2020學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊講義：3-4函數(shù)的應(yīng)用（一）

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

L課前自主預(yù)習(xí)

目學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.

2.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.

E）要點梳理

幾類常見的函數(shù)模型

名稱解析式條件

一次函數(shù)

y=hjc+bk羊。

模型

反比例

y——vb為NO

函數(shù)模型JC

一般式：y=ajc2-\-bjc~\-c

二次函數(shù)頂點式：

ar0

模型/?b\~\4tzc-lr

2a)+4a

寡函數(shù)

y=axu+〃。盧0,7?卉1

模型

分段函(/(J7)，①右,

—

數(shù)模型(g(j7),16/2

目思考診斷

1.一次函數(shù)丁=丘+。中攵的取值是如何影響其圖象和性質(zhì)的？

［答案］當(dāng)k>0時直線必經(jīng)過第一、三象限，y隨工的增大而增

大；當(dāng)麥<0時直線必經(jīng)過第二、四象限，y隨工的增大而減小

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由哪些因素決定？

［答案］二次函數(shù)y=a?+Zu+c的圖象和性質(zhì)由開口方向、對

b

稱軸及頂點位置決定.。決定拋物線的開口方向，直線X=一會決定

4-CIC—力2

對稱軸的位置，f—決定頂點的縱坐標(biāo).另外其單調(diào)性由開口方

向及對稱軸決定

3.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù))=丘+8(%70)在R上是增函數(shù).()

4QC-tr

(2)二次函數(shù)/U)=G2+Zzx+c(aW0)的最大值是)

(3)分段函數(shù)中每一段的模型可以是一次函數(shù)或二次函數(shù).()

［答案］(1)X(2)X(3)J

區(qū)課堂互動探究

題型一用一、二次函數(shù)模型解決實際問題

【典例11某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場

銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價％元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系:

銷售單價%(元)30404550

日銷售量y(件)6030150

(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(%,y)對應(yīng)的點，

并確定％與y的一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/U)；

(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為。元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P

關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價％為多少時，才能獲得最大日

銷售利潤.

［思路導(dǎo)引］(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點，選擇合適的模型，

從而用待定系數(shù)法求解；(2)日銷售利潤尸=每件利潤X銷量.

［解］(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出各點，如圖.

這些點近似地分布在一條直線上，猜想y與％之間的關(guān)系為一次

函數(shù)關(guān)系，

設(shè)犬%)="+僅且2,b為常數(shù))，

［60=30%+6,

則

30=40Z+b,

k=-3,

解得

0=150.

.?.*%)=—3%+150,經(jīng)檢驗，點(45,15),點(50,0)也在此直線上.

二.y與％之間的函數(shù)解析式為y=-3%+150(30W%W50).

(2)由題意，得P=(%-30)(-3%+150)=-31?+240x—4500=一

3(L40)2+300(30W%W50).

二.當(dāng)％=40時，P有最大值300.故銷售單價為40元時，日銷售

利潤最大.

|名師提醒A

在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實際問題建

立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的

單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用

料最省等問題.

［針對訓(xùn)練］

1.有I米長的鋼材，要做成如右圖所示的窗框：上半部分為半圓，

下半部分為四個全等的小矩形組成的矩形，則小矩形的長與寬之比為

多少時，窗戶所通過的光線最多？并求出窗戶面積的最大值.

［解］設(shè)小矩形的長為X,寬為y,窗戶的面積為5,

則由圖可得9%+心+6y=/,所以6y=/—（9+九）%,

JT冗2

所以？［（兀）龍］=

5=5乙%乙2+4%J>=5%2+/—9+

36+兀236+兀（2/、

——^+/=一看『存K

要使窗戶所通過的光線最多，只需窗戶的面積S最大.

由6)>0,得0Vx<4^.

因為。噌

片,21/一（9+兀）%/（18—7T）

所以當(dāng)'=訪？'=-6—二宿而,

r1?2Z2

即5=時，窗戶的面積S有最大值，且SmaxJ］，

y18—713（36十兀）、.

題型二用黑函數(shù)模型解決實際問題

【典例2］在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形

管道時，其流量R與管道半徑r的四次方成正比.

（1）寫出函數(shù)解析式；

（2）假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s,求該氣

體通過半徑為rem的管道時，其流量R的表達式；

（3）已知⑵中的氣體通過的管道半徑為5cm,計算該氣體的流量

（精度為1cm3/s）.

［解］⑴由題意得R=k?k是大于0的常數(shù)）.

（2）由r=3cm,/?=400cm3/s,得2?34=400,

..400

,,J81，

，流量R的表達式為氏=罌/.

O1

(3).?.當(dāng)r=5cm時，/?=VTX54^3086(cm3/s).

O1O1

名師提醒》

利用募函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟

(1)設(shè)出函數(shù)關(guān)系式.

(2)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式.

(3)根據(jù)題意，利用得出的函數(shù)關(guān)系式解決問題.

［針對訓(xùn)練］

2.某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券

等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益

與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分

別為0.125萬元和0.5萬元.

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額%的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配

資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？

［解］(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額》的函數(shù)關(guān)系式分別為人力

=hx(%20),8(%)=依\&(工20),

結(jié)合已知得｛l)=t=M,g(l)=g=%2,

所以/(%)=%(%NO),g(%)=1\/^(%20).

(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品％萬元，則投資風(fēng)險型產(chǎn)品(20—%)萬元，

依題意得獲得收益為y=/(x)+g(20-%)弋+、20-x(04W20),令

_2Q一,211

f=、20—x(0WW2小),則％=20—巴所以y=-—+/=—R。一2>

+3,所以當(dāng)，=2,即％=16時，y取得最大值，ymax=3.

故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元，風(fēng)險型產(chǎn)品4萬元時，可使投資

獲得最大收益，最大收益是3萬元.

題型三用分段函數(shù)模型解決實際問題

【典例3］提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交

通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度。(單位：千米/時)是車流

密度雙單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，

造成堵塞，此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車

流速度為60千米/時.研究表明：當(dāng)20WxW200時，車流速度。是

車流密度工的一次函數(shù).

(1)當(dāng)0WxW200時，求函數(shù)0(%)的表達式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測

點的車輛數(shù)，單位：輛/時)八%)=￥0(%)可以達到最大，并求出最大

值.(精確到1輛/時)

［思路導(dǎo)引］用待定系數(shù)法確定。(%)的表達式，再確定八%).

［解］(1)由題意：當(dāng)0?20時,uU)=60；當(dāng)20?00時，

設(shè)v(x)—ax+b,

1

a=

200。+8=0,3,

再由已知得20a+b=60,解待“

3?

故函數(shù)0a)的表達式為

[60,0W%W20,

0a)=<i

仁(200—%),204W200.

(2)依題意并由(1)可得

[60%,0WxW20,

/(%)=《1

^(200-x),20<%<200.

當(dāng)04W20時,段)為增函數(shù)，故當(dāng)％=20時，其最大值為60X20

=1200；

當(dāng)20W%W200時，4%)=%(200-%)

=一—1(^—200x)

LL*000。

=—3—1。。)~十，

所以當(dāng)x=100時，/(%)在區(qū)間［20,200］上取得最大值嗎笆

10000

綜上，當(dāng)％=100時,?x)在區(qū)間。200］上取得最大值心

33333,

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值

約為3333輛/時.

|名師提醒a

構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點

建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量

的取值區(qū)間，對每一區(qū)間進行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式.

［針對訓(xùn)練］

3.某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的

費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元,

則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自

行車就增加3輛.旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且

不超過20元，每輛自行車的日租金％元只取整數(shù)，用y表示出租所

有自行車的日凈收入(即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理

費后的所得).

(1)求函數(shù))=/(%)的解析式.

(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日

凈收入最多為多少元？

［解］(1)當(dāng)％W6時，)=50%—115,令50%—115>0,解得％>2.3.

又因為x￡N,%23,所以3W%W6,且X￡N.

當(dāng)6<xW20,且％￡N時，^=［50-3(x-6)U-115

=-3A:2+68%—115,

50x-115,3W%W6,%￡N,

綜上可知y=/U)=

—3/+68%—115,6<%W20,%￡N.

(2)當(dāng)3W%W6,且％￡N時，因為y=50%-115是增函數(shù),

所以當(dāng)x=6時，ymax=185元.

當(dāng)6<xW20,且％￡N時，y=-3%2+68x—115

=-31~口

3，

所以當(dāng)％=11時，)max=270元.

綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最

多，為270元.

課堂歸納小結(jié)

解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選

擇數(shù)學(xué)模型，這是解應(yīng)用問題的難點所在；

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化

為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

L隨堂鞏固驗收

1.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為:

電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存車

%輛次，存車費總收入為y元，則y與％的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=0.2M(XW4000)

B.尸0.5%(0?4000)

C.y=-0.1%+1200(0W%W4000)

D.y=0.1x+1200((XW4000)

(解析］由題意得y=0.3(4000一%)+0.2%=一0.1%+

1200.(0^x^4000)

I答案］C

2.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次

函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量

時的收入是()

A.310元

C.390元D.280元

［解析］由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800),(2,1300),可求得解析

式y(tǒng)=50(k+300(%20),當(dāng)％=0時，y=300.

［答案］B

3.下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個

數(shù)是()

①這幾年生活水平逐年得到提高；

②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；

③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年;

④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降

低，因而生活水平有較大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

I解析］由題意知，“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”

的差是逐年增大的，故①正確；“生活賽收入指數(shù)”在2014~2015

年最陡；故②正確；“生活價格指數(shù)”在2015?2016年最平緩，故

③不正確；“生活價格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上

升趨勢，故④正確.

［答案］C

4.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草

莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、

90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果

的總價達到120元,顧客就少付％元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，

李明會得到支付款的80%.

(1)當(dāng)％=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付

________元；

(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促

銷前總價的七折，則％的最大值為.

［解析］(1)%=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支

付(60+80)-10=130元.

(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，當(dāng)y<120元時，李

明得到的金額為)X80%,符合要求；當(dāng)y^l20元時，有&-

x)X80%NyX70%恒成立，即

因為t)min=15,所以工的最大值為15.

［答案］(1)130⑵15

5.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其

中AE=4米，CD=6米.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE

(1)設(shè)A/P=x米，PN=y米,將y表示成％的函數(shù)，求該函數(shù)的

解析式及定義域；

(2)求矩形BNPM面積的最大值.

,,?EQEF”…一一44

在△瓦*中，PQ=~FD,所以8—y二亍

所以y=—%+10,定義域為[4,8].

(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S,

則5=孫=%(10_，)=_；(%—10)2+50.

又問4,8],

所以當(dāng)x=8時，S取最大值48.

課后作業(yè)(二十四)

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1.某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購，也可以自己生產(chǎn).如果

外購，每個配件的價格是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成

本將增加800元，并且生產(chǎn)每個配件的材料和勞力需0.60元，則決

定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點（即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算）是（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

［解析］設(shè)生產(chǎn)％件時自產(chǎn)合算，由題意得1.1x2800+0.6%,解

得入21600,故選D.

［答案］D

2.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個

月生產(chǎn)某種商品％萬件時的生產(chǎn)成本（單位：萬元）為。（%）=++2%+

20.已知1萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生

產(chǎn)該商品數(shù)量為（）

A.36萬件B.22萬件

C.18萬件D.9萬件

［解析］:利潤￡（%）=20%一。（%）=—/%—18>+142,當(dāng)％=18

時，〃%）取最大值.

［答案］C

3.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公

2%,WO,%￡N,

式為y={2x+10,10<x<100,其中，％代表擬錄用人數(shù)，y

%2100,%￡N,

代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40

C.25D.130

［解析］若4%=60,則％=15>10,不合題意；若2x+10=60,

則％=25,滿足題意；若1.5%=60,則％=40<100,不合題意.故擬

錄用25人.

［答案］c

4.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分

別為￡1=5.06%—0.15d和￡2=2%,其中x為銷售量（單位：輛）.若該

公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為（）

A.45.606萬元B.45.6萬元

C.45.56萬元D.45.51萬元

［解析］依題意，可設(shè)甲地銷售％輛，則乙地銷售（15—%）輛，故

總利潤5=5.06%—0.15%2+2（15—%）=—0.15%2+3.06X+30（0WXW15）,

，對稱軸為直線％=10.2,又x￡N*,當(dāng)％=10時，Smax=45.6.

［答案］B

5.根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第％件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分

'c

-r,X<A,

鐘）為凡x）=<*（A,c為常數(shù)）.

京X/

已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30min,組裝第A件產(chǎn)品用時15

min,那么c和A的值分別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

［解析］由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為a=15,故組裝

第4件產(chǎn)品所需時間為9=30,解得c=60.將c=60代入玲=15,

A/4y/A

得A—16.

［答案ID

二、填空題

6.若等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù),

則它的解析式為.

I解析］由題意，得2%+y=20,...曠=20—2%「.>>0,「.20—2%>0,

2x>y,

.又二?三角形兩邊之和大于第三邊，，“c解得￡>5,

加=20.2%,

；.5<x<10,故所求函數(shù)的解析式為y=20—2<5<￥<10).

［答案］y=20—2式5<%<10)

7.某種型號的汽車緊急剎車后滑行的距離y(km)與剎車時的速度

%(km/h)的關(guān)系可以用y=分2來描述，已知這種型號的汽車在速度為

60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為。km.若一輛這種型號的汽車緊

急剎車后滑行的距離為3hkm,則這輛車的行駛速度為km/h.

bh

［解析］由題意得qX6()2=b,解得。=石面，所以y=不而爐.因

為y=3b,所以境江2=3。，解得％=-60仍(舍去)或％=6附，所以

這輛車的行駛速度是6(h「km/h.

［答案］60V5

8.某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)

計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降

低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進貨當(dāng)月銷售完的

前提下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為元/瓶.

［解析］設(shè)銷售價每瓶定為％元，利潤為y元，則y=(x-

(4-x、

3)400+-7TT-X40=80(%—3)(9一％)=—80。-6)2+720(%23),所以工

VUQ7

=6時，y取得最大值.

1答案］6

三'解答題

9.某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間*天)的函

數(shù)關(guān)系為：

7+20,0<r<25,

尸=<依N*)

〔一/+100,25W/W30.

設(shè)該商品的日銷售量。(件)與時間/(天)的函數(shù)關(guān)系為0=40—

?0<W30,，￡N*),求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷

售金額最大是第幾天？

［解］設(shè)日銷售金額為>(元)，則產(chǎn)P。，

-F+2(k+800,0</<25,

所以'一|產(chǎn)一140/+4000,25WW30."QN)

①當(dāng)0?25且時，y=一?—10)2+900,

所以當(dāng)1=10時，ymax=900(元).

②當(dāng)25W/W30且，￡N*時，y=?—70)2—900,

所以當(dāng)，=25時，ymax=1125(元).

結(jié)合①②得ymax=1125(元).

因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日

銷售金額達到最大.

10.醫(yī)院通過撒某種藥物對病房進行消毒.已知開始撒放這種藥

物時一，濃度激增，中間有一段時間，藥物的濃度保持在一個理想狀態(tài)，

隨后藥物濃度開始下降.若撒放藥物后3小時內(nèi)的濃度變化可用下面

的函數(shù)表示，其中％表示時間(單位：小時)，?x)表示藥物的濃度：

%2+4%+40(0<rW1),

?r)={43(l<xW2),

、一3%+48(24W3).

(1)撒放藥物多少小時后，藥物的濃度最高？能維持多長時間？

(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時，那么在撒放藥物

后，能否達到消毒要求？并簡要說明理由.

［解］⑴當(dāng)時,_/(的=一%2+4%+40=—(%—2)2+44,.\/(%)

在(0,1］上是增函數(shù)，其最大值為式1)=43；

凡x)在(2,3］上單調(diào)遞減，故當(dāng)24W3時，

2+48=42.

因此，撒放藥物1小時后，藥物的濃度最高為43,并維持1小

時.

(2)當(dāng)0<xWl時，令」(%)=41.75,即一(%—2>+44=41.75,解得

%=3.5(舍去)或％=0.5；

當(dāng)2<%<3時，令危)=41.75,即一3%+48=41.75,解得入Q2.08.

因此藥物濃度在41.75以上的時間為2.08—0.5=1.58小時，

二.撒放藥物后，能夠達到消毒要求.

綜合運用

11.擬定從甲地到乙地通話機min的電話費人團)=1.06-(0.50切］

+1),其中〃2>0,［,川是大于或等于m的最小整數(shù)(如［3］=3,［3.7］=4,

［5.2］=6),則從甲地到乙地通話時間為5.5min的通話費為()

A.3.71B.3.97

C.4.24D.4.77

［解析］5.5min的通話費為45.5)=1.06X(0.50X［5.5］+1)=

1.06X(0.50X6+1)=1.06義4=4.24.

［答案］C

12.某商人購貨，進價已按原價。扣去25