新教材人教A版必修第二冊(cè)6. 3 . 1 平面對(duì)量根本定理作業(yè)

20212022學(xué)年新教材人教A版必修其次冊(cè)6.3.1平面對(duì)量根本

定理作業(yè)

1、4(TO),3(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)c在NA0B內(nèi)，且4。。=45,設(shè)

叫eR),那么幾的值為()

11

A.5B.3

22

C.5D.孑

2、在AABC中，點(diǎn)、M是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上且AN=2NC,AM交BN于

點(diǎn)P,設(shè)AP=XAM,那么X的值為()

234

A.4B.3c.5D.5

=|—,sina|,=|cosa,-1^|

3、a是銳角，a14)y&),且a//。，那么。為()

A.15°B.30"c.30"或60°D,15°或75°

4、在四周體。一鉆。中，點(diǎn)P為棱8c的中點(diǎn)，設(shè)。A=a,OB=bj0C=c那

么向量AP用基底可表示為().

lrIflrL+Mc

------QH-----bH----C

A.222B.222

-a+4+L

a+-b+c

C.2D.22

5、設(shè)a、〃為兩個(gè)相互垂直的單位向量，°P=a，°Q=6，°R=ra+",假設(shè)^PQ!?

為等邊三角形，那么k、r的取值為（）

—1土布—1土乖I1+^/3

k=r=---------K=---------,r=--------

2B.22

,1±6,1土石-1±^

k=r=-------k=-------,r=----------

6、在AABC中,H為BC上異于B,C的任一點(diǎn)，”為的中點(diǎn)，假設(shè)

AM=AAB+//AC

,那么'+〃等于（)

￡2j_j_

A.2B.3c.6D.3

7、如圖，在AB。中，點(diǎn)。是邊3。的中點(diǎn)，AG=2GQ,那么用向量越入。

表示BG為（）

BG=--AB+-ACBG=--AB+-AC

A.33B.33

BG=-AB--ACBG=-AB+-AC

C.33D.33

8、設(shè)《超2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,AB=(a-l)e1+e2,AC=bei-2e23〉0

12

—I—

b>0）,假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線，那么。匕的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

9、在平行四邊形中，點(diǎn)E為0。的中點(diǎn)，設(shè)AE=a,BE=b,那么=

-a--b--a--b

A.22B.22c.22D.22

10、向量a=（2,T）,°=（-3,2）,c=（1,1）,那么向量c可用向量”涉表示為（）

11111111

A.2a+6Z?B.5。+3bc.4a—2Z?D.〃一5b

11、如圖，點(diǎn)C為△OAB邊AB上一點(diǎn)，且AC=2CB,假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,n,使得

OC=mOA+nOB,那么吁〃的值為（）.

112

A.3B.0C.3D.3

12、以下各組向量中，可以作為基底的是()

A.，=(1,2),e2=(—2,1)B.9=(0,0),02=(2,3)

C.G=(—3,4),e2=(6,—8)Dq=(2,—3),，2一匠,"

13、A6c中，。是線段3c上靠近3的三等分點(diǎn)，E是線段

UULUUULUUUL

ACBE=mAD+nAE,那么m-n=

14、a=4i+3J,b=mi-2jfc=-3i+jf假設(shè)％b,c可構(gòu)成三角形，那么

m=.

15、在AABC中，點(diǎn)”，N滿意AM=MC,BN=2NC,假設(shè)肱V=x"+yAC,

那么.

16、正方形MC。的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)'(”=123,4,5,6)取遍±i時(shí)，

lx,AB+JBC+XnCD+X4Z2A+AC+J3JD|

1123456|的最大值是.

-,tana,6=(cosa,l)cos-+tz=

3),且a"",那么(2J(

17、向量)

_V|112V2

A.-T

B.3c.3D.3

-1?-1-

AC=-AB,AD=-BA-

18、點(diǎn)A(1,2),B(2,8)及33,求點(diǎn)C,D和CD

19、設(shè)華烏是不共線的非零向量，且。=G—Ze?力=耳+3e2.

(1)證明：。力可以作為一組基底；

⑵假設(shè)4e「3e2=4a+叫求入，口的值.

參考答案

I、答案C

?/ZAOC=45設(shè)0（蒼一"）,那么OC=（蒼一”）,

又止3,0）,5（。,2）,依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知加A+（T）吁（-342-2為，

x=—322

s=>九=一

所以1r=2-225

此題選擇C選項(xiàng).

名師點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用平面對(duì)量根本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法那么或三角形法

那么進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

2、答案D

分析：

AM=-AB+-AC,-AP=-AB+-x-AN

詳解：由題意，在人45。中，222222,

.243A.

AP=—AB+—AN

所以24

A3A4__|_____,_4____________

由于8,P,N三點(diǎn)共線，所以24，解得5,應(yīng)選D.

名師點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面對(duì)量的根本定理的應(yīng)用，對(duì)于平面對(duì)量根本定理的應(yīng)用，通

常（1）應(yīng)用平面對(duì)量根本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法那么或三角形法那么

進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；（2）用向量根本定理解決問題的一般思路是：先選擇一

組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

3、答案C

「百

Q?n/xy—__

依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的共線的條件，求得2,進(jìn)而求解答案.

詳解

一（3.）（1）

a=—,sma,b=cosa,—

依據(jù)題意，E）1w人

31A/3

sinacosa=—x—==——

假設(shè)a/小，那么有4J34,

?、布

sin2a=——

即有2,

又由a是銳角，那么有°<2a<18°,

即2a=60或120,

那么a=30或60,

應(yīng)選C.

名師點(diǎn)評(píng)

此題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的共線定理的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)向量的坐標(biāo)

運(yùn)算和向量共線的條件，得到sin2夕的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算力量.

4、答案D

AP=-AB+-AC=-(OB-OA)+-(OC-OA)=-OA+-OB+-OC

222222

A“Pn=-a+—1b,+—1c

/.22.應(yīng)選D.

5、答案C

詳解

留意到闿=幽=回

n小戶=J(一］)2+K=&

6、答案A

依據(jù)題意，用A3,AC表示出A"，8”與AM,求出4〃的值即可.

詳解

解：依據(jù)題意，設(shè)BH=xBC,那么

-.1-11-11-

AM=-AH^-(AB+BH)=-(AB+xBC)=—AB+—x(AC-AB)

212/

=^(l-x)AB+^xAC

AM=AAB+/JAC

/.4+4=—(1—X)H---X=一

222,

應(yīng)選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

此題主要考查了平面對(duì)量根本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組適宜的基底表示向量，是

根底題.

7、答案A

1/、uum2UUK

AD^-[AB+AC\AG=-AD

先依據(jù)題意，得到2、>,3再由向量的加減運(yùn)算，即可得出

結(jié)果.

詳解

AD=-(AB+AC\

由于點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，所以2'),

uum9uu?

AG=-AD

又AG=2GD,所以3,

BG=AG-AB=-AD-AB=-(AB+AC]-AB=-AC--AB

因此33''33

應(yīng)選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

此題主要考查用基底表示向量，熟記平面對(duì)量根本定理即可，屬于?？碱}型.

8、答案B

依據(jù)A5c三點(diǎn)共線，設(shè)=得(a—Ds+e2=縱如—2e?),依據(jù)平面對(duì)量

a-1=Abi

1—。1a—b=1

根本定理可知U=—2"，得到2,之后依據(jù)兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值，

求其分式形式和的最值的求解方法，利用根本不等式求得結(jié)果.

詳解：由于">0/>0,假設(shè)A，8,C三點(diǎn)共線，設(shè)=

即(Q-1),+4=-2e2)

由于耳述2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，

(1—1=Ab]]

_rsQA——,a—1——b

所以口=一2”,解得22,

a+—b=1

即2,

1242、/1八，，b2a

—+—=(—+—)(a+—/?)=1+1+—+——

那么abab22ab

a=—,b=一

當(dāng)且僅當(dāng)2。b,即b=2a,即2'4時(shí)取等號(hào)，

故最小值為4,

應(yīng)選：B.

名師點(diǎn)評(píng)

該題考查的是有關(guān)向量與不等式的綜合題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有平面對(duì)量共線的條件，利

用根本不等式求最值，屬于簡(jiǎn)潔題目.

9、答案A

BD=BE+ED=BE——AB

利用平面對(duì)量的根本定理結(jié)合向量的加減法有2,由

AB=AE-BE,可得到答案.

詳解：如下圖:

DE

■.--1--1/-3-1-

BD=BE+ED=BE——AB=BE——(AE-BE]=-BE——AE

由于22、,22

31-31

BD=-BE——AE=-b——a

所以2222,

應(yīng)選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

此題主要考查平面對(duì)量的根本定理以及根本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的力量，屬于根底

題.

10、答案B

iii

依據(jù)平面對(duì)量根本定理，設(shè)0=20+""代入坐標(biāo)，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求得參數(shù).

詳解

11i

依據(jù)平面對(duì)量根本定理,可設(shè)c=X。+

1=22—3〃5

<

即口=-2+2〃，解得3

所以c=5a+3b

應(yīng)選:B

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查了平面對(duì)量根本定理的應(yīng)用，向量坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，屬于根底題.

11、答案A

依據(jù)平面對(duì)量的根本定理和共線定理，結(jié)合求出m-n的值.

詳解

—-―?----1---1.1_1_?-1

OC=OB+BC=OB+-BA=OB+-BO+-OA=-OA+-OBm-n=——

33333,所以3.

應(yīng)選：A

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查了平面對(duì)量根本定理和共線定理，屬于根底題.

12、答案A

推斷各選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線，可得出適宜的選項(xiàng).

詳解

對(duì)于A選項(xiàng)，【。，2),02=(-2,1),由于1x1-2x(-2)。0,那么6和不共線，A

選項(xiàng)中的兩個(gè)向量可以作基底；

對(duì)于B選項(xiàng)，6=(°，°),02=(2,3),那么與和共線，B選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不能作基

底；

對(duì)于C選項(xiàng)，，=(-3,4),e2=(6,-8),那么e2=—2弓，c選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不能作

基底；

_3}e_3

對(duì)于D選項(xiàng)，e2=(2，-3),212'4人那么67",D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不能作

基底.

應(yīng)選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查基底概念的理解，解題的關(guān)鍵就是所找的兩個(gè)向量不共線，考查推理力量與計(jì)

算力量，屬于根底題.

7

13、答案-一

2

結(jié)合平面對(duì)量的線性運(yùn)算，用ARAE表示8E,進(jìn)而可求出牡〃的值，即可求出答案.

詳解

如圖，

uurumuur3uuuuun3uumuunuurn3uurnuumuunuun3uum

BE=BC+CE=-DC-AE=-(AC-AD)-AE=-(2AE-AD)-AE=2AE--AD

2222

Qm-n=-^2=-l

，所以2,n=2,所以22.

_7

故答案為：2.

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查平面對(duì)量的根本定理，考查平面對(duì)量的線性運(yùn)算，考查推理論證力量，屬于根

底題.

14、答案7

假設(shè)。，b,?？蓸?gòu)成三角形，那么可得a+b—。=0,代入求解即可

詳解

c可構(gòu)成三角形，那么。+匕-。=0,即(由+3j)+(mi-2jj-(-3z+j)=0

假設(shè)。、b、

.-.（4+m+3）z+（3-2-1）/=0,..4+加+3=0：.m=—7

故答案為：-7

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查向量法推斷三角形,考查向量的加減法,考查運(yùn)算力量,考查平面對(duì)量根本定理

的應(yīng)用

15、答案］

2

MN=-AB+-ACx=-,y=-

依據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得36,進(jìn)而求得3-6,即可求解.

詳解

MN=MC+CN=-AC+-CB=-AC+-（AB-AC]

依據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得2323'>

=-AB+-AC

36.

=1'_J_

又由MN=xAB+yAC,所以“3，J%,所以*+>一2.

￡

故答案為：2.

名師點(diǎn)評(píng)

此題主要考查了平面對(duì)量的根本定理，以及向量的線性運(yùn)算法那么的應(yīng)用，其中解答中

熟記向量的運(yùn)算的法那么是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算力量，屬于根底題.

16、答案2百

可采納建系法，以■為了軸，為》軸，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出對(duì)應(yīng)向量的

坐標(biāo)公式，再結(jié)合X的取值特點(diǎn)和表達(dá)式綜合分析求解最值即可

,AB=(1,0)5c=(0,1)CD=(-1,0)DA=(0,-1)AC=(1,1)BD=(-1,1)

那么，,，，，f

令

y—|A|AB+之2BC+4CD+DA.+4AC+

=J(4-4+4-A,)2+(4—%4+4+4J

又由于'("=123,4,5,6)取遍±1,

所以當(dāng)4=4=4=4=4=1,%2=T時(shí)，有最小值為n=o

由于(4—4+4)和(%一4+4)的取值無關(guān)聯(lián),A=1或4=-1

(4-4+4)和(4-4+4)分別取得最大值時(shí)，y有最大值，

所以當(dāng)

4=4=4=4=1,4=4=-1時(shí)，有最大值<=J2?+42=回=26

所以當(dāng)1mx

故答案為：2亞

名師點(diǎn)評(píng)

此題考查建系法求解向量，向量的模長(zhǎng)公式，分類爭(zhēng)論求解最值，綜合性強(qiáng)，著重考查

分類力量，歸納整理力量，屬于中檔題

17、答案C

(n)

cos-+a

先依據(jù)a//。求出5次z的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)12J即得解.

詳解

由于

11sina八

——tanacos。=0,，-------------cosa=0

所以33cos。

1

sma=—

所以3.

\n\