高中數(shù)學(xué)《二項(xiàng)式定理》教案與分層同步練習(xí)

《6.3二項(xiàng)式定理》教案

（第一課時(shí)二項(xiàng)式定理）

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二通過學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的有關(guān)內(nèi)

項(xiàng)式定理.容，提升邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)

2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.算素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

牛頓善于在日常生活中思考，他取得了科學(xué)史上一個(gè)又一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，有一

次，他在向一位姑娘求婚時(shí)思想又開了小差，他腦海中只剩下了無(wú)窮量的二項(xiàng)

式定理，他抓住了姑娘的手，錯(cuò)誤地把它當(dāng)成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，

痛的姑娘大叫，離他而去.

問題什么是二項(xiàng)式定理？

提示（a+b）n=C：a"+C：aib+…+心g-寸+…+CW即為二項(xiàng)式定理.

A知識(shí)梳理

二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念

注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念

公式（a+b）"=C：a"+C：aib+…+Ca'fbk+…+C：b”,稱為二項(xiàng)式

二項(xiàng)式定理

定理

二項(xiàng)式系數(shù)d(k=O,1,…，n)

通項(xiàng)Tk+1=C^V

二項(xiàng)式定理

(1+x)r=Cn+CnX+C^X2++CpXk++C?Xn

的特例

拓展深化

［微判斷］

1.(a+b)”的展開式中共有n項(xiàng).(X)

提示(a+b)”的展開式中共有n+1項(xiàng).

2.在公式中，交換a,b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響.(X)

提示交換a,b的順序各項(xiàng)都發(fā)生變化.

3.0@"-的是(a+b)”展開式中的第k項(xiàng).(義)

提示(:射-甘是(a+b)”展開式中的第k+1項(xiàng).

4.(a—b)”與(a+b)”的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(J)

［微訓(xùn)練］

/\5

l.(x一曰的展開式中含十項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()

A.-10B.10

C.-5D.5

解析［一口展開式的通項(xiàng)為Tk+產(chǎn)Cl］—?=(_,圖5-2:令5—2k=3,

得k=l,.?.含Y項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=5.

答案D

2?卜一I1/展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.80B.-80

C.40D.-40

解析3母展開式的通項(xiàng)為Tk+尸圖/尸卜目=(―2)txf令io—5k

=0,得k=2,.?.常數(shù)項(xiàng)為(一2)七=40.

答案C

3.設(shè)S=(X—1)3+3(X-1)2+3(X-1)+1,則S等于.

解析S=［(x-l)+l］3=x3.

答案x3

［微思考］

1.二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別？

提示二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指C：,

C：,…，C,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a,b的值無(wú)關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該

項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a,b的值有

關(guān).

2.二項(xiàng)式(a+b)"與(b+a)"展開式中第k+1項(xiàng)是否相同？

提示不同.(a+b)”展開式中第k+1項(xiàng)為CaLW而(b+a)”展開式中第k+

1項(xiàng)為C^bn-kak.

【課堂互動(dòng)】

題型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用

【例11(D求卜&+的展開式.

(2)化簡(jiǎn):C°(x+l)n-Ci(x+l)--1+C^(x+l)n-2--+(-l)kC^(x+l)--k+-+

2

2

+C4(3^/X),十c；

=-7(1+3X)1=A*[1+C；?3x+C：(3x)，+C；(3x)，+C：(3x))]=—;(1+12x

xxx

112

+54X2+108X3+81X4)=-H■一+54+108x+81x2.

XX

(2)原式=C：(x+l)n+C：(x+l)nT(-1)+C"x+1)T(-1)2+…+C(x+l)Lk(一

l)k+-+C(-l)n=[(x+l)+(-l)]n=xn.

【遷移】(變條件，變?cè)O(shè)問)若(l+/)"=a+b/(a,b為有理數(shù))，則a+b

42

解析,.,(1+V3)=1+C'1X(V3)'+dX(V3)+dX(擊尸+C：義(V3),-l+

4^3+18+1273+9=28+16^3.，a=28,b=16,/.a+b=28+16=44.

答案44

規(guī)律方法(l)(a+b)”的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的幕指數(shù)規(guī)

律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；②字母a按降暴排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n

逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升基排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.

(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式

的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.

【訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)：(2X+1)S—5(2X+1),+10(2X+1)3—10(2X+1)2+5(2X+1)

-1.

解原式=C，(2X+1)5—C；(2X+1)'+CK2X+1)3—D(2X+1)2+C；(2X+1)—CK2X

+1)°=[(2X+1)-1]5=(2X)5=32X5.

題型二二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用

[例2](1)求二項(xiàng)式(2亞一()的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系

數(shù)；

/、9

(2)求(x—?的展開式中X，的系數(shù).

解(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為

Tk+尸圖2巾尸?1一[=26-kC^(-l)k-x3~；,

39

AT(；=26-5C5.(-I”.X3-；X5=_]2X-；.

.?.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為森=6,

第6項(xiàng)的系數(shù)為-12.

(2)設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含義的項(xiàng)，則

丁卜+尸擊1?(一曰=(-i)k?ci?

令9—2k=3,得k=3,

即展開式中第4項(xiàng)含x\

其系數(shù)為（一1）3?C=-84.

【遷移1】（變?cè)O(shè)問）本例問題⑴條件不變，問題改為“求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)和第4項(xiàng)的系數(shù)”.

3

解由通項(xiàng)Tk+i=（—l）JC”2Ak?x3-：,

知第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ce=20,

第4項(xiàng)的系數(shù)為（一1”?CM23=-160.

【遷移2】（變?cè)O(shè)問）本例問題⑵條件不變，問題改為“求展開式中x5的系

數(shù)”，該如何求解？

解設(shè)展開式中第k+1項(xiàng)為含（的項(xiàng)，則

T_/1\k/-?k9—2k

Tk+1=（-1）?C9?x,

令9-2k=5,得k=2,

即展開式中的第3項(xiàng)含X，,且系數(shù)為（-1）2.C；=36.

規(guī)律方法（1）求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型

①求第k項(xiàng)，Tk=C、a'i+ibi；②求含小的項(xiàng)（或xV的項(xiàng)）；③求常數(shù)項(xiàng)；④

求有理項(xiàng).

（2）求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法

①對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0（即0次項(xiàng)）；

②對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的

項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬

于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；

③對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，

求解方式與求有理項(xiàng)一致.

【訓(xùn)練2】已知二項(xiàng)式（3衽一亮.

（1）求展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

⑵求展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；

⑶求展開式的第4項(xiàng).

解。心一日的展開式的通項(xiàng)是

，2(2、kio-3k

Tk+尸C0(3市嚴(yán)［一%|=C?o3lo-kl-d?x〉(k=O,1,2,10).

⑴展開式的第4項(xiàng)(k=3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；o=12O.

⑵展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為口3(—|丫=—77760.

(3)展開式的第4項(xiàng)為北=13+1=-7776M.

題型三與展開式中的特定項(xiàng)有關(guān)的問題

角度1求展開式中的特定項(xiàng)

【例3】《的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是()

1515

令12—3k=0,解得k=4.

/、4

所以常數(shù)項(xiàng)為卜目仁岑.

答案D

角度2由二項(xiàng)展開式某項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)問題

/、10

【例4】若(六一公卜+，的展開式中大的系數(shù)為30,則a等于()

11

A.§B-2

C.1D.2

解析（x+野的展開式的通項(xiàng)是

Tk+l=Co?x"?('=僚?x吁”

/、1U

（x+?的展開式中含X,（當(dāng)k=3時(shí)）、x'（當(dāng)k=2時(shí)）項(xiàng)的系數(shù)分別為C；。.

/、1。/X10

因?yàn)椋▁2—a）（x+?的展開式中含火的項(xiàng)由X?與（x+力展開式中含x"的項(xiàng)的乘

積以及一a與1x+口展開式中含x，的項(xiàng)的乘積兩部分構(gòu)成，因此由題意得。一

aC^=120-45a=30,由此解得a=2.

答案D

規(guī)律方法求展開式中特定項(xiàng)的方法

求展開式中特定項(xiàng)的關(guān)鍵是抓住其通項(xiàng)公式，求解時(shí)先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)，再把系

數(shù)和字母分離，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不

等式即可求解.有理項(xiàng)問題的解法，要保證字母的指數(shù)一定為整數(shù).

【訓(xùn)練3】（1）若（x一曰的展開式中Y的系數(shù)是一84,則@=.

（2）已知n為等差數(shù)列一4,一2,0,…的第六項(xiàng)，則的二項(xiàng)展開式的常

數(shù)項(xiàng)是.

（、k

解析（1）展開式的通項(xiàng)為Tk+i=CRi（—a）|：|

=C”（一a”x9T（o《W9,keN）.

當(dāng)9—2k=3時(shí)，解得k=3,代入得x，的系數(shù)為C；（—a”=-84,解得a=l.

⑵由題意得n=6,.』+1=2匕沃1）

令6-2k=0得k=3,.?.常數(shù)項(xiàng)為2g=160.

答案（1）1（2）160

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

2.注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念.要牢記是展開式的第k+l

項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng).

3.求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定

值.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.1—2C：+4C：—8C：+…+(—2)C等于()

A.1B.-1

C.(-1)"D.3n

解析逆用二項(xiàng)式定理，將1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式

=(l-2)n=(-l)n.

答案C

2.若(1+裂尸=a+b小(a,b為有理數(shù))，則a+b等于()

A.33B.29

C.23D.19

解析：(1+啦)'=1+4/+12+8鏡+4=17+12，^=a+b啦，又?.”，b為

有理數(shù)，.，.a=17,b=12.，a+b=29.

答案B

3.在(1—XT—(1—x)'的展開式中，含x：,的項(xiàng)的系數(shù)是()

A.-5B.5

C.-10D.10

解析(1-X)、中父的系數(shù)一《=-10,—(1—x?中工的系數(shù)為一CM(—1”=

20,故(1—xF—(1—xT的展開式中x，的系數(shù)為10.

答案D

4.二項(xiàng)式(2x+?的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.

解析二項(xiàng)式（2x+J的第k+1項(xiàng)為Tk+產(chǎn)圖2x）i?g）=C”產(chǎn)卜?xf令

6-3k=0,解得k=2,所以常數(shù)項(xiàng)是晨?2'=240.

答案240

/1\8

5.力的展開式中M的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

/、k

解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk+i=C（x2）'f]—?=（-l）kCH67k,令16—3k=7,

得k=3,故X?的系數(shù)為一《=—56.

答案一56

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.（x+2）”的展開式共有12項(xiàng)，則n等于（）

A.9B.10

C.11D.8

解析???（a+b）”的展開式共有n+1項(xiàng)，而&+的展開式共有12項(xiàng)，...n=

11.

答案C

2.—為虛數(shù)單位）的二項(xiàng)展開式中第7項(xiàng)為（）

A.-210B.210

C.-120iD.-210i

解析由通項(xiàng)得T7=C：°?（-i”=-C：°=—210.

答案A

3.卜〃一I）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.-60

C.250D.-250

解析［偵一3展開式的通項(xiàng)為，（市產(chǎn)［—：）=（-2）kCy-；.令3-1k=0,

得k=2..?.（、區(qū)—野展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（-2）2?森=60.

答案A

4.（x+；|展開式中的第4項(xiàng)是（）

A.56x3B.84x3

C.56x*D.84x'

解析由通項(xiàng)公式有Ti=C；xfm=84x3.

答案B

5.（2x+#）4的展開式中父的系數(shù)是（）

A.6B.12

C.24D.48

解析（2x+市”展開式的通項(xiàng)為

Tk+i=C（2x）i（而）.=2"一工玩4一生.

k

令4—5=3,解得k=2,

故展開式中X，的系數(shù)是4?d=24.

答案C

二、填空題

6.若（x+ay°的展開式中父的系數(shù)為15,則@=.

解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+i=C3i￡,當(dāng)析一k=7時(shí),k=3,T4=C?O

a：ix7,則（3癡=15,故a=^.

小生1

答案2

7.若（ax+；|（2x+；|展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-40,則a=.

解析（2x+?展開式的第k+1項(xiàng)為

/、k

5-k5-k52k

Tk+1=C5（2x）?M=c^2x-.

因?yàn)椋╝x+'（2x+m的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-40,所以axa22x-+^C?23x=-

40,

所以40a+80=-40,解得a=-3.

答案一3

/八6

8.1x—4+皆（x>0）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

解析（x—4+3（x>0）可化為泉，因而Tk+i=C：2?（再）?（一j

=（-2）U-x6-k.

6

令6—k=0,得k=6,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（一2）?喘=59136.

答案59136

三、解答題

9.若二項(xiàng)式。一書（a>0）的展開式中X，的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,且8=

4A,求a的值.

解?..Tk+i=C]-1—君=（―a）yx'十，

3k

令6-5=3,則k=2,得A=C”a°=15a2；

令6—萬(wàn)=0,則k=4,得B=C"a'=15a".

由B=4A可得￡=4,又a>0,

所以a=2.

10.已知(、&+%)"(其中n<15)的展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求n的值；

(2)寫出它展開式中的所有有理項(xiàng).

O

解(1)(市+市)”(其中n〈15)的展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)分別是0C,1.0.

儂逖思得8!(n—8)!+10!(n—10)!'9!(n—9)!'

化簡(jiǎn)得90+(n-9)(n—8)=20(n—8),

即n-37n+322=0,

解得n=14或n=23,

因?yàn)閚<15,所以n=14.

14—kk42—k

⑵展開式的通項(xiàng)Tk+1=C^x-?x；=C1?x丁，

展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)k是6的倍數(shù)，又0WkW14,

所以展開式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)，分別是：

k=0,TI=C，X7=X,；

66

k=6,T7=CU=3003X；

k=12,TI3=CHX3=91X5.

能力提升

11.若(x+l)"=x"H-Fax,+bx'+nx+l(nGN*),且a：b=3：l,那么n=

解析a=C「3,b=Cr2.Va：b=3：1,

.cr3Cn3n(n—1)(n—2)X2

,?cT_C^_r即6n(n-1)一九

解得n=ll.

答案11

fl1Y

12.已知在［5x2—的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：

（Dn的值;

⑵展開式中（的系數(shù)；

⑶含x的整數(shù)次嘉的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

解已知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+尸《聶）?卜太）=（—Dk（3服"。

⑴因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)k=8時(shí)，2n一報(bào)=0,

解得n=10.

52

（2）令2X10—點(diǎn)=5,得k=E（20—5）=6.

25

/、4

所以《的系數(shù)為（-1）‘nC：產(chǎn)詈.

540—5k

⑶要使2n—/,即一y—為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k=0,1,2,3,…,

9,10,故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng).

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）對(duì)于二項(xiàng)式d+xXnWN"）,以下判斷正確的是（）

X

A.存在ndN*,使展開式中有常數(shù)項(xiàng)

B.對(duì)任意n《N*,展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)

C.對(duì)任意n《N*,展開式中沒有x的一次項(xiàng)

D.存在nGN*,使展開式中有x的一次項(xiàng)

解析二項(xiàng)式g+xj的展開式的通項(xiàng)為Tk+i=Cx'*f,可知，當(dāng)n=4k（kdN*）和

門=妹一l（k￡N*）時(shí)，展開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和x的一次項(xiàng).

答案AD

1

（_LV

14.（多空題）在二項(xiàng)式溝二的展開式中，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則

n=,此時(shí)二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為.

,、2

解析二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,c>j,由其成等差數(shù)

,、2

列，可得2C：?，=1+4?自,即n=l+n11—,所以n=8（n=l舍

Z"）o

/、k

（\\3k3k

去）.所以展開式的通項(xiàng)Tk+尸qjx"：若為有理項(xiàng)，則有4一7ez,又

0WkW8,kGN,所以k可取0,4,8,所以展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3.

答案83

《6.3二項(xiàng)式定理》教案

（第二課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)）

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏

關(guān)的簡(jiǎn)單問題.

輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

同學(xué)們根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出（a+b）"（n=l,2,3,4,5,6）的二項(xiàng)式系數(shù).可

以寫成如下形式：

(a+b)'......................................11

(a+b)2..................................121

(a+b)3..............................1331

(a+6),.......................14641

(a+6)5...................151()1()51

(a+b)b...............1615201561

這個(gè)表在我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)

了，所不同的只是這里的表是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，在那本書里用漢字表示的，

這個(gè)表稱為“楊輝三角”.在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)

的，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右，由此可見我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面的成

就.

問題你能利用上述規(guī)律寫出下一行的數(shù)值嗎？

提示根據(jù)規(guī)律下一行的數(shù)值分別是：172135352171.

A知識(shí)梳理

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

在求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值時(shí)，要注意討論n的奇偶性.

在(a+b)”的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系

對(duì)稱性

數(shù)相等，即仁=或口

增減性：當(dāng)時(shí)，《隨k的增大而增大；由對(duì)稱性可知，

當(dāng)k>n*l時(shí)，C隨k的增大而減小.

增減性與

最大值

最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)

時(shí)，中間兩項(xiàng)',°相等，且同時(shí)取得最大值

①二=c：+c：+c+“+c:

各二項(xiàng)式②C：+C：+C：+…=C：+C：+C：+-=221

系數(shù)的和即在(a+b)”的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)的和

拓展深化

［微判斷］

1.二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)（共奇數(shù)項(xiàng)）或中間兩項(xiàng)（共偶數(shù)

項(xiàng)）.（X）

提示二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中

間一項(xiàng)（共奇數(shù)項(xiàng)）或中間兩項(xiàng)（共偶數(shù)項(xiàng)），但是項(xiàng)的系數(shù)的最大值與項(xiàng)其他數(shù)

字因數(shù)的大小有關(guān).

2.二項(xiàng)展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.（X）

提示在二項(xiàng)式（a+b）11中只有當(dāng)a,b的系數(shù)都為1時(shí)，展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)

和才等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.

3.二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.（義）

提示二項(xiàng)式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)和a,b的系

數(shù)有關(guān).

［微訓(xùn)練］

1.卜瓜+：］的展開式中第8項(xiàng)是常數(shù)，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)

C.第8項(xiàng)和第9項(xiàng)D.第11項(xiàng)和第12項(xiàng)

解析二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為了一=C：?（/）",?

（Z=?，令左=7,則十〃一￡■=（）,解得〃h

21—3A

21,通項(xiàng)可化簡(jiǎn)為?］干.由于〃=21,故展開式中一

共有22項(xiàng)，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)相

同,故系數(shù)最大的項(xiàng)為4=10,11兩項(xiàng)，即展開式的第11

項(xiàng)和第12項(xiàng).

答案D

2.在（x+y）”的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大

的項(xiàng)是（）

A.第6項(xiàng)B.第5項(xiàng)

C.第5,6項(xiàng)D.第6,7項(xiàng)

解析由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等,

...C：=C：,由組合數(shù)的性質(zhì)，得n=10.

二展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，它也是系數(shù)最大的項(xiàng).

答案A

3.若(2—x)'°=ao+aix+a2x2H-----Fa10x'°,則a?=.

解析由題意可知嬴是X*的系數(shù)，所以%=C：°?22=180.

答案180

［微思考］

怎樣求二項(xiàng)式系數(shù)和？

提示利用賦值法，在(a+b)11的展開式中，令a=b=l,可得C：+C：+…+C

=2".

【課堂互動(dòng)】

題型一二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【例1】⑴試求1995'°除以8的余數(shù)；

(2)求證:32n+2—8n—9(n￡N*)能被64整除.

⑴解1995〃=(8X249+3)叱

???其展開式中除末項(xiàng)為3曾外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，

/.I995'°除以8的余數(shù)與3'°除以8的余數(shù)相同.

又???3K)=95=(8+1)5,其展開式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因

數(shù)，

.??3'°除以8的余數(shù)為1,即1995Kl除以8的余數(shù)也為1.

⑵證明32n+2-8n-9

=(8+1產(chǎn)一8n—9

+1

=d+I8"+Ci+18"+-+C^；-8n-9

=(：38田+《+8+…+C%a+(n+l)X8+l-8n-9

—+C：+8+…+C%82①.

①式中的每一項(xiàng)都含有G這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.

規(guī)律方法利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成

兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.

【訓(xùn)練1】已知nGN*,求證：1+2+2?+…+2”|能被31整除.

1—25"

證明l+2+22+2'H---F26n-1=~~~-=25n-l=32n-l=(31+l)n-l=31n+C；

1—乙

n-l1n11n-2-1

X31+-+CrX31+l-l=31X(31-+Cr,X31H---FC：).

顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.

題型二二項(xiàng)展開式的系數(shù)的和問題

【例2】已知(2x—I)°=aox'+aix"+a2x3+a3x°+a,ix+a5，求ao+ai+a2+a3+a4

+a5.

解令x=l,得：

(2X1-1)=ao+ai+a2+a3+ai+a5>

??a<)+a1+22+23+34+a$=1.

【遷移1】(變換所求)例2條件不變,^|a0H-|ai|-|-|a2|+|a3|+|a4|+

Ias|.

解...(Zx—1”的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，

--

/.Ia01+Iai|+|a21+Ia31+|a||+|a51=a0ai+a2a3+a,|—a5.

令x=-1,得：

5

[2X(—1)—1]=—a<)+ai—a2+a3—at+a5?

a

即a0—ai+aa-a3+a4-a$=—(-3)=3\

:,

/.Ia01+Ia,I+Ia21+Ia31+Ia，iI+Ia51=3=243.

【遷移2】(變換所求)例2條件不變，求a+as+as的值.

解由上題得

Ja()+aj+a2+a?+a[+a$=1,

=

[a。3|+Q.2&3a,a$243,

兩式相減得ai+a34-a5=1x(1—243)=—121.

規(guī)律方法(1)賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)和及有關(guān)問題的常用方法，注意取值

要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)

要避免漏項(xiàng).(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=ao+aix+a2x2+…+a“x”,各項(xiàng)系

數(shù)和為f(i),奇次項(xiàng)系數(shù)和為;[f(i)—f(—D],偶次項(xiàng)系數(shù)和為:[f(D+

a°=f(O).

878

【訓(xùn)練2】已知(1—3x)=a0+aix4---l-a7x4-a8x.求：

(l)a0+aH---|-a8；

(2)ao+a2+a4+afi+a8；

⑶Ia<)|+|a11+|a2H---FIa81.

解(1)令x=l,得比+&H---ba8=(—2)8=256.①

--:=:h

(2)令x=-1,得％—ai+a2-a3+a.ias+ae-a7+a84.②

SK

①+②，得2(ao+a2+a4+a6+a8)=21+4,

「?3<)+&+@1+@6+@8=萬(wàn)乂(2'+4')=32896.

⑶由于(1-3x)"=C；+C；義(—3x)+C；義(—3x)'+…+C；X(—3x)8=a<)+aix+

J8

a2xH---Fa8x,

故8.09&，a”％，a8>0,a：“E,a7V0,

|a01+|ai|+|a21+…+|aj=&—ai+a2—④+…+a8=4?=65536.

題型三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

3

[例3]已知f(x)=(W+3x2”展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

和大992.

(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

⑵求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

解令x=l,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為f(D=(l+3)"=4",又展開式中各項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2”.由題意知，4n-2n=992.

(2)2—2n—992=0,

...⑵+31)⑵-32)=0,

.?.2"=—31(舍去)或2n=32,

??n—5.

(1)由于n=5為奇數(shù)，.?.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分

別為T3=C[X)?(3X2)2=90X6,T.=C^.(3X2)3=270X；.

2

(2)展開式的通項(xiàng)為Tk+i=C?3k-x；(5+2k)

d冷d

假設(shè)Tk+i項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C53k^C5+l3k+,,

’5!________=_________

(5-k)!k!*3>/(6—k)!(k—1)!'

?，-5!'51

-------------->----------------------XQ

、(5-k)!k!?(4-k)!(k+1)!

匹，

k6—k

即《

l5-k^k+r

7,,9

??.gWkW].?；k￡N,Ak=4,

226

???展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T.5=C；x；(3x2),=405x-

規(guī)律方法(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法

求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a+b)''中的n進(jìn)行討論.

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法

求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)

的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a+bx)"(a,b￡R)的展開式中系數(shù)的最大

項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A。，A,,A2,…，A,?且

Ak2Ak-i,

第k+1項(xiàng)最大，應(yīng)用解出k,即得出系數(shù)的最大項(xiàng).

【訓(xùn)練3】求出(x—y)”的展開式中：

(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；

⑶項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；

(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；

⑸各項(xiàng)系數(shù)的和.

解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：

6556

T6=-C；,xy,T7=Ct,xy.

⑵(x—y)”展開式的通項(xiàng)為

kkk,1k

Tk+1=C,x"-(-y)=C!1(-l)x>,

...項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為|仁?(―1尸|=點(diǎn),

...項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，T6=

八565丁_z>656

—CnXy,T7—C,|Xy.

⑶由⑵知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等，

又???第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，

5665

故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=CtlXy,項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T6=-CLxy.

(4)展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)的和為圖+Ch+C%+…+C：；=2".

(5)令x=y=l,得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為C1—C\+《-----C：：=(l-1)"=

0.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的

選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來(lái)確定.一般地對(duì)字母賦的值為0,1或

-1,但在解決具體問題時(shí)要靈活掌握.

3.注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù).

⑵求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k￡{0,1,2,…，n}.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.(l+x)ze的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是()

A.n,n+1B.n-1,n

C.n+1,n+2D.n+2,n+3

解析2n+l為奇數(shù)，展開式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為第

產(chǎn)尸+小頁(yè),第(現(xiàn)+項(xiàng)，即第(n+1)項(xiàng)與第(n+2)項(xiàng).故選C.

答案c

2.設(shè)(x'+l)(2x+l)9=a()+ai(x+2)+a2(x+2T+…+a”(x+2)”,則a<)+ai+

a2H-----Fa”的值為()

A.—2B.—1

C.1D.2

解析令x=—1,則原式化為

[(-1)2+1][2X(-1)+1]9

2

=ao+a](2—1)+a2(2—1)H-----Fan(2—1)",

*'.a<)+ai+a2+,,,+aii=-2.

答案A

3.在(l+x)+(l+x)z+…+(l+x)，的展開式中，x?的系數(shù)為.

解析(i+x)+d+x)2+-+(i+x)6的展開式中Y的系數(shù)為c^+d+cHcH

《=35.

答案35

Si+a?+a$

4.設(shè)(3x—2)6—ao+ai(2x—1)+a(2x-1)?+…+a?(2x—1)則

2ao+az+a+ae

解析令x=l,得a<)+ai+a2H-----Fa?=l,令x=0,得a<)—ai+a2H------Pa6=

64,兩式相減，得2(ai+as+as)=-63,兩式相加，得2(ao+az+a[+ae)=

住JLJai+a：；+a563

65,6/II|———z>r-.

電十3,2?a,[?3g65

公—63

答案一左

65

5.已知(2x—l)n的展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小3、求C：+

C：+C：H----FC：的值.

解設(shè)(2x—I)"=a°+aix+a2x2+…+a,、x”,且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A,偶次項(xiàng)的系

數(shù)和為B.

則A=ai+a3+a$+…，B=ao+a2+a.f+afi+

由已知可知：B-A=3'.令x=-l,

得：比一ai+a2-a§+…+a?(—1)"=(13)",

即：(ao+a2+ai+ae+…)—(a,+a3+a5+a7+??,)

=(-3)".

即：B-A=(-3)n.

二(一3)"=38=(—3)>An=8.

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：

C：+C：+C：H----FC"=2"-C^=28-1=255.

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.若（nWN*）的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)

為（）

A.210B.252

C.462D.10

解析由于展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)，所

以展開式項(xiàng)數(shù)為11,從而n=10,所以展開式的通項(xiàng)為丁卜+1=。--，令30—5k

=0,得k=6,于是得其常數(shù)項(xiàng)為C：0=210.

答案A

a[n

2.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,常數(shù)項(xiàng)為

80,則a的值為（）

A.1B.±1

C.2D.±2

/a\

——15-5k

解析由條件知2"=32,即n=5,在通項(xiàng)Tk+i=C(4尸-卜=(;射乂二中,

令15—5k=0,得k=3.所以常數(shù)項(xiàng)為乙￡=80,解得a=2.

答案C

3.(x—l)”的展開式中，x的奇次愚項(xiàng)的系數(shù)之和是()

A.2048B.-1023

C.-1024D.1024

1I,9

解析(X—1)=aox"+aix"4-a2xH---Fa”，

,,,

令x=-1,則一a()+ai-a2++a1i=-2",①

令x=l,則ao+ai+azH---Fa,i=O,②

°2\"=ao+a2+a,i+…+aio=2'°=1024,即為所求系數(shù)之和.

答案D

4.若x'°=a<)+ai(x—1)+a2(x—1)2+…+aio(x—1)‘°，則郎的值為()

A.10B.45C.-9D.—45

l0=:101',

解析x[1+(x—1)]=ao+ai(x—1)+a2(x—1)---Fai0(x—1),a8=

Cio-Cio-45.

答案B

(iY

5.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M,二項(xiàng)式系數(shù)和為N,若M—N=

240,則展開式中x的系數(shù)為()

A.-150B.150

C.300D.-300

解析由已知條件4n—2"=240,解得n=4,所以展開式的通項(xiàng)為Tk+i=C：(5x”

-k^-^=(-i)k5'-kcy-^

3k

令4—萬(wàn)=1,得k=2,

所以展開式中x的系數(shù)為(-1)2X52d=150.

答案B

二、填空題

10

6.已知(1+x)'『ai+azx+asxU---Faux,若數(shù)列a”a2,a3,???,

ak(lWkWll,kGZ)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是.

解析（1+xT展開式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n=10時(shí)，展開式的中間

項(xiàng)第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故k的最大值為6.

答案6

的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則中間項(xiàng)系

數(shù)是—

解析展開式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù).?.?二項(xiàng)式的展開式中

所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2。，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)和相等，故由題意得相T=1024,.?川=□,...展開式共12項(xiàng)，中間

項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，其系數(shù)為0=。=462.

答案462

8.若x"(x+3)8=a<)+ai(x+2)+az(x+2)2+…+ai2(x+2)",Ijjl]log2(ai+as

H---Han)=.

解析令x=-1,得2"=a()+ai+a2H---/au+a^.

x―3,彳導(dǎo)0=—a1+3.2?一a”+a12，

8

2=2(ai+a3H---Fan),；.ai+a3+…+a”=2',

log2(ai+a3H---Fan)=log22'=7.

答案7

三、解答題

9.設(shè)(2—，5x)""=a()+aix+a2xU---Faioox100,求下列各式的值.

⑴求ao；

>,

(2)ai+a2+a3+a1+*+aioo；

(3)ai+a?+a5+…+&9；

22

(4)(ao+a2H---1-3100)—(a,+a3H---ba9g)；

(5)|a<)|+|ai|H---FIaiool.

解⑴令x=0,則曲=2嗎

⑵令x=l,

i0

可得ao+ai+a?-!---Fa1(lo=(2-^/5)",①

,

所以ai+a2+**+aIOo—(2一m)吶―2嗎

⑶令x=-1,

--100

可得a()—ai+a2a3+-,+a1oo—(2+^3).②

與①式聯(lián)立相減得

(2-A/3)100-(2+福)100

ai+aH---ra=.

3999乙

2*

(4)由①②可得，(a(>+a2+…+aio?尸一(ai4-a3+***+a99)=(a0+ai+a24-**+

100100

awo)(a0—ai+a2----Fawo)=(2—,^3),(2+:)=l.

(5)|ao|+|ai|+-+|alw|,即(2+/x)洶的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和,在(2+

4x)10°的展開式中，令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2+第)必，即|a°|+|a』

H---F)awl=(2+^/5)ltiu.

10.已知(x+野展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.

⑴求n；

(2)若展開式中常數(shù)項(xiàng)為言，求m的值；

(3)若(x+m)”展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況.

解(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=256,可得n=8.

(2)設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第k+1項(xiàng)，則

兀+尸爆噌=漪產(chǎn),

351

故8—2k=0,即k=4,則C；m'=N~,解得m=±彳.

oN

⑶易知m>0,設(shè)第k+1項(xiàng)系數(shù)最大.

/-?kk1_k_1

C8m3c8m,9m

則「kk1k+1,化簡(jiǎn)可求得

5nl少5m，m+1,

由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大,

8m—1[5/

4<<5,7<m^2,

m+14

所以即《

I-9m,7

6或帝<7,2<m<-

所以m只能等于2.

能力提升

/、n

11.若(x+?展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()

A.10B.20

C.30D.120

.、k

解析由2"=64,得n=6,...展開式的通項(xiàng)丁卜+產(chǎn)質(zhì)^^電二爆-

2"(0WkW6,keN).由6—2k=0,得k=3..?.「=《=20.

答案B

12.在(2x—3y)'°的展開式中，求：

(1)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；

(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；

(3)各項(xiàng)系數(shù)之和；

(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.

解在(2x—3丫尸的展開式中：

⑴各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C；°+C；°+…+d=2'°=1024.

⑵奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為…+C；；=2'=512.

偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為6。+%+…+戊=29=512.

Hl

(3)設(shè)(2x—3y)">=aox'°+a