全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第12章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第2講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例1備考試題文含解析

第十二章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例其次講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例x12345y5tm1012練好題·考點(diǎn)自測1.[2024福建模擬]下列四個(gè)命題說法正確的是()①在回來分析中,R2可以用來刻畫回來效果,R2的值越大,模型的擬合效果越好;②在獨(dú)立性檢驗(yàn)中,隨機(jī)變量K2的值越大,說明兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大;③在回來方程y＾=0.2x+12中,當(dāng)說明變量x每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量y④兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于1.A.①④ B.②④ C.①② D.②③2.[2024全國卷Ⅰ,5,5分][文]某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽試驗(yàn),由試驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如圖12-2-1所示的散點(diǎn)圖:圖12-2-1由此散點(diǎn)圖,在10℃至40℃之間,下面四個(gè)回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx3.[2024山東,5,5分]為了探討某班學(xué)生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回來直線方程為y＾=b^x+a＾,已知∑i=110xi=225,∑i=110yA.160 B.163 C.166 D.1704.[2024四省八校聯(lián)考]具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的取值如表,其回來直線y^=b^x+a^A.t+m=13 B.t=m=6C.t=m=7 D.t=6,m=75.[2024湖南模擬]通過隨機(jī)詢問100名高校生是否愛好踢毽子,得到如下列聯(lián)表:男女總計(jì)愛好104050不愛好203050總計(jì)3070100P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635附:K2=n(ad-bc)2(a+b下列結(jié)論正確的是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為“愛好踢毽子與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為“愛好踢毽子與性別無關(guān)”C.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好踢毽子與性別有關(guān)”D.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好踢毽子與性別無關(guān)”拓展變式1.某芯片公司為制訂下一年的研發(fā)投入安排,需了解年研發(fā)資金投入量xi(單位:億元)對(duì)年銷售額yi(單位:億元)的影響.該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù),i=1,2,…,12,并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了如圖12-2-3所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.圖12-2-3令ui=x2,vi=lnyi(i=1,2,…,12),經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):xy∑i=112(xi-∑i=112(yi-uv20667702004604.20∑i=112(ui-∑i=112(ui(yi-y∑i=112(vi-∑i=112(xi(vi-v3125000215000.30814(1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1,{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2,請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度,選擇一個(gè)擬合程度更好的模型.(2)①依據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回來方程(系數(shù)精確到0.01);②若下一年銷售額y需達(dá)到90億元,預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:相關(guān)系數(shù)r=∑i回來直線y＾=a＾+b參考數(shù)據(jù):308=4×77,90≈9.4868,e4.4998≈90.2.[2024全國卷Ⅲ,18,12分][文]某學(xué)生愛好小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園熬煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):熬煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.依據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表,推斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283.在紅外線照耀下,組織溫度上升,毛細(xì)血管擴(kuò)張,血流加快,物質(zhì)代謝增加,組織細(xì)胞活力及再生實(shí)力提高,因此紅外線治療儀對(duì)某些疾病的治療有著很好的作用.某藥店兼營某紅外線治療儀,經(jīng)過近5個(gè)月的營銷,對(duì)銷售狀況進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)分析,發(fā)覺月銷售量與銷售價(jià)格有關(guān),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格x/元140150160170180紅外線治療儀的月銷售量y/臺(tái)6455453526(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)求y關(guān)于x的線性回來方程.(2)(i)每臺(tái)紅外線治療儀的價(jià)格為165元時(shí),預(yù)料紅外線治療儀的月銷售量;(四舍五入為整數(shù))(ii)若該紅外線治療儀的成本為120元/臺(tái),要使每月獲得最大的純收益,利用(1)中結(jié)論,問每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格應(yīng)定為多少?(四舍五入,精確到1元)參考公式:回來直線方程y＾=b^x+a＾4.[2024廣州二模]全民健身旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平,提倡全民做到每天參與一次以上健身活動(dòng),學(xué)會(huì)兩種以上健身方法,每年進(jìn)行一次體質(zhì)測定(簡稱體測).為響應(yīng)全民健身號(hào)召,某單位在職工體測后就某項(xiàng)健康指數(shù)(百分制)隨機(jī)抽取了30名職工的體測數(shù)據(jù)作為樣本,詳細(xì)圖12-2-7數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖12-2-7所示,其中有1名女職工的健康指數(shù)的數(shù)據(jù)模糊不清(用x表示),已知這30名職工的健康指數(shù)的平均數(shù)為76.2.(1)依據(jù)莖葉圖,求樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)依據(jù)莖葉圖,按男、女用分層抽樣的方法從這30名職工中隨機(jī)抽取5人,再從抽取的5人中隨機(jī)抽取2人,求抽取的2人都是男職工的概率;(3)經(jīng)計(jì)算,樣本中男職工健康指數(shù)的平均數(shù)為81,女職工現(xiàn)有數(shù)據(jù)(即剔除x)健康指數(shù)的平均數(shù)為69,方差為190,求樣本中全部女職工的健康指數(shù)的平均數(shù)和方差(結(jié)果精確到0.1).答案第十二章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例其次講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例1.C由R2與K2的公式及性質(zhì)可知,①②正確;在回來方程y＾=0.2x+12中,當(dāng)說明變量x每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量y＾平均增加0.2個(gè)單位,③錯(cuò)誤;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的肯定2.D依據(jù)題中散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布形態(tài)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象類似,故選D.3.C由題意可知y＾=4x+a＾,又x=22.5,y=160,因此160=22.5×4+a＾,故a＾=70,因此y＾=4x+70.當(dāng)x=24時(shí),4.D由表格數(shù)據(jù),得x=1+2+3+4+55=3,y=5+t+m+10+125=27+t+m5.因?yàn)榛貋碇本€y^=b^x+a^必經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(x,y)(求回來直線方程的關(guān)鍵是抓住樣本點(diǎn)的中心在回來直線上),且回來直線經(jīng)過點(diǎn)(3,8),所以點(diǎn)(3,8)為回來直線y^=b5.A由題意得K2的觀測值k=100×(10×30-40×20)230×70×50×50≈4.762>3.841,可得在犯錯(cuò)誤的概率不超過51.(1)由題意,r1=∑i=112(ui-u-)(則|r1|<|r2|,因此從相關(guān)系數(shù)的角度,模型y=eλx+t的擬合程度更好.(2)①先建立v關(guān)于x的線性回來方程,由y=eλx+t,得lny=t+λx(兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)),即v=t+λx(將非線性回來方程轉(zhuǎn)化為線性回來方程);由于λ=∑i=112t=v--λx-=4.20-0.所以v關(guān)于x的線性回來方程為v＾=0.02x+3.84(系數(shù)精確到0.01,即0.018精確為0.所以lny＾=0.02x+3.84,則y＾=e0.02x+3.②下一年銷售額y需達(dá)到90億元,即y=90,代入y＾=e0.02x+3.84,得90=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以4.4998≈0.02x+3.84,所以x≈4.4998-3.840.02=32.所以下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元.【方法技巧】常見非線性回來方程的轉(zhuǎn)換方式非線性回來方程變換公式變換后的線性回來方程y=axb(a>0,b≠0)c=lnav=lnxu=lnyu=c+bvy=aebx(a>0)c=lnau=lnyu=c+bxy=aebx(c=lnav=1u=lnyu=c+bvy=a+blnxv=lnxy=a+bv2.(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如表:空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值為1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)依據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如下:人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228依據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測值k=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5由于5.820>3.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).3.(1)x=y=∑i=15(xi-x)2=(140-160)2+(150-160)2+(160-160)2+(170-160)2+(180-160)2=1000,∑i=15(xi∴^b=∑i=15∴a＾=y-^bx=45+0∴y關(guān)于x的回來方程為y＾=-0.96x+198.6(2)(i)由(1)知,當(dāng)x=165時(shí),y＾=-0.96×165+198.6=40.2≈40,即每臺(tái)紅外線治療儀的價(jià)格為165元時(shí),紅外線治療儀的月銷售量為40臺(tái)(ii)藥店每月獲得的純收益Q(x)=(-0.96x+198.6)(x-120)=-0.96x2+313.8x-23832,∴當(dāng)x=313.82×0.96≈163時(shí),Q(x即要使每月獲得最大的純收益,每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格應(yīng)定為163元.4.(1)由莖葉圖可知,樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)為76,中位數(shù)為80+822=81(2)由于是分層抽樣,因此抽取的5人中男職工有5×1830=3(人),分別記為A,B,C;女職工有2人,分別記為a,b.從5人中隨機(jī)抽取2人的狀況有:(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10種.其中這2人都是男職工的狀況有:(A