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文檔簡介

設D為連通的平面區(qū)域,復連通區(qū)域單連通區(qū)域否則,稱為復連通區(qū)域.則稱D為平面單連通區(qū)域,所圍成的部分都屬于D,如果D內任一閉曲線12.3格林公式及其應用12.3.1格林(Green)公式例如,是單連通區(qū)域，當觀察者沿邊界前進時,規(guī)定:邊界曲線L的正向區(qū)域D總在他的左邊.是復連通區(qū)域.L+l稱為復合閉曲線設平面閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,在D上有一階連續(xù)偏導數,則其中L是

D的取正向的邊界曲線.格林公式格林公式的實質:

溝通了沿閉曲線的積分與二重定理1格林(Green)公式函數積分之間的聯(lián)系.為便于記憶,格林公式可記做對復連通區(qū)域D,D的全部邊界的曲線積分,D來說都是正向.格林公式右端應包括沿區(qū)域且邊界的方向對區(qū)域由格林公式,得設閉區(qū)域D的面積為S,L是

D的正向邊界曲線.解由格林公式其中L為圓周方向為逆時針方向.例1

計算其中解L的方向為逆時針方向.例2

計算其中不能直接用格林公式.因被積函數中的點(x,y)在曲線上,再用格林公式.可先用曲線方程將被積函數化簡,則解令由格林公式例3

計算其中D是由直線

分析:但由可知非常簡單.其中AO是從點⌒的上半圓周到點此積分路徑⌒不是閉曲線!例4

計算為應用格林公式需補上一段曲線,補充的曲線要簡單,使之構成閉曲線.因而這里補直線段的直線段.通常補與坐標軸平行解由格林公式的方程為故所以,

解的正向邊界.令有例5

計算其中L為橢圓形區(qū)域

不能直接用格林公式!作輔助圓取順時針方向,由L和l所圍成的復連通區(qū)域不包含原點.

在上應用格林公式,得其中l(wèi)

的方向取順時針方向BAL1L2定義1否則,稱曲線積分與路徑有關.恒成立，則稱曲線積分在G內與路徑無關,12.3.2平面上曲線積分與路徑無關的條件G內具有一階連續(xù)的偏導數.設G一個開區(qū)域,P(x,y)和

Q(x,y)在區(qū)域給定兩個點

A、B,如果對于G內任意以及從點A到點B的任何兩條曲線L1，L2,

等式定理2設G是平面上的單連通區(qū)域,函數P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數,(2)對G內任一閉曲線C,則下列四個命題等價:(3)在G內,曲線積分

與路徑無關;在G內恒成立;解原式=所以,曲線積分與路徑無關.例6

計算其中L為令由點解令有例7

計算其中L為

故該曲線積分在任意不含原點的單連通區(qū)域的一段弧.

中與路徑無關.

其參數方程為A點對應

B點對應于是

選擇新的路徑其中C為任意常數.12.3.3全微分方程

則稱微分方程設P(x,y)和Q(x,y)一階偏導數在平面區(qū)域D內連續(xù),且存在某個二元函數

使為全微分方程,或恰當方程.方程的通解為此時,曲線積分

與路徑無關,或的求法:則取解1所以,是全微分方程.原方程的通解為例8求方程的通解.(x,y)解2因所以,是全微分方程.通解為例8求方程的通解.解設積分與路徑無關其中

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