專題4-4奇偶數(shù)列問題

專題44奇偶數(shù)列問題高考真題2021·新高考1卷T17已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一奇偶項(xiàng)遞推公式不同2024屆重慶一中月考已知數(shù)列滿足，(1)記，求證：為等比數(shù)列；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由可知結(jié)合可得進(jìn)而可證為等比數(shù)列；（2）由（1）結(jié)論可先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，則可求.【詳解】（1）證明：且，又，為以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，，又，，所以.2023·巴蜀中學(xué)高三?？家阎獢?shù)列滿足：①；②.則的通項(xiàng)公式；設(shè)為的前項(xiàng)和，則.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）【答案】【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)令可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)令，可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，再利用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則，則，當(dāng)時(shí)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，所以，所以故答案為：，2024解·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考已知數(shù)列滿足，且的前100項(xiàng)和(1)求的首項(xiàng)；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)而討論即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，知.2023屆·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考（多選）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項(xiàng)；由分組求和法即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，，可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，累加可得，時(shí)也符合；當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，累加可得；則，C正確；對(duì)于D，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，又，，D正確.2023屆·山東省聊城市高三下學(xué)期第一次模擬已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.【詳解】（1），得，因?yàn)?，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.2023屆·重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期一診已知數(shù)列滿足：，且．設(shè)．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)數(shù)列的前2n項(xiàng)和為【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得，由此構(gòu)造數(shù)列，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，由（1）可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式，進(jìn)而求得答案.【詳解】（1）由題意可知：，，故，即，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且，故（2）由（1）知，,即，由題意知：，故，故數(shù)列的前2n項(xiàng)和.已知數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，(2)【解答】(1)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即.所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是常數(shù)列.又，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即的通項(xiàng)公式為.已知數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）由數(shù)列滿足，且.．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列成等差數(shù)列．當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列成等比數(shù)列，即可得出．（2）可得：．利用“錯(cuò)位相減法”與分組求和即可得出．（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列成等差數(shù)列．

當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列成等比數(shù)列

（2）2023屆·月考（六）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：是等比數(shù)列(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【詳解】（1）證明：由已知可得，，.又時(shí)，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比.（2）解：由（1）可知，.則.所以，.所以.已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，整理數(shù)列的遞推公式，利用等比數(shù)列的定義，可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減法，可得答案.【詳解】（1）由，得，又，故，所以，即，故又，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），設(shè)，其前n項(xiàng)和為，則，，所以，所以，且，所以.已知數(shù)列滿足：，．(1)求，；(2)設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．【答案】(1)，(2)證明詳見解析，，(3)【詳解】（1）依題意，數(shù)列滿足：，，所以.（2），.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（3），，所以，所以.安徽省宣城市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題已知數(shù)列滿足，，，令.(1)寫出，，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前10項(xiàng)和.【答案】(1)，，；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又，所以，，，?dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，則，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）可得，記的前項(xiàng)和為，則.已知數(shù)列中，，對(duì)任意的，都有（1）計(jì)算，的值；（2）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，.;(2)見解析.【詳解】分析：（1）由，令，即可求得，的值；（2），又，∴成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．詳解：（1）

∴，.（2）又，∴成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即．題型二含有（1）n項(xiàng)2024屆·湖北騰云聯(lián)盟10月聯(lián)考T15在等比數(shù)列中，，則.【答案】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公比，然后根據(jù)定義可判斷為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】記等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，記，因?yàn)椋允?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.【答案】【詳解】的前項(xiàng)和所以，數(shù)列的前20項(xiàng)的和為.已知，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】【詳解】，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故已知，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【詳解】，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，（2023·重慶巴南·一模）在數(shù)列中，已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】所以.設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的最值．【詳解】兩式相減：∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則∴單調(diào)遞減，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則∴單調(diào)遞增，∴的最小值為，最大值為1四川省成都市樹德中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【答案】330【分析】分別討論為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法代入求和即可.【詳解】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以，，①則當(dāng)時(shí)，②①②得：，則，而當(dāng)時(shí)，，則，滿足上式．所以．（2）記，，.已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1);(2)353【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加得到【詳解】（1）因?yàn)椋頽取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以已知數(shù)列中，，．（1）求，，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求及．【答案】（1），，；；（2），【分析】（1）分別令利用遞推公式以及可得，，，將遞推公式整理可得，可得是常數(shù)列，結(jié)合其首項(xiàng)即可求得的通項(xiàng)公式；（2）利用并項(xiàng)求