北師大高中數學選擇性必修第一冊3.4.3.1空間中的角【課件】

第三章空間向量與立體幾何4

向量在立體幾何中的應用自主預習互動學習達標小練

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關系一、空間中的角基礎訓練自主預習|cos＜a，b＞||cos＜a，n＞||cos＜n1，n2＞|

線的夾角.提示：(1)當a，n與α，l的關系如下圖所示時，l與α所成的角與a，n所成的角互余.

即sin

θ＝cos＜a，n＞.(2)當a，n與α，l的關系如下圖所示時，l與α所成的角與兩向量所成的角的補角互余.此時，sin

θ＝|cos＜a，n＞|.

總之，若設直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量與平面的法向量所成的角為φ，則有sin

θ＝|cos

φ|.

若直線的方向

提示：不一定.

兩平面法向量的夾角可能等于兩平面的夾角(當0≤＜n1，n2

中n1，n2是兩平面的法向量.基礎訓練互動學習[解]

以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖，則A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，2a，0).答圖

＝a，∠EAF＝60°，

解：(1)如圖建立空間直角坐標系，∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).

在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD

答圖

[解]

(1)證明：易知AB，AD，AA1兩兩垂直.

如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.答圖設AB＝t，則有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3).

解：設PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x軸、y軸、z軸的非負半軸建立空間直角坐標系如圖.則P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

答圖

[解]

(1)如圖，以點O為原點，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

由于異面直線BE與AC所成的角的范圍是

答圖

又平面BEC的一個法向量為n2＝(0，0，1)，

由題可得，二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補角，所以

解：(1)證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，答圖

∴PC⊥BF，PC⊥EF，又BF∩EF＝F，則PC⊥平面BEF.

設平面BEF與平面BAP的夾角為θ，則

∴θ＝45°，即平面BEF與平面BAP的夾角為45°.基礎訓練達標小練A解析：異面直線的夾角的取值范圍是(0°，90°]，故選A.D

重合.

故選D.B解析：如圖所示.

不妨設正四棱錐底面邊長為2，底面中心為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，取BC中點E，連接OE，PE，則OE⊥BC，PE⊥

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，

90°

ABCD，故直線PA與底面ABCD所成的角為90°.解：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC.∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz.

設EA＝AC＝BC＝2，則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2).∵M是正方形ACDE的對角線的交點，∴M(0，1，1