0)與y=-|x-3|,(0<xW4),只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函

數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解：當(dāng)-4Wx<0時(shí)，函數(shù)y=|無+3|關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=|-x+3|,即y=-|x-3|,

(0<xW4),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

則等價(jià)為函數(shù)尤)=logflx,(尤>0)與y=-|x-3|,(0<xW4),只有一個(gè)交點(diǎn)，

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：

若。>1,則無)=k?g“x,(x>0)與y=T尤-3],(0<xW4),只有，個(gè)交點(diǎn)，滿足

條件，

當(dāng)x=4時(shí)，y=-|4-3|=-1,

若0<a<l,要使兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，

則滿足了(4)<-1,

即logo4<-1,得—<a<l,

4

綜上可得：1<°<1或。>1,

4

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(二，1)U(1,+8),

4

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分)

9.甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計(jì)如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為訪、

x乙，貝U()

B.甲的成績比乙穩(wěn)定

C.x甲一定大于x乙

D.甲的成績的極差大于乙的成績的極差

【分析】利用折線圖的性質(zhì)直接求解.

解：甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計(jì)如圖，

甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為荷、石，

則由折線圖得：

在A中，第二次考試甲的成績比乙的成績低，故A錯(cuò)誤；

在B中，甲的成績比乙穩(wěn)定，故8正確；

在C中，x甲一定大于x乙，故C正確；

在。中，甲的成績的極差小于乙的成績的極差，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

4（分）

10.已知b<a<0,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a2<b2B.-C.lga2>lgabD.|砰<|砰

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A;由不等式的性質(zhì)及基本不等式可判斷選項(xiàng)5由

不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D

解：對(duì)于A,因?yàn)閎<a<0,所以-b>-a>0,所以（-b）?>（-a）?,即〃>a2,

故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閎〈a〈O,所以也?>(),—>0,且電W旦，所以電+\>2、但~?旦=2,故B

abababVab

正確；

對(duì)于C,因?yàn)閎<a<0,所以。6>°2>0,所以Zgab>lga2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)間>1時(shí)，因?yàn)?<。，所以同。>|。憶故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=|sinr|-sin|R有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是()

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)在(0,211)上有3個(gè)零點(diǎn)

C.7(x)在(妥兀)上單調(diào)遞增

D./(%)的最大值為2

【分析】直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和賦值法的應(yīng)用判斷A、B、a。的結(jié)論.

解：對(duì)于A：函數(shù)/(x)=|sinx卜sin|x|滿足/(-x)=/(%),

故函數(shù)/(-％)=/(%),所以函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)于8：當(dāng)犬=二，二，4，it,函數(shù)/(%)=0,故有4個(gè)零點(diǎn)，故2錯(cuò)誤；

424

JTTTTT

對(duì)于C：當(dāng)％=至-時(shí)，=3當(dāng)x=n時(shí)，f(TI)=0,不滿足了(1-)<f(n),

故函數(shù)不單調(diào)遞增，故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。：當(dāng)工=等時(shí)，/(等)=2,即函數(shù)的最大值，故。正確.

故選：AD.

12.如圖3所示，正三棱柱ABC-4SC1各棱的長度均相等，。為AAi的中點(diǎn)，M,N分別

是線段B81和線段CCi上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足8M=CiN,當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列

結(jié)論中正確的是()

A.是等腰三角形

B.在ADMN內(nèi)總存在與平面BCCiBi垂直的線段

三棱錐Ai-DMN的體積是三棱柱ABC-AiBiCi的體積的看

D.cos/MDNE［卷，

【分析】直接利用線面垂直的判定和性質(zhì)及錐體的體積公式的應(yīng)用判斷48、C、。的

結(jié)論

解：對(duì)于A：對(duì)于8：作NK_LAK,MH±AD,

所以DAfluDE+HM2,DN^^DfP+KN2,整理得：DN=DM,

所以△Z）MN為等腰三角形，故A正確.

對(duì)于3,取MN中點(diǎn)為。，連接。。，BC中點(diǎn)為H,

連結(jié)由于BM=GN,所以。為BG中點(diǎn)，

所以DO//AH,由于A8_L平面BCCiBi,

所以在△QMN內(nèi)總存在與平面BCCiBi垂直的線段，故B正確；

對(duì)于C：VAI-DMN=3-AIDM——X—?A\D?AB?返A(chǔ)B=返A(chǔ)B2?AiD=

32212

2

看X^AB-AAf所以三棱錐Al-DMN的體積是三棱柱ABC-A\ByC\的體積的看，

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)M、N分別為BBi,CG中點(diǎn)時(shí)，△￡>W等邊三角形，為最大角，

當(dāng)用與8重合，N與Ci重合時(shí)，/MDN最小,cos/M￡W=2cos2/M）。-1=工，故。

5

正確.

故選：ABD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.己知直線尤=1是函數(shù)f（x）=sin（3（3〉0）的一條對(duì)稱軸，寫出3的一個(gè)可

能值為

-3

【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，列出3滿足的關(guān)系，將X=1代入，求解即可.

解：函數(shù)f（x）=sin（3（3>0）,

TTJT

則于（x）的對(duì)稱軸方程滿足3X修成+k兀，k€乙

又直線X—1是函數(shù)f（x）=sin（3x+6）（⑴>0）的一*條對(duì)稱軸,

所以3XI哈號(hào)+k兀，k€Z,即3號(hào)+k兀，k€Z,

所以3的一個(gè)可能值為3.

O

故答案為：

O

14.已知隨機(jī)變量X,y滿足X~B（6,—）,y=3X+l,E（丫）=4

6-

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望公式，即可求解.

解：；X~B(6,—),

6

：.E(X)=6義工=1,

6

又：y=3x+i,

：.E（y）=E（3X+1）=3E（X）+1=3X1+1=4.

故答案為：4.

15.（x+旦）（2x-工）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為3

XX

【分析】由于二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為2,故可以令x=l,建立起。的方程，

解出。的值來，然后再由規(guī)律求出常數(shù)項(xiàng)

解：由題意，（無+且）（2了-工）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,

XX

所以，令x=l則可得到方程l+a=2,解得得4=1,故二項(xiàng)式為（xd）（2x-工）3

XX

由多項(xiàng)式乘法原理可得其常數(shù)項(xiàng)為-22XC53+23C52=40

故答案為40

16.已知扇形AOB半徑為1,ZAOB=120°,弧窟上的點(diǎn)尸滿足

0P=入0A+W0B（入，WER）,則入+四的最大值是2；PA?PB最小值是—?

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)/BOP=e,用。表示出點(diǎn)尸坐標(biāo)，得出入+以和直.有關(guān)

于e的表達(dá)式，根據(jù)0的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)得出所求的答案.

解：以。為原點(diǎn)，以O(shè)B為無軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

sin0),B(1,0),A(工，返).

設(shè)則P(cos0,

22

S^0P=X0A+|10B(X,WER)，

2V3.

COS0=—?入+艮入=■y-sine

所以

4r，即＜

sin8X[1=cos9

o

所以入+u=cos0+零sin8=2fsin(9

OoO

因?yàn)辄c(diǎn)P在弧標(biāo)上，所以0484g.

o

所以當(dāng)8m時(shí)，入+四取得最大值卒.

63

PA=("^-cos9,sin9),PB=(l-cos0,-sin。)，

所以PA，PB=(a-cos0)(1-cos0)sin0)(-sin0)

—33QA

一q-ycosU--si.no

=y^/3sin(0+,-y-)?

因?yàn)?484母，所以看48今《爸?

所以當(dāng)8+微-=^"時(shí)，PA,PB取得最小值

故答案為：y-Vs-

四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分)

17.在△A3C中，內(nèi)角在B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinZA+si/B-sin2C=sinA?sinB

(I)求C；

（II）若△ABC的面積為10?,。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

【分析】（I）直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出C的值；

（II）利用三角形的面積公式的應(yīng)用和余弦定理及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】（I）由sin2A+sin2B-sin2C=sin2Asin2B,

利用正弦定理，

可得：a2+b2-c2=ab

vce(0,ii)

（II）由題意知

得〃b=40.

22

由余弦定理得BD2二a乙+^7—abcosC=a2—Jab》2a--Jab[ab=20,

442222

當(dāng)且僅當(dāng)a且成=40，即a=2掂，b=4^時(shí)取等號(hào)，

所以8。的最小值為2娓.

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為Sn,對(duì)吒N*有2Sn=a/+an.

（I）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（II）若b=23n+a,求｛瓦｝的前"項(xiàng)和

nn

【分析】（I）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛%｝是以首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列

｛而｝的通項(xiàng)公式可求；

（II）把（I）中求得的數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式代入bn=2an+an，分組后利用等差數(shù)列與

等比數(shù)列的前力項(xiàng)和公式求解.

解：（I）：2Sn=a：+an，①

，當(dāng)〃=1時(shí)，2al=a；+a]，解得ai=l；

當(dāng)wN2時(shí)，25廣1=2：_1+@工1，②

由①-②得ZaFa:+anTaji+aki），

化(即+Cln-1)(Cln~d-n-1-1)=0,

VVnGN*Wan>Of.\an-an-\=l.

數(shù)列｛斯｝是以首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

.??〃〃=1+（n-1）—n.

??〃〃=〃；

（II）由（I）得an=n,

ann

??-bn=2+an--1.bn=2+n，

123n

ATn=2+l+2+2+2+3+-+24n

=.1+22+23+...+2n+]+2+3+—+n=2乂（卜?一）,+（]+11）==2什1.2Jl4Tlm.

1~222

19.如圖，矩形ABC。中，AB=2,8C=1,E為CO的中點(diǎn)，把△AOE沿AE翻折，滿足

AD±BE.

（II）求二面角E-AC-D的余弦值.

【分析】（I）證明結(jié)合推出BELL平面D4E,然后證明平面ADE

，平面ABCE.

（II）解：法一：（幾何法）如圖所示，連接AC,取AE中點(diǎn)。，連接。。，過。作。0

，AC交AC于。點(diǎn)，連接。。，DQ,N。。。即為所求的二面角的平面角，通過求解三

角形推出二面角E-AC-D的余弦值.

法二：（向量法）取AE的中點(diǎn)。，連接。。，以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，以胡，即分別為尤，y

軸，過E作。。的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ZMC的法向量，平面

AEC的其中一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角E-AC-。的余弦值即可.

【解答】（I）證明：由已知可得AE=BE=亞，AB=2,在aABE中，滿足A-B』

AB2,

：.BE±AE,

'：AD±BE,且ADAAE=A,AD,AEu平面AOE,平面ZME,

又BEu平面ABCE,：.平面ADE_L平面ABCE.

（II）解：法一：（幾何法）如圖所示，連接AC,取AE中點(diǎn)O,連接。O,

C.DOLAE,過。作OQLAC交AC于。點(diǎn)，連接OQ,DQ,

:平面AOE_L平面ABCE,4￡=平面AOEA平面ABCE,

平面ABCE,：.DO±AC,又。OCOQ=O,；.AC_L平面。0Q,

C.ACLDQ,/。。。即為所求的二面角的平面角，

(五產(chǎn)+(6)2_12=3疝

由cos/EAC=

-2X72^7510

D0=^>0Q=|A0|sinZEAC=^y-X^?-=^>

乙乙XvXv

返

又tan/DQO弋房，

UUV5

,?cos/DQO,

二面角E-AC-D的余弦值為

法二：（向量法）取AE的中點(diǎn)。，連接。。，

'：AD=DE,：.DO±AE,;?平面ADE_L平面ABCE,AE=平面AZJEC平面ABCE,

.,.■DO_L平面ABCE,

如圖所示，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以E4,即分別為尤，y軸，過E作。。的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A

D

0,

設(shè)m=(x,y,z)為平面DAC的法向量，不妨令x=l,則y=3,z=l.m=(1,3,1)>

而平面AEC的其中一個(gè)法向量顯然為W=(O,0,1)，

/-mnV11

c°sm,?而^F，

二面角E-AC-D的余弦值為YU.

11

20.足不出戶，手機(jī)下單，送菜到家，輕松逛起手機(jī)“菜市場”，拎起手機(jī)“菜籃子”，省

心又省力.某手機(jī)A"(應(yīng)用程序)公司為了了解居民使用這款A(yù)"使用者的人數(shù)及滿

意度，對(duì)一大型小區(qū)居民開展5個(gè)月的調(diào)查活動(dòng)，從使用這款A(yù)pp的人數(shù)的滿意度統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下：

月份12345

不滿意的人數(shù)1201051009580

(I)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不滿意人數(shù)y與月份尤之間的回歸直線方程一:▲二并預(yù)測

y-bx+a

該小區(qū)10月份的對(duì)這款A(yù)pp不滿意人數(shù)：

(II)工作人員發(fā)現(xiàn)使用這款4勿居民的年齡X近似服從正態(tài)分布N(35,42),求尸

(27<xW47)的值；

(III)工作人員從這5個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表中隨機(jī)抽查100人，調(diào)查是否使用這款4力與性

別的關(guān)系，得到如表：

使用App不使用App

女性4812

男性2218

能否據(jù)此判斷有99%的把握認(rèn)為是否使用這款4配與性別有關(guān)?

nn__

*￡x,y--nxy工(x-x)(y--y)

XX-L4x**

參考公式：------------q------------------，-

n。n_a-y-bx

Zx|-nx=X(x「x)

i=li=l

附：隨機(jī)變量：W?N⑺，。2),貝Ijp(H-0<^|i+o)心0.68272,P(廠2?！粗?/p>

N+2o)仁0.9545,P(|i-3o<《Wp_+3o)七0.9973.

K2=----------n(ad-bc)--------(其中〃=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p(蜉力依)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

【分析】Q)根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，將尤=10代入上

式的線性回歸方程中，即可求解.

(〃)根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

(/〃)結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

1+2++4+5

解：(I)由表中的數(shù)據(jù)可知，-=|=3,寸20+105+￥。+95+80=]00,

55

5_

*Lxiyi-5xy

1410-1500_0

所以b蕓-----------——9

55-45

故再-bi=100-(-9)X3=127

所以所求的回歸直線方程為“一Q

y—9x+127

令x=10,則y=_gx10+127=3人

(II)依題意得P(27<xW47)=P(35-2X4<xW35+3X4)

0.9973-0.95450.9545+0.9973

比0.9454+~2~~2~=0.9759-

(III)提出假設(shè)”0：是否使用這款47P與性別無關(guān)，

由表中的數(shù)據(jù)可得k2=l°°x(48X18-22x12)2=6%7143〉6.63E>

60X40X70X307

根據(jù)臨界值可得，有99%的把握認(rèn)為是否使用這款與性別有關(guān).

21.已知圓M經(jīng)過兩點(diǎn)A(3,B(2,2)且圓心M在直線y=x-2上.

(I)求圓M的方程；

(II)設(shè)E,尸是圓M上異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，直線。E,。尸的斜率分別為左2,且心

,fe=2,求證：直線EP經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

2

【分析】(I)設(shè)出圓的方程(尤-a)+(y-b)2=產(chǎn)(r>0),由己知可得關(guān)于a、b、

廠的方程組，求解縱b、r的值，則圓的方程可求；

(II)由題意設(shè)丫=丘+乩與圓的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)

的關(guān)系及％?依=2求得k與b的關(guān)系，再由直線系方程得結(jié)論.

解：(I)設(shè)圓M的方程為：(x-a)2+(y-b)2=產(chǎn)(r>0),

(3-a)2+(V3-b)2=r2'a=2

由題意得，,(2-a)2+g-b)2==2，解得，b=0,

,b=a-2'r=2

圓/的方程：("2)2+y2=4；

證明：(II)由題意，所所在直線的斜率存在，設(shè)直線跖：y=kx+b,

由,(x-2)+V-4,得(1+R)x2+(2妨-4)x+/?2=0.

uy=kx+b

△=(2^-4)2-4(1+F)6=4(4-4妨-