2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+3i1-2i，則A．1 B．i C．﹣i D．﹣12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)（4，﹣3），則cos(α-πA．-35 B．35 C．-3．（5分）設(shè)l是一條直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l∥α，則l∥β4．（5分）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．在鱉臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內(nèi)切球表面積為（）A．3π B．3π C．(3-22)π5．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，若T7＞T9＞T8，則（）A．q＜0 B．a(chǎn)1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T176．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)B，C，D三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)B1所在部分的體積為（）A．233 B．536 C．7．（5分）在△ABC中，P0是邊AB的中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有PB→?PCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．（5分）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”．它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且點(diǎn)M在AB線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足CM＝BM，若點(diǎn)P為△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-（多選）10．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期為π，則B．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“A＞B”是“a＞b”的充要條件 C．三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，則2a，2b，2c可能成等差數(shù)列 D．△ABC的斜二測(cè)直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則△ABC的面積為2（多選）11．（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說(shuō)法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD體積的最大值為16C．對(duì)于任意直徑CD，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)SB互為異面直線(xiàn) D．若∠ABD=π6，則異面直線(xiàn)SA與CD（多選）12．（5分）已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，記數(shù)列{aA．任意a1與正整數(shù)m，使得amam+1≥0 B．存在a1與正整數(shù)m，使得am+1C．任意非零實(shí)數(shù)a1與正整數(shù)m，都有am+1＜am D．若a1＝1，則S2022∈（1.5，4）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽(yáng)六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn)．在中國(guó)歷史上，歷代書(shū)畫(huà)家都喜歡在扇面上繪畫(huà)或書(shū)寫(xiě)以抒情達(dá)意．一幅扇面書(shū)法作品如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個(gè)同心圓上的?。ㄩL(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3．若某空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為14．（5分）已知等差數(shù)列{an}，a8＝8，a9=8+π315．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，動(dòng)點(diǎn)P在△A1B1C1內(nèi)（包括邊界上），且始終滿(mǎn)足BP⊥AB1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．16．（5分）已知向量a→，b→的夾角為π3，且a→?b→=3，向量c→滿(mǎn)足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）定義一種運(yùn)算：(a，b)c（1）已知z為復(fù)數(shù)，且(3，z)z（2）已知x，y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x，2)iy-(1，sin218．（12分）今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)帆船與沙灘排球項(xiàng)目比賽，屆時(shí)大量的游客來(lái)象打卡“北緯30度最美海岸線(xiàn)”．其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化．現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]來(lái)刻畫(huà)．其中正整數(shù)x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1時(shí)表示1月份，A和k是正整數(shù)，ω＞0．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的y＝f（x）的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過(guò)160人時(shí)，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游旺季？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn=2n+5SnSn+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求證：sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構(gòu)成三棱錐B1﹣ACD，且DE→=1（1）證明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF與平面AB1C所成角的正弦值．22．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：對(duì)任意n∈N（1）求證：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)Tn是數(shù)列{2n-1b2n-bn}

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+3i1-2i，則A．1 B．i C．﹣i D．﹣1【解答】解：z=1+3i1-2i=則z=-1-i故選：D．2．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)（4，﹣3），則cos(α-πA．-35 B．35 C．-【解答】解：由三角函數(shù)定義有sinα=-3所以cos（α-π2）＝sinα故選：A．3．（5分）設(shè)l是一條直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l∥α，則l∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯(cuò)誤；若α⊥β，l∥α，則l?β或l∥β或l與β相交，故B錯(cuò)誤；若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故C正確；若α∥β，l∥α，則l∥β或l?β，故D錯(cuò)誤．故選：C．4．（5分）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．在鱉臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內(nèi)切球表面積為（）A．3π B．3π C．(3-22)π【解答】解：因?yàn)樗拿骟wABCD四個(gè)面都為直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，設(shè)四面體ABCD內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，則VABCD所以r=3VABCDSABCD又因?yàn)樗拿骟wABCD的體積VABCD所以r=3VABCD故選：C．5．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，若T7＞T9＞T8，則（）A．q＜0 B．a(chǎn)1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T17【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，若T7＞T9＞T8，故1＞a8a9，a9＞1，a8＜1；所以a1?q8＞1，所以所以T16=a故選：D．6．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)B，C，D三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)B1所在部分的體積為（）A．233 B．536 C．【解答】解：如圖，取A1C1的中點(diǎn)E，連接DE，CE，又D是A1B1的中點(diǎn)，∴DE∥B1C1，且DE=12B1C又B1C1∥BC，且B1C1＝BC，∴DE∥BC，且DE=12∴過(guò)B，C，D三點(diǎn)的平面截該三棱柱的截面為梯形BCED，∴所求體積為：V=1=23故選：B．7．（5分）在△ABC中，P0是邊AB的中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有PB→?PCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解答】解：以AB所在直線(xiàn)為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝4，則A（﹣2，0），B（2，0），C（a，b），P（0，0），P0（x，0），所以PB→=（2﹣x，0），PC→=（a﹣x，b），P0B→因?yàn)楹阌蠵B→?PC→≥P0B→整理得x2﹣（a+2）x≥0恒成立，故Δ＝（a+2）2≤0，即a＝﹣2，此時(shí)BA⊥AC，所以∠A＝90°，所以△ABC為直角三角形．故選：A．8．（5分）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”．它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且點(diǎn)M在AB線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足CM＝BM，若點(diǎn)P為△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3【解答】解：因?yàn)镃=23π，AC所以由余弦定理可得AB=A由正弦定理可得ACsinB=AB又B為銳角，所以cosB=1-si設(shè)CM＝BM＝x，則CM2＝CB2+BM2﹣2CB?BMcosC，即x2解得x=275所以AM=3則S△AMC又cos∠AMC=A則∠AMC為銳角，所以△AMC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，則P為三角形的正等角中心，所以S=3所以|PA所以PA=-1=-1故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)b→=0→時(shí)，滿(mǎn)足a→∥b對(duì)于B，|（a→?b→）c→|＝|（|a→||b→|cos＜a→，b→＞|c→|）|≤|a→對(duì)于C，a→⊥(b→-c→)時(shí)，對(duì)于D，（a→?b→）?b→是數(shù)乘向量，與b→共線(xiàn)的向量，a→?(故選：BC．（多選）10．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期為π，則B．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“A＞B”是“a＞b”的充要條件 C．三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，則2a，2b，2c可能成等差數(shù)列 D．△ABC的斜二測(cè)直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則△ABC的面積為2【解答】解：對(duì)于A，f（x）＝sinωx+2cos（ωx+π3）＝（1-3）sinωx+cosωx=5-23sin（ωx+若f（x）的最小正周期為π，則ω=2ππ=對(duì)于B，△ABC中，A＞B得出a＞b，充分性成立，a＞b也能得出A＞B，必要性成立，是充要條件，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若2a，2b，2c成等差數(shù)列，則2?2b＝2a+2c，所以2＝2a﹣b+2c﹣b，所以a﹣b＝c﹣b＝0，即a＝b＝c，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，△ABC的斜二測(cè)直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則△ABC的面積為22S直觀(guān)圖＝22×34×22故選：ABD．（多選）11．（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說(shuō)法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD體積的最大值為16C．對(duì)于任意直徑CD，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)SB互為異面直線(xiàn) D．若∠ABD=π6，則異面直線(xiàn)SA與CD【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，∵SD在底面的射影為CD，而CD與AD夾角始終為銳角，∴AD與AD不垂直，∴根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知AD與SD不垂直，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD的高為SO＝1，當(dāng)AO⊥DO時(shí)，三角形AOD的面積取得最大值為12此時(shí)三棱錐S﹣AOD體積取得最大值為13×1對(duì)C選項(xiàng)，∵AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，∴根據(jù)異面直線(xiàn)的判定定理可知：對(duì)于任意直徑CD，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)SB互為異面直線(xiàn)，∴C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，若∠ABD=π6，則∠AOD=π∴SA=r×r×cosπ3-0=r22，又易知|SA→|∴cos＜SA∴異面直線(xiàn)SA與CD所成角的余弦值是24，∴D故選：BCD．（多選）12．（5分）已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，記數(shù)列{aA．任意a1與正整數(shù)m，使得amam+1≥0 B．存在a1與正整數(shù)m，使得am+1C．任意非零實(shí)數(shù)a1與正整數(shù)m，都有am+1＜am D．若a1＝1，則S2022∈（1.5，4）【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閍n+1所以（an+1﹣4）an+1＝（an﹣3）an，整理得an+1=(所以anan+1=(an對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)f（x）＝x2﹣4x，因?yàn)閍n+1可得f(a而f′（x）＝2x﹣4＝2（x﹣2），當(dāng)x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1≤3對(duì)于選項(xiàng)C：由A可知所有an同號(hào)，①當(dāng)a1＝0時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an＝0；②當(dāng)0＜a1＜2時(shí)，0＜an＜2，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＞f（an），又函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1＜an；③當(dāng)a1＜0時(shí)，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＜f（an），又函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1＞an，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閷?duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1當(dāng)a1＝1時(shí)，an≤（34）n﹣1所以S2022≤k=12022（34）k﹣1=1-(因?yàn)楫?dāng)a1＝1時(shí)，0＜an≤1，又a22-4解得a2＝2-2所以S2022＞S2＞3則S2022∈（1，5，4），故選項(xiàng)D正確；故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽(yáng)六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn)．在中國(guó)歷史上，歷代書(shū)畫(huà)家都喜歡在扇面上繪畫(huà)或書(shū)寫(xiě)以抒情達(dá)意．一幅扇面書(shū)法作品如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個(gè)同心圓上的?。ㄩL(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3．若某空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為122【解答】解：設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為30，圓心角為2π3設(shè)該圓錐的底面半徑為r，所以2πr=2π3×30因此該圓錐的高為h=3故側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為12，圓心角為2π3高為1230h=2因此若某幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為202故答案為：122．14．（5分）已知等差數(shù)列{an}，a8＝8，a9=8+π3【解答】解：等差數(shù)列{an}，a8＝8，a9所以公差d＝a9﹣a8=π則cosa故答案為：1．15．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，動(dòng)點(diǎn)P在△A1B1C1內(nèi)（包括邊界上），且始終滿(mǎn)足BP⊥AB1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是125【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意可知A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），B1（0，3，3），設(shè)P（x，y，3），則BP→=（x，y﹣3，3），AB1→=可得：﹣4x+3y﹣9+9＝0，即4x﹣3y＝0．直線(xiàn)A1B1的方程：3x+4y＝12，3x+4y=124x-3y=0，可得x=3625，所以D（3625，48動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段C1D，長(zhǎng)度為：(36故答案為：12516．（5分）已知向量a→，b→的夾角為π3，且a→?b→=3，向量c→滿(mǎn)足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)，且a【解答】解：設(shè)OA→=a→，∵a→?b∵向量c→滿(mǎn)足c∴C在線(xiàn)段AB上，設(shè)∠AOC＝α，則∠BOC=π則x=c→?a→|a∴34|c→|2≤3=|c=|c=3在△ABO中，由余弦定理有：|AB=|a∴|AB|≥6，當(dāng)且僅當(dāng)|∵a→?c→=∴S△OAB∴|OC|=6×32|AB|≤∴x2+y2﹣xy=3故答案為：278四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）定義一種運(yùn)算：(a，b)c（1）已知z為復(fù)數(shù)，且(3，z)z（2）已知x，y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x，2)iy-(1，sin2【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi，由題意可得，（3，z）[z4]＝3z+4z=3（a+bi）+4（a﹣＝7a﹣bi＝7﹣3i，故a＝1，b＝3，所以|z|=10（2）由題意可得，原式＝2y﹣sinx+（y+sin2x﹣23sin2x）i是實(shí)數(shù)，所以y+sin2x﹣23sin2x＝0，即y＝﹣sin2x+23sin2x=3（1﹣cos2x）﹣sin2＝﹣2sin（2x+π3）所以當(dāng)2kπ+π2≤2x+π3sin（2x+π3）單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12即單調(diào)增區(qū)間為[kπ+π12，kπ+7π12]（18．（12分）今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)帆船與沙灘排球項(xiàng)目比賽，屆時(shí)大量的游客來(lái)象打卡“北緯30度最美海岸線(xiàn)”．其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化．現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]來(lái)刻畫(huà)．其中正整數(shù)x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1時(shí)表示1月份，A和k是正整數(shù)，ω＞0．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的y＝f（x）的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過(guò)160人時(shí)，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游旺季？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．由此可得，T=2πω=12，得由規(guī)律②可知，f（x）max＝f（8）＝40（Acos2π+k）＝40A+40k，f（x）min＝f（2）＝40（Acosπ+k）＝﹣40A+40k，由f（8）﹣f（2）＝80A＝160，得A＝2；又當(dāng)x＝2時(shí)，f（2）＝40[2cosω（2+4）+k]＝80?cosπ+40k＝40，解得k＝3．綜上可得，f（x）＝80cos（π6x+（2）由條件，80cos（π6x+可得cos（π6x+2π3）＞12，則2kπ-π3＜π∴12k﹣6＜x＜12k﹣2，k∈Z．∵x∈[1，12]，x∈N*，∴當(dāng)k＝1時(shí)，6＜x＜10，故x＝7，8，9，即一年中的7，8，9三個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．19．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn=2n+5SnSn+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)【解答】解：（1）由Sn＝n2+4n﹣3，可得n＝1時(shí)，a1＝S1＝5﹣3＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+4n﹣3﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3，化簡(jiǎn)可得an＝2n+3（n≥2），所以an=2，n=1（2）bn=2n+5可得Tn=12-20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求證：sin2A+sin2B＞1．【解答】解：（1）由正弦定理有：asinA∴a=433∴a+b==4=4=23∵內(nèi)角A，B都是銳角，∴0＜A＜π20＜∴π3∴sin(A+π∴a+b∈(23∴a+b+c∈(2+23∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(2+23（2）∵sin2A+sin2B＞sin2C，由正弦定理得：a2+b2＞c2，由余弦定理：cosC=a∵C∈（0，π），∴C為銳角，∵A，B都是銳角，∴A+B＞π2，∴∴sinA＞sin(π∴sin2A+sin2B＞cos2B+sin2B＝1，∴sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構(gòu)成三棱錐B1﹣ACD，且DE→=1（1）證明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大?。唬?）求EF與平面AB1C所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接OB1，OD，因?yàn)榱庑蜛BCD，∠AB所以△ACB1，△ACD為等邊三角形，所以O(shè)B1⊥AC，OD⊥AC，又因?yàn)镺B1，OD?面OB1D，OB1∩OD＝O，所以AC⊥面OB1D，因?yàn)锽1D?面OB1D，所以AC⊥B1D．（2）因?yàn)镈E→=1所以FE→平方得，F(xiàn)E→即374=136×36+1在△B1CD中，由余弦定理得，B1D2＝CB12+CD2﹣2CB1?CDcos∠B1CD所以B1D＝9，由（1）可知，∠DOB1是二面角B1﹣AC﹣D的平面角，在等邊△AB1C中B1O=B在△B1OD中，由余弦定理得，cos∠B因?yàn)?＜∠B1OD＜π，所以∠B即二面角B1﹣AC﹣D的大小2π3（3）取B1E中點(diǎn)G，連接CG，則E是GD靠近G的三等分點(diǎn)，則EF∥CG，所以CG與平面AB1C所成角即為所成角，在平面DOB1中，作GK⊥B1O，因?yàn)锳C⊥面OB1D，GK?面OB1D，所以AC⊥GK，又因?yàn)锳C，B1O?面AB1C，AC∩B1O＝O，所以GK⊥面AB1C，所以∠GCK是CG與平面AB1C所成角，在△DOB1中，∠OB1D=∠OD所以GK=1在ΔDCB1中，由△DEF∽△DGC，得EFCG=DE所以sin∠GCK=GK所以EF與平面AB1C所成角的正弦值為33722．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：對(duì)任意n∈N（1）求證：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)Tn是數(shù)列{2n-1b2n-bn}【解答】解：（1）證明：由Sn2=an（Sn﹣1）得Sn2=（Sn﹣S化簡(jiǎn)得SnSn﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝0，由于Sn≠0，所以又有1+1即1S又1S1=（2）結(jié)合（1）可得1Sn=1+（n所以有b1+2b2+…+nbn＝（n﹣1）?2n+1+2，又有b1+2b2+…+nbn+（n+1）bn+1＝n?2n+2+2，二式相減得（n+1）bn+1＝（n+1）?2n+1，即bn+1＝2n+1，所以當(dāng)n≥2有bn＝2n，又b1＝2，符合上式，所以bn＝2n；（3）結(jié)合（2）可知2n-1b所以Tn＜1設(shè)Qn=1則14Qn=二式相減得34Qn=12+2×（即Qn=2又2n-122n+1＞0，所以Qn當(dāng)n→+∞，Qn→23所以Tn＜102022-2023學(xué)年浙江省紹興市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（0，1），則1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（3分）某組數(shù)據(jù)33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位數(shù)為（）A．46 B．49 C．50 D．513．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a(chǎn)→=-2b→ B．a(chǎn)→=24．（3分）已知m，n是兩條直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m∥β，m∥α，則α∥β C．若m⊥n，n?β，則m⊥β D．若m∥α，m⊥β，則α⊥β5．（3分）拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，有如下隨機(jī)事件：Ai＝“正面向上的硬幣數(shù)為i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有兩枚硬幣拋擲結(jié)果相同”，則下列說(shuō)法正確的是（）A．A0與B相互獨(dú)立 B．A3與B對(duì)立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B6．（3分）軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PB與AC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+8．（3分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，P是棱A1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=10，PD=2，則三棱錐P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得1分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3（多選）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會(huì)見(jiàn)證了諸暨珍珠開(kāi)拓創(chuàng)新、追求卓越的堅(jiān)實(shí)步伐．據(jù)統(tǒng)計(jì)，今年以來(lái)，諸暨珍珠線(xiàn)上線(xiàn)下銷(xiāo)售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷(xiāo)五洲四?！保痴渲樯虘?hù)銷(xiāo)售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營(yíng)收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)這四款商品的營(yíng)收占比，得到如下餅圖．同比第一季度，下列說(shuō)法正確的是（）A．今年商品A的營(yíng)收是去年的4倍 B．今年商品B的營(yíng)收是去年的2倍 C．今年商品C的營(yíng)收比去年減少 D．今年商品B，D營(yíng)收的總和與去年相比占總營(yíng)收的比例不變（多選）11．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C為90°．若M、N分別為A′B、CD的中點(diǎn)，則（）A．BE⊥A′N(xiāo) B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．點(diǎn)C到平面A′DE的距離為30（多選）12．（3分）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）函數(shù)f（x）＝sin2x的最小正周期為．14．（3分）某手機(jī)社交軟件可以實(shí)時(shí)顯示兩人之間的直線(xiàn)距離．已知甲在某處?kù)o止不動(dòng)，乙在點(diǎn)A時(shí)，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線(xiàn)從點(diǎn)A點(diǎn)走到點(diǎn)B，當(dāng)乙在點(diǎn)B時(shí)，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點(diǎn)間的距離為500米，則乙從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的過(guò)程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為米．15．（3分）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差為5，且滿(mǎn)足x1+x2+x3+x4＝4x5，則樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5+5的方差為．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分別為線(xiàn)段AC1、AA1的動(dòng)點(diǎn)，則△B1PQ周長(zhǎng)的最小值是四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）記a→、b→、c→（1）求?a（2）若a→?c18．（8分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為3，O1是上底面A1B1C1D1的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求三棱錐A﹣O1BC的體積；（2）當(dāng)O1是上底面A1B1C1D1的中心時(shí)，求AO1與平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且AE⊥DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用圖中邊長(zhǎng)關(guān)系DF＝BE+CE，證明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos220．（8分）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會(huì)志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運(yùn)會(huì)的重要保障．為配合亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績(jī)滿(mǎn)分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)，繪制成如圖頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績(jī)平均值x，眾數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.1）（2）乒乓球項(xiàng)目場(chǎng)地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過(guò)該項(xiàng)志愿服務(wù)選拔，需要通過(guò)抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫(xiě)有“中簽”和2張寫(xiě)有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率．21．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別在直線(xiàn)AC的兩側(cè)，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）當(dāng)cos∠CAD=23時(shí)，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π22．（10分）如圖，在正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分別為AA1，B1C1的中點(diǎn)．（1）證明：DE⊥平面BB1C1C；（2）設(shè)P，Q分別為棱AB，BC上的點(diǎn)，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ與△ABC的面積比為3：8，（i）證明：BP=34（ii）求α與平面ABB1A1所成角的正弦值．

2022-2023學(xué)年浙江省紹興市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（0，1），則1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（0，1），∴z＝i，∴1+iz=1+i故選：B．2．（3分）某組數(shù)據(jù)33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位數(shù)為（）A．46 B．49 C．50 D．51【解答】解：數(shù)據(jù)33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10個(gè)數(shù)，因?yàn)?0×0.8＝8，因此，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為49+512故選：C．3．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a(chǎn)→=-2b→ B．a(chǎn)→=2【解答】解：向量a→=(2，2)，對(duì)于A，-2b→=(-2，2)，a對(duì)于B，2b→=(2，-2)，a對(duì)于C，由于2×（﹣1）≠2×1，即a→與b→不共線(xiàn)，對(duì)于D，a→?b→=2×1+2×(-1)=0故選：D．4．（3分）已知m，n是兩條直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m∥β，m∥α，則α∥β C．若m⊥n，n?β，則m⊥β D．若m∥α，m⊥β，則α⊥β【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直線(xiàn)與平面垂直的判斷方法可得C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m∥α，則平面α存在直線(xiàn)l，滿(mǎn)足l∥m，由于m⊥β，則有l(wèi)⊥β，必有α⊥β，故D正確．故選：D．5．（3分）拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，有如下隨機(jī)事件：Ai＝“正面向上的硬幣數(shù)為i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有兩枚硬幣拋擲結(jié)果相同”，則下列說(shuō)法正確的是（）A．A0與B相互獨(dú)立 B．A3與B對(duì)立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B【解答】解：總的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A而P（A0∪B）＝0，P(A0)?P(B)=P(A3)+P(B)=2P（A2）＝P（B），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故選項(xiàng)D正確．故選：D．6．（3分）軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PB與AC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，則PA=PB=2過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC交底面圓于點(diǎn)D，連接PD，AD，如圖，則∠PBD是異面直線(xiàn)PB與AC所成角或其補(bǔ)角，顯然BD=22AB=PB=PD所以∠PBD＝60°，即異面直線(xiàn)PB與AC所成角的大小為60°．故選：C．7．（3分）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0的周期為2πω令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈所以x=kπ+π2-φω，即x=又ω＞0，|φ|＜π所以0＜φ＜π2，x1又x2＝4x1，所以3π-2φ2ω所以φ=π故選：A．8．（3分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，P是棱A1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=10，PD=2，則三棱錐P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π【解答】解：令長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的高為h，PD1＝x，于是x2+h2=2在△PAD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，則△PAD外接圓半徑r=12×PAsin45°因此三棱錐P﹣ABD外接球的球心O在線(xiàn)段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距離為d=1則球半徑R=r2+d2=5+4=3，所以三棱錐P﹣ABD外接球的表面積故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得1分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3【解答】解：對(duì)于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，sin6°-cos6°=2(2對(duì)于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正確；對(duì)于D，tan60°-tan15°1+tan60°tan15°=tan(60°-15°)=tan45°=1，故故選：BCD．（多選）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會(huì)見(jiàn)證了諸暨珍珠開(kāi)拓創(chuàng)新、追求卓越的堅(jiān)實(shí)步伐．據(jù)統(tǒng)計(jì)，今年以來(lái)，諸暨珍珠線(xiàn)上線(xiàn)下銷(xiāo)售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷(xiāo)五洲四?！保痴渲樯虘?hù)銷(xiāo)售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營(yíng)收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)這四款商品的營(yíng)收占比，得到如下餅圖．同比第一季度，下列說(shuō)法正確的是（）A．今年商品A的營(yíng)收是去年的4倍 B．今年商品B的營(yíng)收是去年的2倍 C．今年商品C的營(yíng)收比去年減少 D．今年商品B，D營(yíng)收的總和與去年相比占總營(yíng)收的比例不變【解答】解：設(shè)去年第一季度營(yíng)收為a億元，則今年第一季度營(yíng)收為2a億元，由扇形圖可得：A款珍珠商品去年第一季度營(yíng)收為0.1a億元，則今年第一季度營(yíng)收為0.4a億元，A正確；B款珍珠商品去年第一季度營(yíng)收為0.2a億元，則今年第一季度營(yíng)收為0.4a億元，B正確；C款珍珠商品去年第一季度營(yíng)收為0.5a億元，則今年第一季度營(yíng)收為0.8a億元，C錯(cuò)誤；因?yàn)樯唐稡，D今年第一季度營(yíng)收的總和占總營(yíng)收的比例為40%，商品B，D去年第一季度營(yíng)收的總和占總營(yíng)收的比例為40%，所以今年商品B，D營(yíng)收的總和與去年相比占總營(yíng)收的比例不變，D正確．故選：ABD．（多選）11．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C為90°．若M、N分別為A′B、CD的中點(diǎn)，則（）A．BE⊥A′N(xiāo) B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．點(diǎn)C到平面A′DE的距離為30【解答】解：連接AN交BE于點(diǎn)O，連接A′O，取BE的中點(diǎn)F，連接FM、FN，對(duì)于A選項(xiàng)，在正方形ABCD中，因?yàn)锳B＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，則∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，則∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，則有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因?yàn)锳′O∩ON＝O，A′O、ON?平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因?yàn)锳′N(xiāo)?平面A′ON，所以，BE⊥A′N(xiāo)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镸、F分別為A′B、BE的中點(diǎn)，所以，MF∥A′E，因?yàn)镸F?平面A′DE，A′E?平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因?yàn)镈E∥BC，BC＝2DE，則四邊形BCDE為梯形，又因?yàn)镕、N分別為BE、CD的中點(diǎn)，所以，F(xiàn)N∥DE，因?yàn)镕N?平面A′DE，DE?平面A′DE，則FN∥平面A′DE，因?yàn)镸F∩FN＝F，MF、FN?平面FMN，則平面FMN∥平面A′DE，因?yàn)镸N?平面FMN，故MN∥平面A′DE，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)锳O⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE=AB2則A′O=2在Rt△ADN中，cos∠DAN=AD所以，OD=O因?yàn)槠矫鍭′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE＝BE，A′O⊥BE，A′O?平面A′BE，所以，A′O⊥平面BCDE，因?yàn)镺D?平面BCDE，所以，A′O⊥OD，所以，A′D=A′O2翻折前，AB⊥AE，翻折后，A′B⊥A′E，若平面A′BE⊥平面A′DE，且平面A′BE∩平面A′DE＝A′E，A′B?平面A′BE，所以，A′B⊥平面A′DE，因?yàn)锳′D?平面A′DE，則A′B⊥A′D，事實(shí)上，A′B＝2，A′D=2155，BD=22，則A′B2+A′D2即A′B、A′D不垂直，假設(shè)不成立，故平面A′BE與平面A′DE不垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)镾△CDE=12CD?DE=12所以，VA′-CDE在△A′DE中，A′E＝DE＝1，A′D=2由余弦定理可得cos∠A′ED=A′所以，sin∠A′ED=1-co所以，S△A′ED設(shè)點(diǎn)C到平面A′ED的距離為d，由VC﹣A′ED＝VA′﹣CDE，即13所以，d=255故選：ABD．（多選）12．（3分）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°【解答】解：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，BE→=2ED→，∠對(duì)于A，ABAD=12AB?AEsin∠BAE對(duì)于B，AE→=AB對(duì)于D，過(guò)C作CF∥AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，由D為BC的中點(diǎn)，得AD是△BCF的中位線(xiàn)，則CF＝2AD＝AB＝AF，于是∠DAC=∠ACF=∠CAF=12∠DAF=對(duì)于C，由選項(xiàng)D知，∠EAC＝90°，假定∠ABC＝20°，則∠AEC＝40°，AE=BE=1cos40°=cos∠AEC=AECE=12，與cos40°＞cos60°=故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）函數(shù)f（x）＝sin2x的最小正周期為π．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin2x的最小正周期為2π2=故答案為：π．14．（3分）某手機(jī)社交軟件可以實(shí)時(shí)顯示兩人之間的直線(xiàn)距離．已知甲在某處?kù)o止不動(dòng)，乙在點(diǎn)A時(shí)，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線(xiàn)從點(diǎn)A點(diǎn)走到點(diǎn)B，當(dāng)乙在點(diǎn)B時(shí)，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點(diǎn)間的距離為500米，則乙從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的過(guò)程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為1507【解答】解：令甲的位置為點(diǎn)C，如圖，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，由余弦定理得cosA=AB2過(guò)C作CD⊥AB于D，所以所求距離的最小值為CD=ACsinA=400×3故答案為：150715．（3分）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差為5，且滿(mǎn)足x1+x2+x3+x4＝4x5，則樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5+5的方差為9．【解答】解：由題意可得，數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為x=方差s2又因?yàn)?x數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5+5的平均數(shù)x′=所以方差s=1=1＝9．故答案為：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分別為線(xiàn)段AC1、AA1的動(dòng)點(diǎn)，則△B1PQ周長(zhǎng)的最小值是4+2【解答】解：如下圖所示：將面AB1C1、面AA1C1沿著AC1延展為一個(gè)平面，將面AA1B1、面AA1C1沿著AA1延展為一個(gè)平面，連接BB1′，此時(shí)，線(xiàn)段BB1′的長(zhǎng)即為△B1PQ周長(zhǎng)的最小值，則AB1=由于AB1=AC=2，B1C1＝CC1，AC1＝AC1，則△AB1C1延展后，則四邊形AA1C1B1為矩形，因?yàn)锳A1＝A1B1′，AA1⊥A1B1′，則△AA1B1′為等腰直角三角形，所以∠A1AB1'＝45°，延展后，則∠B1AB1'＝135°，由余弦定理可得B1B1'=A故答案為：4+22四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）記a→、b→、c→（1）求?a（2）若a→?c【解答】解：（1）由已知|a→|=|所以，|a→-所以，cos?a因?yàn)?≤?a→，（2）由已知可得|a→|=|所以|2c18．（8分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為3，O1是上底面A1B1C1D1的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求三棱錐A﹣O1BC的體積；（2）當(dāng)O1是上底面A1B1C1D1的中心時(shí)，求AO1與平面ABCD所成角的余弦值．【解答】解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得：VA-（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)O1做平面ABCD的垂線(xiàn)，垂足為G，易知G為AC中點(diǎn)，故∠O1AC為AO1與平面ABCD所成線(xiàn)面角，又AG=1所以AO1與平面ABCD所成角的余弦值為：cos∠O19．（8分）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且AE⊥DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用圖中邊長(zhǎng)關(guān)系DF＝BE+CE，證明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos2【解答】（1）證明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，則DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，則DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，則BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依題意，四邊形BCDF是矩形，則DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13及（1）知，則tanα＝tanβ，而α，β為銳角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β＝∠BAD是銳角，于是所以sin2α+cos2β=2+20．（8分）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會(huì)志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運(yùn)會(huì)的重要保障．為配合亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績(jī)滿(mǎn)分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)，繪制成如圖頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績(jī)平均值x，眾數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.1）（2）乒乓球項(xiàng)目場(chǎng)地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過(guò)該項(xiàng)志愿服務(wù)選拔，需要通過(guò)抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫(xiě)有“中簽”和2張寫(xiě)有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5眾數(shù)為70，因?yàn)榍?組的頻率和為10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3組的頻率和為10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為m，則0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位數(shù)為69.4．（2）記3名男生分別為A，B，C，記2名女生分別為a，b，則所有抽簽的情況有：未中簽AB，中簽Cab；未中簽AC，中簽Bab；未中簽Aa，中簽BCb；未中簽Ab，中簽BCa；未中簽BC，中簽Aab；未中簽Ba，中簽ACb；未中簽Bb，中簽ACa；未中簽Ca，中簽ABb；未中簽Cb，中簽ABa；未中簽ab，中簽ABC，共有10種情況，其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽Aa，中簽BCb；未中簽Ab，中簽BCa；未中簽Ba，中簽ACb；未中簽Bb，中簽ACa；未中簽Ca，中簽ABb；未中簽Cb，中簽ABa；未中簽ab，中簽ABC，共7種，所以中簽者中男生比女生多的概率為71021．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別在直線(xiàn)AC的兩側(cè)，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）當(dāng)cos∠CAD=23時(shí)，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π【解答】解：（1）（i）設(shè)AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2在△ABC中，AB＝BC＝2，則底邊AC上的高h(yuǎn)=A所以△ABC的面積S△ABC（ii）設(shè)∠ADC＝θ，依題意，∠BAC=∠BCA=π則AD＝AC＝2ABcos∠BAC＝4sinθ，CD＝2ADcos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即sin2θ=12，而所以∠ABC=2θ=5π（2）連接BD，△ABD中，AD=2AB，由余弦定理得BD則BD＝AB，∠ABD=π2，設(shè)∠CBD=α(0＜α＜π2)，在△BCD于是AB＝BD＝2BCcos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，∠ABC=π由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC，則A=8sin2α+8(cos2α+1)+4=82當(dāng)且僅當(dāng)2α+π4=所以當(dāng)α=π8時(shí)，所以AC的最大值是2+2222．（10分）如圖，在正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分別為AA1，B1C1的中點(diǎn)．（1）證明：DE⊥平面BB1C1C；（2）設(shè)P，Q分別為棱AB，BC上的點(diǎn)，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ與△ABC的面積比為3：8，（i）證明：BP=34（ii）求α與平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】解：（1）延長(zhǎng)AA1，BB1，CC1交于點(diǎn)S，因?yàn)锳B＝2A1B1＝2AA1，所以三棱錐S﹣ABC為正四面體，連接SE并延長(zhǎng)，分別交BC，BC1于點(diǎn)F，G，則G為等邊△ABC的中心，連接AG，則AG⊥面SBC，所以SDSA所以DE∥AG，所以DE⊥面SBC．（2）（i）證明：延長(zhǎng)C1D，CA交于點(diǎn)H，若C1，D，P，Q均在平面α上，則H，P，Q共線(xiàn)，設(shè)AB＝2A1B1＝2AA1＝2，則AH＝1，過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交PQ于點(diǎn)M，設(shè)BQ＝k，則CQ＝2﹣k，AM=2-k3，所以APBP=AM所以S△PBQ＝S△ABC?k2?3k所以k2?3k所以k＝1，所以點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合，均為BC的中點(diǎn)，所以BPAB=3k2+2k=（ii）連接DP，C1Q，由題知DP∥C1Q，且DP=12，C1Q＝1，BC1＝連接AB1交DP于點(diǎn)N，易知B1N⊥DP，且B1N=34AB1=334，DPVB1-DPQ=VB﹣DPQ＝VQ﹣BDP=316VQ﹣ABS=HC1＝HF=25所以dB-所以dQ﹣DP=1所以S△DPQ=12?12所以13?3316所以dB設(shè)平面α與平面ABB1A1所成角為θ，所以sinθ=6所以平面α與平面ABB1A1所成角的正弦值為422022-2023學(xué)年浙江省溫州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知z∈C，i為虛數(shù)單位，若z?i＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i2．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，則a＝（）A．263 B．2 C．23．（5分）直線(xiàn)a，b互相平行的一個(gè)充分條件是（）A．a(chǎn)，b都平行于同一個(gè)平面 B．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等 C．a(chǎn)，b都垂直于同一個(gè)平面 D．a(chǎn)平行于b所在平面4．（5分）在四邊形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5．（5分）某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.4，則點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿(mǎn)足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．7．（5分）在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)球，事件A＝“第二次摸出的球是紅球”，事件B＝“兩次摸出的球顏色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 8．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E為棱AD上一點(diǎn)，且AE＝6，平面A1BE上一動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足AQ→?EQ→=0，設(shè)PA．34+26 B．34+22 C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z，其共軛復(fù)數(shù)為z，下列結(jié)論正確的是（）A．z?z=|z|2 B．z2=（多選）10．（5分）國(guó)家統(tǒng)計(jì)網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表1）所示，并繪制如圖所示的折線(xiàn)圖，則（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差 B．昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差 C．鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù) D．鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為10（多選）11．（5分）平面向量a→，b→，c→滿(mǎn)足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值為32 C．|a→-c→|+|（多選）12．（5分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝1，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿直線(xiàn)BF進(jìn)行翻折，將△CDE沿直線(xiàn)DE進(jìn)行翻折的過(guò)程中，則（）A．直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD可能垂直 B．直線(xiàn)AF與CE所成角可能為60° C．直線(xiàn)AF與平面CDE可能垂直 D．平面ABF與平面CDE可能垂直三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）如圖，由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，觀(guān)察兩個(gè)元件正?；蚴У那闆r，則事件M＝“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為．14．（5分）已知平面向量a→=(2，0)，b→=(1，1)，則b→15．（5分）“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則直線(xiàn)MN與平面ABCD所成角的正弦值為．16．（5分）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形），滿(mǎn)足AO＝3OC，AD的中點(diǎn)為E，BE＝3，則箏形ABCD的面積取到最大值時(shí)，AB邊長(zhǎng)為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）關(guān)于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0（a∈R）有兩個(gè)根x1，x2，其中x1（1）求a的值；（2）設(shè)x1，x2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．18．（12分）在菱形ABCD中，AE→=13AD→，（1）用a→，b→表示（2）若BD→?EF19．（12分）如圖，正方形ABCD是圓柱OO1的軸截面，EF是圓柱的母線(xiàn)，圓柱OO1的體積為16π．（1）求圓柱OO1的表面積；（2）若∠ABF＝30°，求點(diǎn)F到平面BDE的距離．20．（12分）現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB2762﹣2012中規(guī)定了10大類(lèi)食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚(yú)類(lèi)及其制品中汞的最大殘留量為1.0mg/kg，近日某水產(chǎn)市場(chǎng)進(jìn)口了一批冰鮮魚(yú)2000條，從中隨機(jī)抽取了200條魚(yú)作為樣本，檢測(cè)魚(yú)體汞含量與其體重的比值（mg/kg），由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計(jì)這200條魚(yú)汞含量的樣本平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)進(jìn)口的這批魚(yú)中共有多少條魚(yú)汞含量超標(biāo)；（3）從這批魚(yú)中顧客甲購(gòu)買(mǎi)了2條，顧客乙購(gòu)買(mǎi)了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購(gòu)買(mǎi)的魚(yú)汞含量有超標(biāo)的概率．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，已知bcosC﹣ccosB＝2a．（1）若c＝a，求B的大小；（2）若c≤2a，過(guò)B作AB的垂線(xiàn)交AC于D，求BC?BDS22．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝4，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，沿BE將△ABE翻折至△A'BE，使二面角A'﹣BE﹣C（1）當(dāng)AE＝3時(shí)，求證：A'B⊥CE；（2）當(dāng)線(xiàn)段A'C的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角C﹣A'B﹣E的正弦值．

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知z∈C，i為虛數(shù)單位，若z?i＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i【解答】解：z=1-i故選：B．2．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，則a＝（）A．263 B．2 C．2【解答】解：因?yàn)閎＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得，asinA則a=bsinA故選：A．3．（5分）直線(xiàn)a，b互相平行的一個(gè)充分條件是（）A．a(chǎn)，b都平行于同一個(gè)平面 B．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等 C．a(chǎn)，b都垂直于同一個(gè)平面 D．a(chǎn)平行于b所在平面【解答】解：當(dāng)a，b都平行于同一個(gè)平面時(shí)，兩直線(xiàn)可能異面，A錯(cuò)誤；當(dāng)a，b與同一個(gè)平面所成角相等時(shí)，直線(xiàn)a，b可能相交，B錯(cuò)誤；當(dāng)a，b都垂直于同一個(gè)平面時(shí)，直線(xiàn)a，b一定平行，C正確；當(dāng)a平行于b所在平面時(shí)，a，b也可能異面，D錯(cuò)誤．故選：C．4．（5分）在四邊形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形【解答】解：∵OA→∴OA→∴BA→∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選：D．5．（5分）某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.4，則點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：設(shè)這五個(gè)數(shù)為x1，x2，x3，x4，x5，則(x因?yàn)?x所以這五個(gè)數(shù)必有3個(gè)3，另外兩個(gè)為2或4．又x1+x2+x3+x4+x5＝15，所以這五個(gè)數(shù)為3，3，3，2，4，點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為1．故選：B．6．（5分）下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿(mǎn)足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．【解答】解：對(duì)于A：連接MB，NC，由圖可知，AB與平面MNP相交，故不滿(mǎn)足AB∥平面MNP，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如圖所示，G，H，F(xiàn)，E分別是所在棱的中點(diǎn)，連接NH，NG，GF，F(xiàn)M，EM則平面MNP和平面NGFMPH為同一平面，因?yàn)锳B∥EM，因?yàn)镋M與平面NGFMPH相交，所以不滿(mǎn)足AB∥平面MNP，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接AD，交MN與點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镺，P分別為AD，BD中點(diǎn)，所以PO∥AB，由線(xiàn)面平行的判定定理可知，AB∥平面MNP，故C正確；對(duì)于D：D，F(xiàn)，E分別是所在棱的中點(diǎn)，連接DN，NF，F(xiàn)M，ME，PE，DP，AC，平面DNFMEP與平面MNP為同一平面，取AC的中點(diǎn)為O，連接MO，由中位線(xiàn)定理可知，AB∥MO，因?yàn)镸O與平面MNP相交，所以不滿(mǎn)足AB∥平面MNP，故D錯(cuò)誤；故選：C．7．（5分）在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)球，事件A＝“第二次摸出的球是紅球”，事件B＝“兩次摸出的球顏色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 【解答】解：依題意，事件A，C對(duì)立，P（A）+P（C）＝1，故B正確；設(shè)盒子中有m個(gè)紅球，5﹣m個(gè)黃球，P(A)=P(A∩B)=25?14P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=710，故故選：C．8．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E為棱AD上一點(diǎn)，且AE＝6，平面A1BE上一動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足AQ→?EQ→=0，設(shè)PA．34+26 B．34+22 C．【解答】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)Q（x，y，z），長(zhǎng)方體外接球球心記為O，則O（3，4，3），A（6，8，0），B（0，8，0），E（6，2，0），A1（6，8，6），∴EQ→EA∵EQ→∴（x﹣6）2+（y﹣2）（y﹣8）+z2＝0，①又動(dòng)點(diǎn)Q在面A1BE上，所以可設(shè)EQ→則x-6=-6λy-2=6λ+6μz=6μ，即x=6-6λ將②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，③在三棱錐A﹣A1BE中，AE＝AB＝AA1＝6且AE，AB，AA1兩兩互相垂直，所以三棱錐A﹣A1BE為正三棱錐且底邊BE=62當(dāng)AQ⊥面A1BE時(shí)，|AQ→在正三棱錐A﹣A1BE中，由等體積法有13×1又|EQ先代入②再代入③有|EQ則6λ+μ=26，此時(shí)λ+μ當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，滿(mǎn)足EQ→?AQ→=0，|AQ→則λ+μ∈[0，2點(diǎn)Q到外接球球心距離為|OQ→將②代入④中整理得|OQ又2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，所以|OQ因?yàn)棣?μ∈[0，23]，所以當(dāng)λ+μ因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球半徑為12所以P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值為34+故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z，其共軛復(fù)數(shù)為z，下列結(jié)論正確的是（）A．z?z=|z|2 B．z2=【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z=a-bi對(duì)于A，z?z=（a+bi）?（a﹣bi）＝a2+b2，|z|2=(對(duì)于B，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，|z|2=(對(duì)于C，z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a≠0，故選項(xiàng)對(duì)于D，|z|+|z|=2a2+b2，|z+z故選：AD．（多選）10．（5分）國(guó)家統(tǒng)計(jì)網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表1）所示，并繪制如圖所示的折線(xiàn)圖，則（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差 B．昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差 C．鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù) D．鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為10【解答】解：對(duì)于A，昆明月平均氣溫的極差為21.6﹣9.3＝12.3，鄭州月平均氣溫的極差為28.9﹣2.9＝26＞12.3，故A正確；對(duì)于B，由折線(xiàn)圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更為集中，所以昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6，則昆明月平均氣溫的中位數(shù)為16.8+192鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，則鄭州的月平均氣溫的中位數(shù)為15.2+16.52鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?2×1所以鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為8.7+11.32=10，故故選：ACD．（多選）11．（5分）平面向量a→，b→，c→滿(mǎn)足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值為32 C．|a→-c→|+|【解答】解：不妨設(shè)a→由于|b→|=2，a→與則b→=(1，3設(shè)c→=(x，y)，則|(1-x，-y)|=|(1-x，3所以(1-x)2+(-y解得y=32或則c→=(x，3對(duì)于A，|c→|=對(duì)于B，當(dāng)c→=(x，32)時(shí)，設(shè)a→=OA則|a當(dāng)c→=(x，-32)時(shí)，設(shè)a→=OA則|a→-對(duì)于C，當(dāng)c→=(x，32)則|a由于點(diǎn)C在直線(xiàn)y=32上運(yùn)動(dòng)，則同理當(dāng)c→=(x，-32)，此時(shí)b對(duì)于D，當(dāng)c→=(x，3則c→當(dāng)