高中數(shù) 1.3.1空間幾何體的表面積同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-版高中數(shù)學(xué)1.3.1空間幾何體的表面積同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．一個(gè)正四棱柱的對角線的長是9cm，全面積等于144cm2，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為________cm2.解析設(shè)底面邊長、側(cè)棱長分別為acm、lcm，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7.))∴S側(cè)＝4×4×7＝112(cm2)．答案1122．用長、寬分別是3π和π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱的表面積是________．解析S＝3π2＋2·π·(eq\f(3,2))2＝3π2＋eq\f(9,2)π或S＝3π2＋2·π·(eq\f(1,2))2＝3π2＋eq\f(1,2)π.答案3π2＋eq\f(9,2)π或3π2＋eq\f(1,2)π3．正六棱錐的高為4cm，底面最長的對角線為4eq\r(3)cm，則它的側(cè)面積為________cm2.解析由題意知，底面邊長為2eq\側(cè)棱長為l＝eq\r(16＋12)＝2eq\r(7)(cm)，斜高h(yuǎn)′＝eq\r(28－3)＝5(cm)．∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×5＝30eq\r(3)(cm2)．答案30eq\r(3)4．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的體對角線的長分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是________．解析設(shè)底面邊長是a，底面的兩條對角線分別為l1，l2，而leq\o\al(2,1)＝152－52，leq\o\al(2,2)＝92－52，而leq\o\al(2,1)＋leq\o\al(2,2)＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S側(cè)面積＝ch＝4×8×5＝160.答案1605．若正三棱錐的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的________倍．解析設(shè)斜高為2eq\r(3)，高為3，則底面內(nèi)切圓半徑r＝eq\r(12－9)＝eq\r(3)，故S側(cè)∶S底＝2eq\r(3)∶eq\r(3)＝2∶1.答案26.如圖，三棱錐S－ABC中底面△ABC為正三角形，邊長為a，側(cè)面SAC也是正三角形，且側(cè)面SAC⊥底面ABC，求三棱錐的側(cè)面積．解取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)SM、MB.∵△SAC，△ABC為全等正三角形，∴SM⊥AC，BM⊥AC，且SM＝BM＝eq\f(\r(3),2)a，△SAB≌△SCB.又∵平面SAC⊥平面ABC，∴SM⊥面ABC.過M作ME⊥BC于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE⊥BC.在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，∴ME＝eq\f(\r(3),4)a，可求SE＝eq\r(SM2＋ME2)＝eq\f(\r(15),4)a.∴S側(cè)＝S△SAC＋2S△SBC＝eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a2.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為________．(1)(2)解析由已知可得正方體的邊長為eq\f(\r(2),2)a，新幾何體的表面積為S表＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝(2＋eq\r(2))a2.答案(2＋eq\r(2))a28．斜三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，側(cè)棱與底面兩邊所成角都是60°，那么這個(gè)斜三棱柱的側(cè)面積是________．解析由題可計(jì)算出直截面周長為5＋5eq\r(3)，故S側(cè)＝4(5＋5eq\r(3))＝20(1＋eq\r(3))．答案20(1＋eq\r(3))9．圓錐側(cè)面展開圖的扇形周長為2m解析設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則有2l＋2πr＝2∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πrm.∴當(dāng)r＝eq\f(πm,2π2－π)＝eq\f(m,2π－1)時(shí)，S全有最大值eq\f(πm2,4π－1).答案eq\f(πm2,4π－1)10．一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為________．解析由三視圖可得，該幾何體為三棱錐D－ABC，其直觀圖如圖所示，面DBC⊥面ABC，AC⊥AB，取BC邊中點(diǎn)M，則DM⊥面ABC，且DM＝4，取AC邊中點(diǎn)N，則MN＝3，且DN＝5，由此可得此三棱錐D－ABC的表面積為eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＋eq\f(1,2)×6×6＝48＋12eq\r(2).答案48＋12eq\r(2)11．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺OO′和較小的棱錐PO′.(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱為12cm，小棱錐底面邊長為4cm，求截得棱臺的側(cè)面積和全面積．解(1)設(shè)正六棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則截面的邊長為eq\f(a,2)，∴S大棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(3,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，S棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝eq\f(1,2)(6a＋3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(9,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，∴S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)＝4∶1∶3.(2)S側(cè)＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h(huán)2)＝144eq\r(2)(cm2)，S上＝6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝24eq\r(3)(cm2)，S下＝6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°＝96eq\r(3)(cm2)，∴S全＝S側(cè)＋S上＋S下＝144eq\r(2)＋120eq\r(3)(cm2)．12．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中放一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？解經(jīng)過軸的截面如圖所示．(1)設(shè)所求圓柱的底面半徑為r，則它的側(cè)面積S圓柱側(cè)＝2πr·x.∵△AEF∽△ADC，∴eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x.∴S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)∵S圓柱側(cè)＝－eq\f(2πR,H)x2＋2πRx，∵－eq\f(2πR,H)<0，∴S圓柱側(cè)有最大值．當(dāng)x＝－eq\f(2πR,2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)，即圓柱高是已知圓錐的高的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大．13．(創(chuàng)新拓展)圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB＝12，從AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)．(1)求繩子的最短長度；(2)求繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．分析利用圓臺的側(cè)面展開圖知識進(jìn)行求解．解(1)將圓臺補(bǔ)形成圓錐，并展開圓錐側(cè)面成如圖所示的扇形．取A1B1的中點(diǎn)M1，AM1就是繩子的最短長度．設(shè)∠ASA1＝α，則SB×α＝2π×1，(SB＋12)×α＝2π×4，以上兩式相減得α＝eq\f(π,2)(即α＝90°)另一方面，eq\f(SB,SB＋12)＝eq\f(1,4)，可解得SB＝4，在△ASM1中，SA＝16，SM1＝4＋6＝10，∠ASA1＝90°，故AMeq\o\al(2,1)＝102＋162＝356，∴AM1＝2e