2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)1.4數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

*1.4數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

1.(2022湖南湘潭一中月考)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

心

11111—

++

------由?+9時(shí)，若已假設(shè)n=k(k22)為偶數(shù)時(shí)命題為真,

234n-1n

則還需要用歸納假設(shè)再證()

A.n=k+1時(shí)等式成立

B.n=k+2時(shí)等式成立

C.n=2k+2時(shí)等式成立

D.n=2(k+2)時(shí)等式成立

2.(2021安徽合肥肥東二中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

l+2+3+-+(2n+l)=(n+l)(2n+l)(n￡N+)時(shí)，從n=k到n=k+l,等式左邊需增添的項(xiàng)是

()

A.2k+2

B.2(k+1)+1

C.(2k+2)+(2k+3)

D.[(k+l)+l][2(k+l)+l]

3用數(shù)學(xué)歸納法證明(1一{)(1一-a)*…x(l-3)=噗(n12,n￡N+).

題組二利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明各++…+高＞l(n￡N+),在驗(yàn)證n=l時(shí)，左邊的代數(shù)式為

x

)

^

11

A-+-B

c34

D.1

5.對(duì)于不等式gi2+n<n+l(n￡N+),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下:

(1)當(dāng)n=l時(shí),不等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k21且k￡N+)時(shí)，不等式成立，即《修+k<k+l,

貝!J當(dāng)n=k+l時(shí),J(k+1)2+(k+1)

=加+3k+2</(k2+3k+2)+k+2

=J(k+2)2=(k+l)+l,

所以當(dāng)n=k+l時(shí),不等式成立.

則上述證法()

A.過(guò)程全部正確

B.n=l驗(yàn)證不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=k到n=k+l的推理不正確

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“l(fā)+g+$…+/Fn(n￡N+,n>l)”的過(guò)程中，從n=k(k￡N+,k>l)

到n=k+l時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為()

A.kB.2k

C.2k-1D.2kl

7?用數(shù)學(xué)歸納法證明:中沙…+福廣母凈…+Ar如￡N+).

題組三歸納一猜想一證明解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題

8.（2021江西上饒?jiān)驴迹┮阎獢?shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,a2=14,且an=Q+

n

ijSn-2-'（neN+）.

⑴求興祟畜

⑵由⑴猜想數(shù)列甥的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

9.（2021陜西西安鐵一中學(xué)期末）在數(shù)列｛aj中向］吊+產(chǎn)居.

ZQ九十3

(1)求出a2,a3,并猜想｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明⑴中的猜想.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B因?yàn)閚為正偶數(shù),所以當(dāng)n=k時(shí),下一個(gè)偶數(shù)為k+2.

2.C當(dāng)11=1<(1<￡弗,101)時(shí),左邊=1+2+3+-+(21<+1),當(dāng)n=k+l時(shí)，左邊

=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故選C.

3.證明⑴當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1-二,右邊=四=三,等式成立.

442x24

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k22,k￡N+)時(shí)，等式成立，

即(1-9(1-3°一訃…、(1-3號(hào)

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，

V4/\9/V16/\k2JL(k+l)2」2k

4]=空?㈡=*=空上即當(dāng)n=k+i時(shí),等式也成立.

(k+l)2」2k(fc+1)22(k+l)2(/c+l)

綜合⑴(2)知,對(duì)任意n22,n￡N+等式恒成立.

4.A

5.D在n=k+l時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.

6.B由題意知，當(dāng)n=k(k￡N+,k>D時(shí)，左邊=1+、[+…+白,當(dāng)n=k+l時(shí)，左邊

=1+J+3+―+白+：+]-+—+^^,所以從n=k至IIn=k+l時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為

232fe-l2k2fe+l2k+1-l

(2k+1-l)-(2k-l)=2k.

7.證明⑴當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1-三,左邊〉右邊，所以不等式成立.

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k￡N+)時(shí),不等式成立，

111-11111

即RM一+—+???+--->1-+--+…+——.

I232(251)22342k-l2k

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

1111

一十—+???+---+-----

I2323-1)2(2k+l)2

>.1-ITl-l-+???+1—1—+---1----

2342/c-l2k(2M)2

>.1111???H-1---.1--1-----1--------

2342/c-l2k(2k+l)(2A+2)

11

2(fc+l)-l2(A+1)'

即當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式也成立.

由⑴⑵知,不等式對(duì)任何n￡N+都成立.

8.解析⑴：an=(；+：)Sn-2n」(neN+),

當(dāng)n=l時(shí),ai=Si=(；+解得Si=2,則3=1;

當(dāng)n=2時(shí).,a2=C+%2-2=14,解得S2=16jij^=4;

當(dāng)n=3時(shí).,a3=S3-S2=(；+3s3-22,解得S3=72,則>9.

(2)由⑴猜想數(shù)歹唱｝的通項(xiàng)公式為>叭!1￡N+).

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=l時(shí)，由⑴可得;=1,結(jié)論成立.

當(dāng)n=2時(shí)，由⑴可得包=4,結(jié)論成立.

4

②假設(shè)當(dāng)n=k(k￡N+,k22)時(shí),$k2,

則當(dāng)n=k+l時(shí).,ak+i=Sk+i-Sk=(；+W)Sk+i-2k+i”,

即)Sk+i=Sk-2k=2卜?k2-2k=(k2-l)?2k,

則就Sk+i=(k+l)(k-l)?2k.

因?yàn)閗22,所以Sk+i=2(k+l>?2k=(k+l>?2k+1,

即黑=(k+lE

所以當(dāng)n=k+l時(shí),結(jié)論也成立.

由①②可知，對(duì)任何11￡^,包=112恒成立.

9.解析⑴:ai=；an+1

2an+3

猜想：a=—(nGN+).

nn+5

⑵證明:①當(dāng)n=l時(shí),ai=W=上,猜想成立，

21+