導數(shù)及其應用同步檢測3

第三章3.2第1課時一、選擇題1．拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點(2,1)處的切線方程是導學號96660494()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵y′＝eq\f(1,2)x，y′|x＝2＝eq\f(1,2)×2＝1，∴拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點(2,1)處的切線斜率為1，方程為x－y－1＝0.2．若y＝lnx，則其圖象在x＝2處的切線斜率是導學號96660495()A．1 B．0C．2 D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]∵y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝2＝eq\f(1,2)，故圖象在x＝2處的切線斜率為eq\f(1,2).3．若y＝sinx，則y′|x＝eq\f(π,3)＝導學號96660496()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[答案]A[解析]y′＝cosx，y′|x＝eq\f(π,3)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).4．下列說法正確的是導學號96660497()A．若函數(shù)f′(x)＝1，則f(x)表達式一定為f(x)＝xB．函數(shù)f(x)＝x2圖象上任意一點的切線的斜率均大于零C．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)圖象上存在切線斜率為零的點D．函數(shù)f(x)定義域為R，且f′(x)＝0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)[答案]D[解析]若f′(x)＝1，則f(x)＝x＋C(C是常數(shù))，故A錯．因為f(x)＝x2的導數(shù)f′(x)＝2x，故B錯．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的導數(shù)f′(x)＝－eq\f(1,x2)，故切線斜率不可能為0，故C錯．因為函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)＝0，故f(x)＝C(C為常數(shù))，且定義域是R，故f(x)＝C是偶函數(shù)，D正確．5．若y＝coseq\f(2π,3)，則y′＝導學號96660498()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．0 D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0.6．過曲線y＝eq\f(1,x)上一點P的切線的斜率為－4，則點P的坐標為導學號96660499()A．(eq\f(1,2)，2) B．(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2)C．(－eq\f(1,2)，－2) D．(eq\f(1,2)，－2)[答案]B[解析]設點P的坐標為(x0，y0)，∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝4，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)，∴x0＝±eq\f(1,2).∴點P的坐標為(eq\f(1,2)，2)或(－eq\f(1,2)，－2)．二、填空題7．(2015·新課標Ⅱ文，16)已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.導學號96660500[答案]8[解析]由y′＝1＋eq\f(1,x)可得曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線斜率為2，故切線方程為y＝2x－1，與y＝ax2＋(a＋2)x＋1聯(lián)立得ax2＋ax＋2＝0，顯然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0?a＝8.8．函數(shù)f(x)＝eq\r(5,x3)，則f′(x)＝________.導學號96660501[答案]eq\f(3,5)x－eq\s\up4(\f(2,5))[解析]∵f(x)＝eq\r(5,x3)＝xeq\s\up4(\f(3,5))，∴f′(x)＝eq\f(3,5)x－eq\s\up4(\f(2,5)).三、解答題9．求曲線y＝lnx在x＝e2處的切線方程．導學號96660502[解析]∵y＝lnx，y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e2＝eq\f(1,e2)，∴在(e2,2)處的切線方程為y－2＝eq\f(1,e2)(x－e2)，即x－e2y＋e2＝0.一、選擇題1．已知f(x)＝x3，則f(x)的斜率為1的切線有導學號96660503()A．1條 B．2條C．3條 D．不能確定[答案]B[解析]設切點為(x0，xeq\o\al(3,0))，由(x3)′＝3x2得在(x0，xeq\o\al(3,0))處的切線斜率為3xeq\o\al(2,0)，由3xeq\o\al(2,0)＝1得x0＝±eq\f(\r(3),3)，故切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))，所以有2條．2．正弦函數(shù)y＝sinx上切線斜率等于eq\f(1,2)的點為導學號96660504()A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)D．(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)[答案]D[解析]由(sinx)′＝cosx＝eq\f(1,2)得x＝2kπ－eq\f(π,3)或x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以切點坐標為(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)．3．給出下列函數(shù)(1)y＝(sinx)′＋(cosx)′；(2)y＝(sinx)′＋cosx；(3)y＝sinx＋(cosx)′；(4)y＝(sinx)′·(cosx)′.其中值域不是[－eq\r(2)，eq\r(2)]的函數(shù)有多少個導學號96660505()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析](1)y＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．(2)y＝(sinx)′＋cosx＝2cosx∈[－2,2]．(3)y＝sinx＋(cosx)′＝sinx－sinx＝0.(4)y＝(sinx)′·(cosx)′＝cosx·(－sinx)＝－eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).4．(2016·山東文，10)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是eq\x(導學號96660506)()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3[答案]A[解析]設兩切點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．選項A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，當x1＝0，x2＝π時滿足，故選項A中的函數(shù)具有T性質(zhì)；選項B、C、D中函數(shù)的導數(shù)均為正值或非負值，故兩點處的導數(shù)之積不可能為－1，故選A．二、填空題5．已知f(x)＝x3，f′(x0)＝6，則x0＝________.導學號96660507[答案]±eq\r(2)[解析]∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝6，∴xeq\o\al(2,0)＝2，∴x0＝±eq\r(2).6．已知P、Q為拋物線x2＝2y上兩點，點P、Q的橫坐標分別為4、－2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為________．導學號96660508[答案]－4[解析]因為y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q兩點處切線的斜率的值分別為4和－2.所以這兩條切線的方程為l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0.將這兩個方程聯(lián)立成方程組求得y＝－4.三、解答題7．求曲線y＝sinx在點A(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))的切線方程．導學號96660509[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，∴y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，∴k＝eq\f(\r(3),2).∴切線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)(x－eq\f(π,6))，化簡得6eq\r(3)x－12y＋6－eq\r(3)π＝0.8．求拋物線y＝eq\f(1,4)x2過點(4，eq\f(7,4))的切線方程．導學號96660510[解析]∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))不在拋物線y＝eq\f(1,4)x2上，∴設切點為(x0，y0)，由題意，得切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0，切線方程為y－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)x0(x－4)，又點(x0，y0)在切線上，∴y0－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)x0(x0－4)，又點(x0，y0)又在拋物線y＝eq\f(1,4)x2上，∴y0＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)，∴eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)－2x0，解得x0＝1或7，∴切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(49,4)))，所求的切線方程為：2x－4y－1＝0或14x－4y－49＝0.9．設點P是y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最短距離．導學號96660511[解析]根據(jù)題意得，平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切的切點為P，該切點即為與y＝x距離最近的點，如圖，即求在曲線y＝ex上斜率為1的切線，由導數(shù)的幾何意義可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，∴由題意得ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得最短距離為eq