云南省玉溪市一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

PAGE16-云南省玉溪市一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．2．等于A．1 B．-1 C． D．3.如圖所示的中點(diǎn)D是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)則A.B.C.D.4.2024年新型冠狀病毒肺炎疫情對(duì)消費(fèi)飲食行業(yè)造成了很大影響，為了解A，B兩家大型餐飲店受影響的程度，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了2024年2月到7月A，B兩店每月營(yíng)業(yè)額，得到如圖所示的折線圖，依據(jù)營(yíng)業(yè)額折線圖可知，下列說(shuō)法不正確的是A.A店?duì)I業(yè)額的平均值超過(guò)B店?duì)I業(yè)額的平均值B.A店?duì)I業(yè)額在6月份達(dá)到最大值C.A店?duì)I業(yè)額的極差比B店?duì)I業(yè)額的極差小D.A店5月份的營(yíng)業(yè)額比B店5月份的營(yíng)業(yè)額小5．若,則下列不等式中正確的是A． B． C． D． 6．已知，且，則 A．B．C．D．7.函數(shù)的大致圖象為8.設(shè)是兩條不同的直線是平面不在內(nèi)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的A．m，則mn B．mn，則mC．m，mn，則n// D．m，n則m//n9.關(guān)于函數(shù)有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的一條對(duì)稱軸為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是A.①② B.①③ C.②③D.①②③10．已知函數(shù)有極大值和微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.－1＜a＜2B.－3＜a＜6C.a＜－3或a＞6D.a＜－1或a＞211.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)做傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則可以取857412.棱長(zhǎng)為1的正方體中，為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為 A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在中，若，則這個(gè)三角形的形態(tài)是________．14．“”為假命題,則實(shí)數(shù)的最大值為________．15.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為________．16.年月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)記著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而削減”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿意（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的________；經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，實(shí)數(shù)滿意，求的最值.18．（12分）已知點(diǎn)（n∈N*）在函數(shù)的圖像上，。（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）設(shè),記…，求。19．（12分）如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20．（12分）為了讓學(xué)生更多的了解“數(shù)學(xué)史”學(xué)問(wèn)，某中學(xué)高二年級(jí)舉辦了一次“追尋先哲的蹤跡，傾聽數(shù)學(xué)的聲音”的數(shù)學(xué)史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽活動(dòng)，共有800名學(xué)生參與了這次競(jìng)賽，為了解本次競(jìng)賽的成果狀況，從中抽取了部分學(xué)生的成果(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見下表．請(qǐng)你依據(jù)頻率分布表解答下列問(wèn)題：(1)填充頻率分布表中的空格；(2)規(guī)定成果不低于85分的同學(xué)能獲獎(jiǎng)，請(qǐng)估計(jì)在參與的800名學(xué)生中也許有多少名同學(xué)獲獎(jiǎng)？(3)在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中有一項(xiàng)計(jì)算見算法流程圖，求輸出的S的值．21.（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值；（2）對(duì)，假如函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，則稱函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．求證：函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．22（12分）已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿意.記的軌跡為曲線.（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；（2）過(guò)做直線交曲線于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿意，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.數(shù)學(xué)答案（理）選擇題BDCDDAABACAC 4.【答案】D．【解析】【分析】依據(jù)營(yíng)業(yè)額折線圖可得解【詳解】A店的2-7月的營(yíng)業(yè)額故A正確,依據(jù)營(yíng)業(yè)額折線圖可知B正確；A店?duì)I業(yè)額的極差，B店?duì)I業(yè)額的極差故C正確，A店5月份的營(yíng)業(yè)額45比B店5月份的營(yíng)業(yè)額35大，故D錯(cuò)誤，故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.10.【答案】C【解析】【分析】易得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,再依據(jù)二次函數(shù)的判別式求解即可.【詳解】由題有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故,解得或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.12.【答案】C．【解析】連接，，，則可證平面，故點(diǎn)軌跡圍成圖形為，又，，故選C．填空題13.【答案】等腰三角形【解析】【分析】利用公式，利用兩角和差的正弦公式，化簡(jiǎn)，并推斷三角形的形態(tài).【詳解】，，代入條件可得，即，即，所以三角形是等腰三角形.故答案為：等腰三角形15.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為________．【答案】由三視圖還原幾何體得到三棱錐，依據(jù)三棱錐體積公式可求得體積；利用勾股定理可求得最長(zhǎng)棱.【詳解】由三視圖還原幾何體，可知幾何體為如下圖所示的三棱錐則，平面，最長(zhǎng)棱故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三視圖求解幾何體體積和棱長(zhǎng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠精確的通過(guò)三視圖還原幾何體，屬于常考題型.16.年月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)記著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而削減”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿意（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的________；經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1).(2).（1）依據(jù)衰變規(guī)律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的令，則良渚古城存在的時(shí)期距今約在年到年之間故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)給定函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題，考查對(duì)于函數(shù)模型中變量的理解，屬于基礎(chǔ)題.解答題17.已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實(shí)數(shù)滿意，求的最值.（1）①當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解②當(dāng)時(shí)，，所以③當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解綜上，不等式的解集為···································5分（2）因?yàn)椋?，所以，故······················?0分（或者·······················10分18.已知點(diǎn)（n∈N*）在函數(shù)的圖像上，。（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）設(shè),記…，求。【答案】解：（1）∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，∴=，并且

即，整理得，∵，∴∴數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，∴，∵，∴，,

∴==19.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直得線線垂直.，再由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】解：（1）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由題設(shè)知≌，所以，故，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即所以可取得.設(shè)平面的法向量為，則即所以可取，得.于是.所以，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直，考查用空間向量法求二面角，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的兩個(gè)面的法向量，由法向量夾角求得二面角．20.為了讓學(xué)生更多的了解“數(shù)學(xué)史”學(xué)問(wèn)，某中學(xué)高二年級(jí)舉辦了一次“追尋先哲的蹤跡，傾聽數(shù)學(xué)的聲音”的數(shù)學(xué)史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽活動(dòng)，共有800名學(xué)生參與了這次競(jìng)賽，為了解本次競(jìng)賽的成果狀況，從中抽取了部分學(xué)生的成果(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見下表．請(qǐng)你依據(jù)頻率分布表解答下列問(wèn)題：(1)填充頻率分布表中的空格；(2)規(guī)定成果不低于85分的同學(xué)能獲獎(jiǎng)，請(qǐng)估計(jì)在參與的800名學(xué)生中也許有多少名同學(xué)獲獎(jiǎng)？(3)在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中有一項(xiàng)計(jì)算見算法流程圖，求輸出的S的值．【答案】解(1)①為6，②為0.4，③為12，④為12，⑤為0.24；(2)(QUOTE×0.24＋0.24)×800＝288，即在參與的800名學(xué)生中也許有288名同學(xué)獲獎(jiǎng)．(3)由流程圖得S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81，即輸出S的值為81.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值；（2）對(duì)，假如函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，則稱函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．求證：函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．【答案】（1）；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，推斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)恒成立，即證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，······················2分∴在遞增······················3分·····················4分（2）令······················6分······················7分·····················9分∵，∴∴在上遞增······················10分∴的圖像在的上方，∴在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．······················12分【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，1、比較簡(jiǎn)潔的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；2、綜合的不等式證明，要視察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.22（12分）已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿意.記的軌跡為曲線.（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；（2）過(guò)做