非線性電路實驗

-）。如果σ>0且ω≠0，則xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋離開不動點XQ；若σ<0，xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋收縮到不動點XQ。這些性質(zhì)在進行每個區(qū)域分析時都非常有用。非線性負阻的結(jié)構(gòu)[9]如圖2所示，由兩個封裝在一起的運算放大器（雙運算放大器集成電路FL353N）和6個定值電阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）構(gòu)成，輸入電源電壓±15V。理想的非線性負阻具有如圖3所示的I-V特性，被±E拆分為上中下三個區(qū)域，在各個區(qū)域都是線性函數(shù)，分段函數(shù)的斜率依次為Gb、Ga、Gb，且滿足Ga<Gb<0。由運算放大器電路的參數(shù)可計算[12]出Ga=-1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09±0.06)×10-4Ω-1。圖2：非線性負阻的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖3：理想非線性負阻I-V特性（示意圖）實驗內(nèi)容各種混沌現(xiàn)象的觀測用圖1所示的方法，調(diào)節(jié)可調(diào)電阻R，觀察單周期、雙周期、陣發(fā)混沌、三周期、單吸引子、雙吸引子等相圖，并記錄各種相圖對應(yīng)的U1,U2的信號特點。測量非線性負阻的I-Ｖ特性1、用如圖4所示的方法，用信號發(fā)生器驅(qū)動，分別在30Hz，300Hz和3.3kHz等頻率測量非線性負阻的I-V特性，討論不同頻率時I-V曲線的特點。圖4：外部信號掃描測量I-V特性電路圖用圖5所示的方法：在電路中接入一個r=100Ω的采樣電阻，非線性負阻兩端的電壓U1仍在CH1端測量，用CH2端輸出的r兩端的電壓代替電流信號來記錄I-V曲線，實驗時利用蔡氏電路自身的振蕩信號代替信號發(fā)生器的輸入。CH1和CH2的信號輸入另一雙蹤示波器觀察非線性電路的二位相圖，記錄電路出現(xiàn)各種混沌狀態(tài)時的I-V曲線。比較上述兩種方法得到的I-V曲線的異同，并討論原因。分析第二種方法得到的結(jié)果，并解釋相圖和I-V曲線之間的關(guān)聯(lián)。圖5：內(nèi)置信號掃描測量I-V特性電路圖5、（選做）用伏安法測量非線性負阻的I-V曲線，分析得到的結(jié)果。三、（選做）元件參數(shù)測量和非線性方程的求解1、用萬用表測量電路中的電容、電感的值。（有興趣的同學可查閱萬用表測電容、電感的原理。）2、用函數(shù)信號發(fā)生器作電源，用伏安法測量電容、電感的值，討論電流、頻率不同時，測量結(jié)果的變化。注意：實際有鐵芯電感的等效模型為一個理想電感和一個損耗電阻的組合。3、用高精度的LCR表測量各個元件的參數(shù)。4、用實際測得的實驗參數(shù)求解非線性方程組（1），找出不同條件下的不動點，分析不動點的穩(wěn)定性和解的特點。四、（選做）C調(diào)制設(shè)計實驗方法，實現(xiàn)用電容C的調(diào)節(jié)了得到各種混沌相圖，并討論G調(diào)制和C調(diào)制得到的相圖的不同。（選做）數(shù)值模擬采用四階Runge-Kutta法求解方程組（1），畫出各種相圖。用FFT法分析各種相圖時時域型號的頻率特性。繪制U1隨R變化的分岔圖，得出單周期、雙周期等混沌狀態(tài)時的R值，和實驗觀察的結(jié)果進行比較。（探索）混沌保密通訊閱讀文獻，了解混沌通訊的原理和實現(xiàn)方法，從實驗上實現(xiàn)兩臺混沌實驗儀的信號同步，并完成混沌保密通訊的原理演示實驗。（探索）分形用計算機編程得到各種分形圖形。思考題非線性系統(tǒng)的動力學行為的特點有哪些？一個自治的非線性系統(tǒng)至少包含哪些元件？各起什么作用？將非線性負阻直接接到一個電阻兩端，隨著外接電阻阻值的改變，電阻上的電壓和電流之間會有什么關(guān)系？有興趣的同學可以進行實驗測量，并解釋得到的結(jié)果。怎樣求解非線性方程組？什么是Runge-Kutta法？G調(diào)制和C調(diào)制有什么不同？參考文獻JamesGleick,張淑譽,郝柏林.混沌開創(chuàng)新科學[M].北京:高等教育出版社,2004年.L.O.Chua.NonlinearCircuits[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems.CAS-31(1),1984:69-87.P.R.Hobson,A.N.Lansbury.Asimpleelectroniccircuittodemonstratebifurcationandchaos[J].PhysicsEducation,31,1993:39-43.G.Q.ZhongandF.Ayrom.Experimentalconfirmationofchaosfromchua'scircuit[J].InternationalJournalofCircuitTheoryandApplications,13(1),1985:93-98.J.H.Lu,G.R.Chen.GeneratingMultiscrollChaoticAttractors:Theories,MethodsAndApplications[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,16(4),2006:775-858.G.R.Chen,TUeta.YetAnotherChaoticAttractors[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,9(7),1999:1465-1466.M.P.Kennedy.OntheRelationshipbetweentheChaoticColpittsOscillatorandChua'sOscillator[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems,42(6),1995:376-379.馮朝文,蔡理,康強.基于單電子器件的混沌電路研究[J].ACTAPHYSICASINICA物理學報,57(10),2008:6155-6161.王珂,田真,陸申龍.非線性電路混沌現(xiàn)象實驗裝置的研究[J].實驗室研究與探索,4,1999:43-45.許巍，熊永紅，李定國等.基于LabVIEW數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的混沌電路實驗[J].物理實驗,29(2),2009:20-22劉興云,魯池梅,程永山.基于虛擬儀器三維多渦卷混沌電路的研究[J].大學物理,27(6),2008:38-41M.P.Kennedy.ThreestepstochaospartⅡ:Achua'scircuitprimer[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems,40(10),1993:657-674.實驗資料復旦天欣科教儀器有限公司：NCE-2型非線性電路混沌實驗儀產(chǎn)品說明書。2000.2上海新建儀器設(shè)備有限公司：XJ4400系列數(shù)字存儲示波器課外閱讀：非線性科學概要——為《非線性物理概論》一書寫的序言汪秉宏 上一世紀初量子力學和相對論的發(fā)現(xiàn)，因為提出了突破人們傳統(tǒng)思維的新概念，將人類的世界觀推進到超越經(jīng)典的領(lǐng)域，而被公認為是物理學或更確切地說是科學的兩次革命。牛頓創(chuàng)立的經(jīng)典力學被發(fā)現(xiàn)并不始終是正確的。當深入到微觀尺度（<10-8cm），應(yīng)該取代為量子力學，當物體的速度接近于光速（～1010cm/s），則相對論是正確的。 非線性科學作為科學的一個新分支，如同量子力學和相對論一樣，也將我們引向全新的思想，給予我們驚人的結(jié)果。非線性科學的誕生，進一步宣布了牛頓的經(jīng)典決定論的局限性。它指出，即使是通常的宏觀尺度和一般物體的運動速度，經(jīng)典決定論也不適用于非線性系統(tǒng)的混沌軌道的行為分析。非線性科學涵蓋各種各樣尺度的系統(tǒng)，涉及以任意速率運動的對象，這一事實絲毫不降低這一新學科的創(chuàng)新性，恰恰相反，剛好說明它具有廣泛的應(yīng)用性。從這一點來看，其實非線性科學的誕生和發(fā)展更有資格被稱為科學的一場革命。 非線性科學，目前有六個主要研究領(lǐng)域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自動機，和復雜系統(tǒng)。而構(gòu)筑多種多樣學科的共同主題乃是所研究系統(tǒng)的非線性。 一個系統(tǒng)，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。例如一個介電晶體，當其輸出光強不再與輸入光強成正比，就成為非線性介電晶體。例如彈簧，當其位移變得很大時，胡克定律就失效，彈簧變?yōu)榉蔷€性振子。又例如單擺，僅當其角位移很小時，行為才是線性的。實際上，自然科學或社會科學中的幾乎所有已知系統(tǒng)，當輸入足夠大時，都是非線性的。因此，非線性系統(tǒng)遠比線性系統(tǒng)多得多，客觀世界本來就是非線性的，線性只是一種近似。任何系統(tǒng)在線性區(qū)和非線性區(qū)的行為之間存在顯著的定性上的差別。例如單擺的振蕩周期在線性區(qū)不依賴于振幅，但在非線性區(qū)，單擺的振蕩周期是隨振幅而變的。 從數(shù)學上看，非線性系統(tǒng)的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系統(tǒng)的方程的兩個解之和仍為其解。迭加原理可以通過兩種方式失效。其一，方程本身是非線性的。其二，方程本身雖然是線性的，但邊界是未知的或運動的。 對于一個非線性系統(tǒng)，哪怕一個小擾動，象初始條件的一個微小改變，都可能造成系統(tǒng)在往后時刻行為的巨大差異。迭加原理的失效也將導致Fourier變換方法不適用于非線性系統(tǒng)的分析。因此，系統(tǒng)的非線性帶來系統(tǒng)行為的復雜性。對于非線性系統(tǒng)行為的解析研究是相當困難的。 更進一步，在許多情況下，對于我們所要研究的系統(tǒng)，方程是未知的，或甚至可能根本不存在。從分形圖樣生長的簡單的擴散限制聚集模型，到象股票市場那樣的復雜經(jīng)濟系統(tǒng)，我們可以舉出無數(shù)寫不出方程的非線性系統(tǒng)的例子。 混沌是非線性系統(tǒng)的最典型行為，它起源于非線性系統(tǒng)對于初始條件的敏感依賴性。混沌現(xiàn)象早在上世紀初就已經(jīng)被法國學者彭加勒所發(fā)現(xiàn)，后來又被許多數(shù)學家所仔細研究。而學術(shù)界近年來對于混沌的特別關(guān)注，則起始于七十年代，這是因為美國人費根保姆發(fā)現(xiàn)了一些象平方函數(shù)重復迭代的很大一類簡單映射系統(tǒng)居然具有普適的性質(zhì)。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉參數(shù)的漸近收斂比值，分叉的幾何特征具有普適標度性等等。而費根保姆工作則是受到了美國氣象學家洛倫茲與氣象預報有關(guān)的重要然而朦朧的工作的啟示。 對于混沌系統(tǒng)的如下兩個發(fā)現(xiàn)特別有意義。其一，人們發(fā)現(xiàn)一個決定論性系統(tǒng)的行為當處于混沌狀態(tài)時似乎是隨機的。僅僅這一發(fā)現(xiàn)就迫使所有的實驗家要重新考察他們的數(shù)據(jù)，以確定某些曾經(jīng)歸于噪聲的隨機行為是否應(yīng)該重新確定為是由于決定論性混沌而產(chǎn)生的。其二，人們發(fā)現(xiàn)很少自由度的非線性系統(tǒng)，就可能是混沌的而表現(xiàn)為相當復雜。這一發(fā)現(xiàn)給我們以這樣的啟示：許多真實系統(tǒng)中所觀察到的復雜行為其實有一個簡單的起源，那就是混沌。當然，混沌僅僅是復雜性的起源之一，還存在并非來源于混沌的更復雜的復雜性。 決定論性混沌的真實系統(tǒng)（例如氣候）的行為具有明顯的不可預測性。這一是由于系統(tǒng)對于初始條件的敏感依賴性；二是由于我們在實際中只能近似地測量或確定系統(tǒng)的初始條件，因為任何測量儀器都只具有有限的分辨率。這兩個根本困難排除了對于任何混沌的真實系統(tǒng)作出長期預報的可能。 但從另一方面看，一個被確認為決定論性混沌的系統(tǒng)，在看起來非常復雜的行為中，卻蘊藏著秩序，因而進行短期預報是可能的。問題在于：如何確定復雜現(xiàn)象的背后是否存在決定論性混沌的起源？又，如何對一個混沌系統(tǒng)的行為進行短期預報？對于氣象或股票市場一類系統(tǒng)，由于不可逾越的復雜性，描寫這類系統(tǒng)的完全方程組，即使是存在的，也決無辦法知道?；蛘撸词刮覀兡軐懗鏊邢嚓P(guān)的方程組，也不可能有足夠強大功能的計算機來求解這些方程組。但是從實用的角度考慮，往往只需要對這類系統(tǒng)作一次成功的短期預報。例如，為了在股票市場上賺錢，炒股者其實只需要能夠預測明天或下一周股票的漲跌趨勢，而不必知道市場的整個長時間的漲落規(guī)律。又例如，如果地球巖石圈的動力學系統(tǒng)被證明具有決定論性的成分，則地震的預測并非完全不可能，而與地震的中長期預報相比較，對某一地區(qū)的地震進行短臨預報，對于人們的防震更有意義，所以，復雜系統(tǒng)行為的短期預測已經(jīng)變成混沌的最令人感興趣的一個應(yīng)用。 混沌的另一個重要應(yīng)用是混沌的控制。這一應(yīng)用基于如下事實：有許多不穩(wěn)定周期軌道嵌入在奇怪吸引子內(nèi)，我們可以根據(jù)需要通過對系統(tǒng)施加一個小擾動的方法使其中之一穩(wěn)定并將混沌系統(tǒng)驅(qū)動到這一穩(wěn)定周期軌道狀態(tài)。這一技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用于各種機械的、電子的、激光的、化學的系統(tǒng)和心臟組織的控制上。 自然界中的大多數(shù)特殊結(jié)構(gòu)是由大量相同組元自組織集結(jié)而成的。通過某種簡單的稱之為組織的構(gòu)造法就可以出現(xiàn)自集結(jié)過程。兩種最簡單的構(gòu)造法是所謂規(guī)則性構(gòu)造法和隨機性構(gòu)造法。采用規(guī)則性構(gòu)造法，所有組元就排列成為周期或準周期方式而構(gòu)造成例如晶體與合金等等。采用隨機性構(gòu)造法而形成的結(jié)構(gòu)（或非結(jié)構(gòu)）的例子有氣體和動物毛發(fā)的分布等等。而在這兩種極端的構(gòu)造法之間，則有自相似構(gòu)造法，這將產(chǎn)生稱為分形的自相似結(jié)構(gòu)。在一個分形中，系統(tǒng)的局部與整體相似。分形通常具有分數(shù)維數(shù)。許多分形還可能是不同分數(shù)維的分形的集合，故稱為多重分形。分形和多重分形的名詞，是上世紀八十年代由曼德勃羅特首先提出的。現(xiàn)在，分形在自然界和數(shù)學系統(tǒng)中的廣泛存在性已被人們普遍認識。例如：凝聚體和膠體、樹木、巖石、山脈、云彩、星系、粗糙的表面和界面、聚合物和股票市場，無不存在分形。而耗散動力系統(tǒng)中的混沌就表現(xiàn)為相空間中具有分形結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形?；煦缗c分形之間的這種聯(lián)系至今尚未被充分理解。 分形系統(tǒng)的最典型性質(zhì)是缺少空間的特征尺度。這一性質(zhì)可以有三種等價的表達方式：拓樸自相似性，空間的冪函數(shù)律，和標度不變性。類似的，系統(tǒng)中不存在時間的特征尺度將導致時間的冪函數(shù)律，例如，1/f噪聲。為了解釋分形和無特征尺度行為在非平衡系統(tǒng)中的廣泛存在性，丹麥人巴克和中國學者湯超等在1987年提出了自組織臨界性假設(shè)，現(xiàn)在人們知道，自組織臨界性假設(shè)不僅適用于沙堆，也適用于許多自然系統(tǒng)和社會系統(tǒng)。 人們早就注意到河流、樹枝、葉脈、和閃電所形成的分枝之間有驚人的相似性。這些分枝的斑圖與在云彩和海藻類群落中所觀察到的緊致斑圖顯然不同。大自然是如何生成這些斑圖的？這些不同斑圖模式的形成是否存在一種簡單的原理或普適的機制？目前還找不到對于這些問題的最終回答，但最近二十年來在這方面的研究已經(jīng)取得可喜的進展。 混沌理論的成功也開啟了復雜性科學的研究之門。在七八十年代，當人們認識了混沌之后，對于從自然系統(tǒng)和社會系統(tǒng)中獲得的各種時間序列，莫不用混沌動力學來進行分析，檢驗其中的