蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第5章導數(shù)及其應(yīng)用5-1導數(shù)的概念課件

函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為

.平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說,曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.第5章導數(shù)及其應(yīng)用5.1導數(shù)的概念知識點1

平均變化率如圖,設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點,這時,直線PQ稱為曲線的割線,隨著點Q沿曲線C向

點P運動,割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C.當點Q無限逼近點P時,直線PQ最終就成為在

點P處最逼近曲線的直線l,這條直線l稱為曲線在點P處的切線.

知識點2

曲線上一點處的切線1.瞬時速度一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體位移S(t)的平均變化率

無限趨近于一個常數(shù),那么這個常數(shù)稱為物體在t=t0時的瞬時速度,也就是位移對于時間的瞬時變化率.2.瞬時加速度一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體速度v(t)的平均變化率

無限趨近于一個常數(shù),那么這個常數(shù)稱為物體在t=t0時的瞬時加速度,也就是速度對于時間的瞬時變化率.知識點3

瞬時速度與瞬時加速度1.函數(shù)在一點處的導數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),若Δx無限趨近于0時,比值

=

無限趨近于一個常數(shù)A,則稱f(x)在x=x0處可導,并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)(也稱為

瞬時變化率),記作f'(x0).通常又可表示為f'(x0)=

.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)還可以記作y'

.2.導數(shù)的幾何意義導數(shù)f'(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.3.導函數(shù)若f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都可導,則f(x)在各點處的導數(shù)也隨著自變量x的變化而變化,因知識點4

瞬時變化率——導數(shù)而也是自變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù),記作f'(x).在不引起混淆時,導函數(shù)f'(x)也簡稱為f(x)的導數(shù).瞬時速度是運動物體的位移S(t)對于時間t的導數(shù),即v(t)=S'(t);瞬時加速度是運動物體的速度v(t)對于時間t的導數(shù),即a(t)=v'(t).f(x)在x=x0處的導數(shù)f'(x0)就是導函數(shù)f'(x)在x=x0處的函數(shù)值.知識辨析1.Δx和Δy一定是正數(shù)嗎?2.Δx無限趨近于0與Δx=0的意思相同嗎?3.函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為零,說明函數(shù)值在此區(qū)間上沒有發(fā)生變化,對嗎?4.f'(x)與f'(x0)表達的意思相同嗎?5.運動物體在某一時刻的瞬時加速度為0,那么該時刻物體一定停止運動嗎?一語破的1.不一定.Δx可正、可負,但不能為0;Δy可正、可負、可為0(當f(x)為常數(shù)函數(shù)時,Δy=0).2.不相同.Δx無限趨近于0是一種極限思想,它無限逼近于0,但是不等于0.3.不對.只能說明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)可以有變化.4.不相同.f'(x)表示函數(shù)f(x)的導函數(shù),是一個變量,而f'(x0)表示f'(x)在x=x0處的函數(shù)值,是確定的值.5.不一定.瞬時加速度刻畫的是速度在某一時刻變化得快慢,瞬時加速度為0時,速度不一定為0.定點1平均變化率與瞬時變化率關(guān)鍵能力定點破

平均變化率:對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變化到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),

則稱

=

為函數(shù)f(x)在點x0附近的平均變化率.瞬時變化率:在上述過程中,當Δx無限趨近于0,即x1無限趨近于x0時,稱

=

為f(x)在x=x0處的瞬時變化率.平均變化率與瞬時變化率是兩個不同的概念,但可以用平均變化率的值來估算瞬時變化率的

值,當Δx無限趨近于0時,平均變化率無限趨近于的常數(shù)即為瞬時變化率.典例已知自由落體的物體的運動方程為s=

gt2,求:(1)物體在t0到t0+Δt這段時間內(nèi)的平均速度;(2)物體在t0時刻的瞬時速度.解析

(1)物體在t0到t0+Δt這段時間內(nèi)路程的增量Δs=

g(t0+Δt)2-

g

,因此,物體在這段時間內(nèi)的平均速度

=

=

=

g·

=

g·(2t0+Δt).(2)物體在t0時刻的瞬時速度v=

=

g(2t0+Δt)=gt0.方法技巧

求瞬時速度的步驟:(1)求平均速度

,(2)令Δt→0,求出瞬時速度.

1.導數(shù)定義的等價形式

y'=

;

y'=

;

y'=

.注意:自變量之差與函數(shù)值之差要相互對應(yīng).2.求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均變化率:

=

;定點2求函數(shù)在某點處的導數(shù)(3)取極限,得導數(shù):f'(x0)=

.典例(1)下列各式中正確的是

(

)A.y'

=

B.y'

=

C.y'

=

D.y'

=

(2)已知函數(shù)f(x)在x=x0處可導,若

=1,則f'(x0)=

(

)A.1

B.

C.3

D.0CB解析

(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)可表示為y'

=

,其中Δy是函數(shù)值的差,Δx是自變量的差,顯然A、B、D都不符合;對于C,Δx→0等價于x→x0,所以y'

=

.故選C.(2)

=3

=3f'(x0)=1,所以f'(x0)=

.故選B.易錯警示

導數(shù)的定義有多種等價形式,其本質(zhì)結(jié)構(gòu)都是f'(x0)=

,應(yīng)用時注意Δx與Δy的取值要對應(yīng).

1.曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程(1)點P(x0,f(x0))為切點;(2)切線斜率k=f'(x0);(3)切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.曲線y=f(x)過點P(x0,f(x0))的切線方程(1)點P可能是切點,也可能不是切點;(2)如果點P不是切點,則切線可能不止一條,切線條數(shù)與切點個數(shù)有關(guān),此時求切線方程的一

般步驟如下:①設(shè)出切點(x1,f(x1));②求出函數(shù)f(x)在點(x1,f(x1))處的導數(shù)f'(x1);定點3求曲線的切線方程③寫出切線方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),將(x0,f(x0))代入,求得x1;④將x1代入切線方程,化簡得到最終方程.3.注意(1)直線l與曲線C有唯一公共點時,直線l不一定是曲線的切線,如圖中的直線l1.(2)當直線l與曲線C有不止一個公共點時,直線l也可能是曲線C的切線,如圖中的直線l2,其中N

是切點.

典例已知曲線y=f(x)=x3-3x上一點P(1,-2).(1)求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;(2)求曲線y=f(x)過點P的切線方程.思路點撥

(1)在點P處的切線,則P為切點

切線斜率f'(1)

切線方程.(2)過點P,則P不一定是切點

設(shè)出切點坐標(x0,

-3x0)

切線斜率f'(x0)

利用P在切線上求出x0

切線方程.解析

(1)

=

=3x·Δx+3x2+(Δx)2-3,當Δx→0時,

→3x2-3,∴f'(x)=3x2-3,則曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率為f'(1)=0,∴所求切線的方程為y=-2.(2)設(shè)切點坐標為(x0,

-3x0),則由(1)知切線的斜率為f'(x0)=3

-3,∴切線的方程為y-(

-3x0)=(3

-3)(x-x0),又切線過點P(1,-2),∴-2-(