中考數(shù)學真題分項詳解（山西專用）專題03 函數(shù)（解析版）

專題03函數(shù)三三年中考真題（2020?山西）已知點，，，，，都在反比例函數(shù)的圖象上，且，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限隨的增大而增大，而，．即．故選：．（2020?山西）豎直上拋物體離地面的高度與運動時間之間的關(guān)系可以近似地用公式表示，其中是物體拋出時離地面的高度，是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面的高處以的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，因為，故當時，取得最大值，此時，故選：．（2019?山西）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖，它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于，兩點．拱高為78米（即最高點到的距離為78米），跨徑為90米（即米），以最高點為坐標原點，以平行于的直線為軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：，將代入得：，解得：，故此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為：．故選：．（2018?山西）用配方法將二次函數(shù)化為的形式為A． B． C． D．【解答】解：．故選：．（2019?山西）如圖，在平面直角坐標中，點為坐標原點，菱形的頂點在軸的正半軸上，點坐標為，點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點，則的值為16．【解答】解：過點、作軸，軸，垂足為、，是菱形，，易證，點，，，，，在中，，，故答案為：16．（2020?山西）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．（1）請直接寫出，兩點的坐標及直線的函數(shù)表達式；（2）若點是拋物線上的點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為．與直線交于點，當點是線段的三等分點時，求點的坐標；（3）若點是軸上的點，且，求點的坐標．【解答】解：（1）令，得，解得，，或，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，，直線的解析式為；（2）如圖1，根據(jù)題意可知，點與點的坐標分別為，，，，，分兩種情況：①當時，得，解得，，或（舍，；②當時，得，解得，，或（舍，；當點是線段的三等分點時，點的坐標為或；（3）直線與軸交于點，點的坐標為，分兩種情況：①如圖2，當點在軸的正半軸上時，記為點，過作于點，則，，△，，即，，，，，，連接，，，軸，，，，，，；②如圖3，當點在軸的負半軸上時，記為點，過作于，則，，△，，即，，，，，，，由①可知，，，，，，，，綜上，點的坐標為或．（2019?山西）某游泳館推出了兩種收費方式．方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元．方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元．設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為次，選擇方式一的總費用為（元，選擇方式二的總費用為（元．（1）請分別寫出，與之間的函數(shù)表達式．（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢．【解答】解：（1）當游泳次數(shù)為時，方式一費用為：，方式二的費用為：；（2）由得：，解得時，當時，選擇方式一比方式二省錢．（2019?山西）綜合與探究如圖，拋物線經(jīng)過點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設(shè)點的橫坐標為．連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）的面積等于的面積的時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由拋物線交點式表達式得：，即，解得：，故拋物線的表達式為：；（2）點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線的表達式為：，如圖所示，過點作軸的平行線交直線于點，設(shè)點，則點，，即：，解得：或3（舍去，故；（3）當時，點，①當是平行四邊形的一條邊時，如圖所示：、分別有三個點，設(shè)點則點的縱坐標為絕對值為，即，解得：或3（舍去）或，故點、的坐標為或，或，，當點時，由圖象可得：點，當?shù)淖鴺藶?，，由中點坐標公式得：點，，同理可得：點坐標為，，故點坐標為：或，或，；②當是平行四邊形的對角線時，點、的坐標分別為、設(shè)點，點，由中點坐標公式得：，而，解得：，，，故點坐標為；故點的坐標為：或，或，或．（2018?山西）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸相交于點，，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）當為何值時，；（3）當為何值時，，請直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，解得．一次函數(shù)的表達式為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．．反比例函數(shù)的表達式為．（2）由，得．．當時，．（3）或．（2018?山西）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接，．點是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為點，交于點，過點作交軸于點，交于點．（1）求，，三點的坐標；（2）試探究在點運動的過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出為何值時有最大值．【解答】解：（1）當，，解得，，，，當，，；（2），易得直線的解析式為，設(shè)，，當時，，解得，（舍去），此時點坐標為，；當時，，解得，（舍去），此時點坐標為；當時，，解得（舍去），綜上所述，滿足條件的點坐標為，或；（3）解：過點作于點，如圖，則軸．由，得為等腰直角三角形為等腰直角三角形，，，，，，．，即，，，，設(shè)，，則，，，有最大值．當時，有最大值．一年模擬新題一年模擬新題一．選擇題（共15小題）（2020?山西一模）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則這個函數(shù)的圖象位于A．第三、四象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限【解答】解：設(shè)這個反比例函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，，，，，它的圖象位于第一三象限；故選：．（2020?南京一模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是A． B． C． D．【解答】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，，．函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．因為，所以一次函數(shù)的圖象比的圖象的傾斜度小，綜上所述，符合條件的圖象是選項．故選：．（2020?南通二模）若點在軸上，則點的坐標是A． B． C． D．【解答】解：點在軸上，，解得：，故，則點的坐標是：．故選：．（2020?南崗區(qū)校級模擬）甲、乙兩個工程隊同時開始維修某一段路面，一段時間后，甲隊被調(diào)往別處，乙隊獨自完成了剩余的維修任務(wù)．已知乙隊每小時維修路面的長度保持不變，甲隊每小時維修路面30米．甲、乙兩隊在此路段維修路面的總長度（米與維修時間（時之間的函數(shù)圖象如圖所示，下列說法中（1）甲隊調(diào)離時，甲、乙兩隊已維修路面的總長度為150米；（2）乙隊每小時比甲隊多維修20米：（3）乙一共工作2小時；（4）．正確的有個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）由圖象知，甲隊調(diào)離時，甲、乙兩隊已維修路面的總長度為150米，故（1）正確；（2）甲乙共同工作3小時共維修150米，甲維修米米，乙甲隊每小時維修路面米米，所以乙隊每小時比甲隊多維修10米：故（2）錯誤；（3）由圖象知，甲乙共同工作3小時，乙又工作2小時，乙工作5小時，故（3）錯誤；（4），故（4）正確．綜上所述，正確的有：（1）（4）共2個．故選：．（2020?平遙縣一模）如圖，點的坐標是，點的坐標是，為的中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△，若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過的中點，則的值是A．24 B．25 C．26 D．30【解答】解：作軸于．，，，，，，，，點的坐標是，點的坐標是，，，，，，，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．故選：．（2020?山西模擬）如圖，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，點在拋物線上，且，與軸相交于點，過點的直線平行于軸，與拋物線相交于，兩點，則線段的長為A． B． C． D．【解答】解：當時，，解得：，，點的坐標為，當時，，點的坐標為，當時，，解得：，，點的坐標為．設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為．當時，，點的坐標為．當時，，解得：，，．故選：．（2020?太原模擬）生物活動小組的同學們觀察某植物生長，得到該植物高度（單位：與觀察時間（單位：天）的關(guān)系，并畫出如圖所示的圖象軸），該植物最高的高度是A． B． C． D．【解答】設(shè)直線的解析式為，經(jīng)過點，，，解得．所以，直線的解析式為，當時，．故選：．（2020?山西模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點，分別與邊，相交于點，．若四邊形的面積為12，則的值為A．3 B．6 C．9 D．4【解答】解：設(shè)點的坐標為，點為矩形對角線的交點，點坐標為，，，．故選：．（2020?太原模擬）如圖，已知在平面直角坐標系中，點是坐標原點，是直角三角形，，，點在反比例函數(shù)上，若點在反比例函數(shù)上，則的值為A． B． C． D．【解答】解：過點，作軸，軸，垂足分別為，．設(shè)點的坐標是，則，，，，，，，，，，，，因為點在反比例函數(shù)上，則，點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標是，，．故選：．（2020?山西模擬）2019年女排世界杯于9月在日本舉行，中國女排以十一連勝的驕人成績衛(wèi)冕冠軍，充分展現(xiàn)了團隊協(xié)作、頑強拼搏的女排精神．如圖是某次比賽中墊球時的動作．若將墊球后排球的運動路線近似的看作拋物線，在同一豎直平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標系，已知運動員墊球時（圖中點離球網(wǎng)的水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網(wǎng)上端0.26米處（圖中點越過球網(wǎng)（女子排球賽中球網(wǎng)上端距地面的高度為2.24米），落地時（圖中點距球網(wǎng)的水平距離為2.5米，則排球運動路線的函數(shù)表達式為A． B． C． D．【解答】解；由題意可知點坐標為，點坐標為，點坐標為設(shè)排球運動路線的函數(shù)解析式為：排球經(jīng)過、、三點解得：排球運動路線的函數(shù)解析式為故選：．（2020?扶溝縣一模）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題可迎刃而解，且解法簡潔．如圖，直線和直線交于點，根據(jù)圖象分析，方程的解為A． B． C． D．【解答】解：直線和直線交于點方程的解為．故選：．（2020?山西模擬）如圖，直線與雙曲線的圖象交于、兩點，過點作軸于點，連接，若，則的值為A． B．4 C． D．8【解答】解：設(shè)，，直線與雙曲線的中心對稱性，，，，，把代入得．故選：．（2020?武昌區(qū)模擬）公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即“阻力阻力臂動力動力臂”．若現(xiàn)在已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則動力（單位：關(guān)于動力臂（單位：的函數(shù)圖象大致是A． B． C． D．【解答】解：阻力阻力臂動力動力臂．小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，動力（單位：關(guān)于動力臂（單位：的函數(shù)解析式為：，則，是反比例函數(shù)，選項符合，故選：．（2020?奎文區(qū)一模）如圖，的頂點在第一象限，頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若，的面積為6，則的值為A．3 B．6 C． D．12【解答】解：過作于，，，設(shè)點的坐標為，則，，的面積為6，，，在反比例函數(shù)上，，即，故選：．（2020?陽谷縣校級模擬）函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是A． B． C． D．【解答】解：的圖象經(jīng)過第二、四象限，反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，所以選項正確．故選：．二．填空題（共5小題）（2020?山西模擬）如圖，已知點在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點和的中點，，則點的坐標為．【解答】解：延長，交軸于，中，，，，，點在軸上，軸，，，設(shè)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的頂點，，（負數(shù)舍去），，設(shè)，則，，，點是的中點，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，故答案為．（2020?慈溪市模擬）直線過點，將它向下平移4個單位后所得直線的解析式是．【解答】解：將代入，得：，解得：，，將直線向下平移4個單位后所得直線的解析式是，即，故答案為．（2020?山西模擬）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，把直線沿軸的正半軸向右平移3個單位長度后得到直線，則直線的函數(shù)解析式是．【解答】解：把直線沿軸的正半軸向右平移3個單位長度后得到直線，則直線的函數(shù)解析式是：，即．故答案是：．（2020?南山區(qū)校級一模）如圖，正方形的邊長為，與軸正半軸的夾角為，點在第一象限，點在軸的負半軸上，且滿足，直線經(jīng)過、兩點，則．【解答】解：連接，過點作軸于點，如圖所示．正方形的邊長為，，．與軸正半軸的夾角為，．又，，，，點的坐標為．在中，，，，，點的坐標為，．將，，代入，得：，解得：，．故答案為：．（2020?黃岡一模）如圖，在中，，點的坐標，頂點在反比例函數(shù)的圖象上．若，且，則3【解答】解：如圖，作軸于．，，，，，，，又，，，，，，點在的圖象上，，故答案為3．三．解答題（共5小題）（2020?太原模擬）綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，它的對稱軸與軸交于點，直線經(jīng)過，兩點，連接．（1）求，兩點的坐標及直線的函數(shù)表達式；（2）探索直線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（3）若點是直線上的一個動點，試探究在拋物線上是否存在點，①使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由；②使以點，，，為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）當時，．解得：，，點的坐標為，點的坐標為；拋物線的對稱軸為直線；點的坐標為．當時，．點的坐標為．設(shè)直線的表達式為，則，解得，直線的表達式為；（2）直線上存在點，使為直角三角形．點的坐標為，點的坐標為，．又點的坐標為，，．．為等邊三角形．．分兩種情況：①當時，，，作軸于點．在△中，．，，點的坐標為．②作軸于點．當時，，，．．．在△中，．，．又，點的坐標為．綜上所述，直線上存在點，使為直角三角形，點的坐標為或；（3）通過畫圖得知，當，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，只有圖2一種情況，設(shè)點，，點，則，當點向右平移2個單位向上平移個單位得到點，同樣當點向右平移2個單位向上平移個單位得到點，即①，②，①當點，，，為頂點的四邊形為菱形時，則，即③，聯(lián)立①②③并解得：（舍去）或2，故點點的坐標為；②當以點，，，為頂點的四邊形為矩形，則，即④，聯(lián)立①②④并解得：，故點的坐標為．（2020?山西一模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限交于，兩點，一次函數(shù)的圖象與軸交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）當為何值時，？（3）已知點，，過點作軸的平行線，在第一象限內(nèi)交一次函數(shù)的圖象于點，交反比例函數(shù)的圖象于點．結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當時的取值范圍．【解答】解：（1）反比例函數(shù)的圖象過點，，，反比例函數(shù)表達式為：；點在函數(shù)的圖象上，，．一次函數(shù)的圖象過點，，，解得，一次函數(shù)的表達式為：；反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式分別為，．（2）當時，，，，由圖象可知，當時，．（3）如圖，由圖象可得，當時，．（2020?平遙縣一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過，，對稱軸為直線．（1）求該拋物線和直線的解析式；（2）點是直線上方拋物線上的動點，設(shè)點的橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示的面積，并求出面積的最大值；（3）設(shè)點是直線上一動點，為拋物線上的點，是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出符合條件的所有點坐標，不存在說明理由．【解答】解：（1），對稱軸為直線．，設(shè)拋物線的表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：；設(shè)直線的表達式為：，則，解得：，故直線的表達式為：；（2）設(shè)點坐標，過作軸，交直線于點，則坐標為，面積，，故有最大值，當時，的最大值為4；（3）設(shè)點的坐標為，，點，而點、的坐標分別為：、；①當為平行四邊形的邊時，點向右平移4個單位，向下平移2個單位得到點，同樣點向右平移4個單位，向下平移2個單位得到點，即，解得：或5，故點的坐標為：或；②當為平行四邊形的對角線時，由中點公式得：，解得：，故點，綜上，點的坐標為或或．（2020?平遙縣一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上一個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當點在矩形外部時