2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式單元綜合一課一練含解析新人教B版必修第一冊

PAGEPAGE1專題突破專練專題1利用不等式性質(zhì)求范圍1.(2024·北京西城區(qū)高二聯(lián)考)已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,則(a-b)c2的取值范圍是。

答案：(0,8)解析：依題意0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8。2.已知實(shí)數(shù)a滿意ab2>a>ab,求實(shí)數(shù)b的取值范圍。答案：解:若a<0,則b2<1<b,產(chǎn)生沖突,所以a>0,則b2>1>b,解得b<-1,即b的取值范圍為(-∞,-1)。3.(2024·山東微山高二月考)若-π2<α<β<π6,求α-答案：解:∵-π2<β<π6,∴-π6<-β<π2。∵-π2∴-2π3<α-β<2π3。又∵α<β,∴α-β<0,∴-2π3<α-4.(2024·北京日壇中學(xué)高二月考)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],求4a-2b的取值范圍。答案：解:∵a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],∴4a-2b=(a+b)+3(a-b)=[2,4]+3[0,1]=[2,7],∴4a-2b的取值范圍為[2,7]。專題2敏捷運(yùn)用均值不等式求最值5.(2024·江蘇南通高三三縣聯(lián)考)已知x,y為正實(shí)數(shù),則4xx+3y+3yA.53 B.103 C.3答案：D解析：4xx+3y+3yx=4xx+3y+x+3yx-1≥24x6.(2024·山東濰坊一中高二月考)求y=x2+7x+10答案：解:y=x2+7x+10x+1=當(dāng)x>-1,即x+1>0時,y≥2(x+1)·4x+1+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“7.(2024·遼寧鞍山一中高二月考)已知a,b都是負(fù)實(shí)數(shù),求aa+2b答案：解:∵a,b為負(fù)實(shí)數(shù),∴a+2b<0,a+b<0,∴a+ba+2b>0,a∴aa+2b+ba=2(a+≥22(a+當(dāng)且僅當(dāng)2(a+b)a+2b=a故aa+2b+ba+8.已知x>0,y>0,x+2y+2xy>8,則x+2y的最小值是。

答案：4解析：x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y22(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號),整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號),則x+29.(2024·江蘇淮安清江中學(xué)高三第一次階段測試)設(shè)a>0,b>0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為答案：32解析：本題主要考查均值不等式。因?yàn)閍+b=5,所以(a+1)+(b+3)=5+4=9。因?yàn)?a+1+b+3)2=(a+1)+(b+3)+2a+1·b+3=9+2a+1·b+3≤9+(a+1)+(b+3)=18,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3=92,即a=72,b=32時等號成立,所以a+1+b+3≤18專題3依據(jù)不等式求參數(shù)范圍10.(2024·甘肅天水月考)若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x對隨意實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]答案：B解析：不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化為(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式恒成立,符合題意;當(dāng)a-2≠0時,要使不等式恒成立,需a-2<0,Δ<0,解得-2<a<211.(2024·廣東惠州調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是12,+∞,求關(guān)于x答案：解:因?yàn)椴坏仁絘x-b>0的解集是12,+∞,所以a>0,且a-2b=0,所以不等式ax-2b-x+5>0等價于x-1-x12.(2024·黑龍江齊齊哈爾八校聯(lián)考)若對x>0,y>0,x+2y=1,有2x+1y≥m恒成立,求答案：解:∵x>0,y>0,x+2y=1,∴2x+1y=(x+2y)·2x+1y=2+2+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=12,y=14時取等號,∴2x+1y的最小值為8,又213.(2024·山東威海一中高二月考)若不等式m≤12x+21-x當(dāng)x∈(0,1)答案：解:當(dāng)x∈(0,1)時,1-x>0,∴12x+21-x=1-x+x2x+2(1-x)+2x1-x=1-x2x+2x1-x+12+2≥52+21=14.(2024·吉林長春模擬)若正數(shù)m,n滿意m+n+3=mn,不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍。答案：解:令m+n=a,則mn=a+3,故m,n是方程x2-ax+a+3=0的兩個正實(shí)數(shù)根,∴Δ=a2-4不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立?不等式ax2+2x+a-10≥0在a≥6時恒成立。即函數(shù)f(a)=(x2+1)a+2x-10≥0在a∈[6,+∞)時恒成立。f(6)=6(x2+1)+2x-10≥0?x≥23或x≤-1專題4含參數(shù)一元二次不等式15.(2024·遼寧鞍山三中高二月考)解不等式:ax2+(a+2)x+1>0。答案：解:(1)當(dāng)a=0時,不等式可化為2x+1>0,解得x>-12。解集為x(2)當(dāng)a≠0時,∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,解得方程ax2+(a-2)x+1=0兩根為x1=-a-2-a2∴當(dāng)a>0時,解集為xx>-a-2+a2+42a當(dāng)a<0時,解集為x-a-2+a2+42a16.(2024·山東定陶一中高二測試)解不等式ax2-5ax+6a>0(a≠0)。答案：解:∵a(x2-5x+6)=a(x-2)(x-3)>0,∴當(dāng)a>0時,解集為{x|x<2或x>3};當(dāng)a<0時,解集為{x|2<x<3}。17.解不等式x2+ax+4>0。答案：解:∵Δ=a2-16,∴當(dāng)a∈(-4,4),即Δ<0時,解集為R;當(dāng)a=±4,即Δ=0時,解集為x|當(dāng)a>4或a<-4,即Δ>0時,兩根分別為x1=-a+a2-162,x2=-a∴不等式的解集為xx>-a+a2-162或18.解不等式x2-a+1ax+1<0(a答案：解:原不等式可化為(x-a)x-1a<0,令a=1a,可得a=±1,∴當(dāng)a<-1或0<a<1時,此時原不等式的解集為x|當(dāng)a=1或a=-1時,a=1a,可得其解集為?當(dāng)-1<a<0或a>1時,a>1a,解集為x19.(2024·北京北航附中高二月考)解不等式x2-5ax+6a2>0(a≠0)。答案：解:原不等式可化為(x-2a)(x-3a)>0,對應(yīng)方程(x-2a)(x-3a)=0的兩根為x1=2a,x2=3a,當(dāng)a>0,即2a<3a時,解集為{x|x>3a或x<2a};當(dāng)a<0,即2a>3a時,解集為{x|x>2a或x<3a}。20.(2024·日照第一中學(xué)高二周練)解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。答案：解:若a=0,原不等式?-x+1<0?x>1;若a<0,原不等式?x-1a(x-1)>0?x<1若a>0,原不等式?x-1a其解的狀況由1a和1的大小確定,(1)當(dāng)a=1時,不等式的解集為?;(2)當(dāng)a>1時,不等式的解集為x|(3)當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為x|1綜上所述,當(dāng)a<0時,解集為x|當(dāng)a=0時,解集為{x|x>1};當(dāng)0<a<1時,解集為x|1當(dāng)a=1時,解集為?;當(dāng)a>1時,解集為x|真題分類專練題組1不等式的性質(zhì)1.(2024·湖北黃岡高二學(xué)考·T4)若a,b為實(shí)數(shù),則“0<ab<1”是“b<1a”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：D解析：依據(jù)題意,若“0<ab<1”,當(dāng)a,b均小于0時,b>1a,即“0<ab<1”?“b<1a”為假命題;若“b<1a”,當(dāng)a<0時,ab>1,即“b<1a”?“0<ab<1”為假命題。綜上,“0<ab<1”是“b<1a2.(四川卷文·T5)若a>b>0,c<d<0,則肯定有()。A.ad>bc B.aC.ac>bd D.a答案：B解析：因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<1-d,又a>b>0,所以a-d>b-c>0,變形得ad<bc,故A不成立;由a>b>0,c<0可得ac<bc<0,故B成立;3.(湖南長沙高二學(xué)考·T3)已知a,b,c∈R,且a>b,ab≠0,則下列不等式肯定成立的是()。A.a3>b3 B.ac2>bc2C.1a<1b D.a2>答案：A解析：由函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)可知A項(xiàng)正確;B項(xiàng),c=0時不正確;C項(xiàng),a=1,b=-1時不正確;D項(xiàng),a=1,b=-1時不正確。4.(2024·湖北仙桃高一(上)學(xué)考·T4)給出下列命題,其中正確的是()。A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若a>b>0,則1a2C.若a>b>0,c>d>0,則ab>D.若a>b>0,c>0,則ca>答案：C解析：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd>0,兩邊同時除以bc,得ab>dc>0,所以ab>dc,所以選項(xiàng)C正確題組2求不等式的解集5.(2024·全國Ⅰ卷·T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=()。A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案：B解析：解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},所以可以求得?RA={x|-1≤x≤2},故選B。6.(2024·全國Ⅱ卷·T1)設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=().A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)答案：A解析：由題意,得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},則A∩B={x|x<1}。故選A。7.(安徽馬鞍山高一(下)學(xué)考·T4)不等式2x+3-x2>0的解集為()。A.{x|x<-3或x>1}B.{x|-3<x<1}C.{x|x<-3或x>1}D.{x|-1<x<3}答案：D解析：與不等式2x+3-x2>0對應(yīng)的方程2x+3-x2=0的兩個根為-1,3,結(jié)合與之對應(yīng)的二次函數(shù)圖像可知不等式的解集為{x|-1<x<3}。8.(2024·遼寧學(xué)考·T6)不等式(x+2)(x-3)<0的解集是()。A.{x|-2<x<3} B.{x|-3<x<2}C.{x|x<-2或x>3} D.{x|x<-3或x>2}答案：A解析：因?yàn)?x+2)(x-3)=0的根為-2,3,所以由不等式(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,不等式(x+2)(x-3)<0的解集是{x|-2<x<3},故選A。9.(2024·新疆學(xué)考·T2)不等式-3x+6<0的解集是()。A.{x|x<-2} B.{x|x<2}C.{x|-2<x} D.{x|2<x}答案：D解析：∵-3x+6<0,∴x>2,∴解集是{x|2<x},選D。10.(上海卷文·T15)下列不等式中,與不等式x+8x2+2x+3A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)C.1x2D.x2+2答案：B解析：因?yàn)閤2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,x+8可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)可得x+8x2+2x+3<2,所以與不等式x+8x2+2x+311.(大綱卷文·T3)不等式組x(x+2)>A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}答案：C解析：∵x(x+2)>0,|x|<112.(2024·廣東一月學(xué)考·T7)不等式x2-9<0的解集為()。A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}答案：D解析：由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3。故選D。13.(2024·天津卷·T10)設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為。

答案：-解析：3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,即-1<x<23,故x的取值范圍是-14.(2024·江蘇卷·T23)設(shè)x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2。答案：x解析：當(dāng)x<0時,原不等式可化為-x+1-2x>2,解得x<-13當(dāng)0≤x≤12時,原不等式可化為x+1-2x>2,即x<-1,無解當(dāng)x>12時,原不等式可化為x+2x-1>2,解得x>1綜上,原不等式的解集為x|題組3均值不等式的應(yīng)用15.(湖南卷文·T7)若實(shí)數(shù)a,b滿意1a+2b=ab,則ab的最小值為(A.2 B.2 C.22 D.4答案：C解析：∵1a+2b=ab,∴a>0,b>0?！遖b=1a+2b≥21a×2b=22ab,∴ab≥22(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時取等號),16.(2024·浙江11月學(xué)考·T16)若實(shí)數(shù)a,b滿意ab>0,則a2+4b2+1ab的最小值為()A.8 B.6 C.4 D.2答案：C解析：實(shí)數(shù)a,b滿意ab>0,則a2+4b2+1ab≥4ab+1ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立。故選17.(2024·北京十五中會考)假如a>b>0,且a+b=1,那么下列不等式中肯定成立的是()。A.ab<1 B.1bC.1b+1a<1ab D.答案：D解析：∵a≠b,∴ab<a+b22=14,∴D肯定18.(2024·浙江卷·T5)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的()。A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解析：當(dāng)a>0,b>0時,a+b≥2ab,則當(dāng)a+b≤4時,有2ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;當(dāng)a=1,b=4時,滿意ab≤4,但此時a+b=5>4,必要性不成立,綜上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件。19.(2024·天津卷·T13)設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則(x+1)(答案：43解析：(x+1)(2y∵x>0,y>0,x+2y=5,xy>0,∴2xy+6xy≥22xy·6xy=43,當(dāng)且僅當(dāng)xy=3,即x=3,20.(2024·天津卷·T12)若a,b∈R,ab>0,則a4+4b答案：4解析：a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4,前一個等號成立條件是a2=2b2,后一個等號成立的條件是ab=1221.(湖南卷·T18)設(shè)a>0,b>0,且a+b=1a+1證明:(1)a+b≥2;答案：證明:由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b由均值不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”。(2)a2+a<2與b2+b<2不行能同時成立。答案：假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,從而ab<1,這與ab=1沖突。故a2+a<2與b2+b<2不行能同時成立。題型4不等式的綜合應(yīng)用22.(2024·江蘇卷·T10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元。要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則x的值是。

答案：30解析：總費(fèi)用為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=900x【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時,要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿意均值不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“相等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤。23.(2024·湖北黃岡高二會考·T14)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為答案：