2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊同步練習-第二章 函數(shù)復習提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊

第二章函數(shù)

本章復習提升

易混易錯練

易錯點1忽略函數(shù)的定義域致誤

2

1.函數(shù)取)=」是()

%+1

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

2.(2021天津第二南開學校期中)已知f(x)是定義域為(-LD的奇函數(shù)，而且f(x)是

減函數(shù)，如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么實數(shù)m的取值范圍是()

A(l，|)

C.(l,3)D.(|,+8)

3.(2021遼寧大連育明高中期中)函數(shù)f(x)=，-%2+2x+3的單調(diào)遞增區(qū)間

為.

易錯點2忽略分段函數(shù)自變量的范圍致誤

((%+1產(chǎn)X<-1,

4.(2020黑龍江哈三中段測)已知函數(shù)f(x)=2X+2,-1<X<1,若峋>1廁實

>1,

數(shù)a的取值范圍是.

4

5.(2020安徽六安第一中學期中)若函數(shù)f(x)=hfna)：x，在R上為增

k(2a-l)x+a-lfx>0

函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為.

6.(2022山西朔州一中月考)已知max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，例如

maxQ,2,3}=3,若函數(shù)f(x)=max{-x2+4,-x+2,x+3}廁f(x)的最小值為.

易錯點3混淆"單調(diào)區(qū)間"與"在區(qū)間上單調(diào)"致誤

7.已知函數(shù)f(x)=x2+2x-3的單調(diào)遞減區(qū)間為［2-1］,單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,4］廁f(x)

的值域是.

8.已知函數(shù)f(x)=|2x+a|.

⑴若f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為⑶+8),求實數(shù)a的值;

⑵若f(x)在區(qū)間［3,+8)上是增函數(shù)求實數(shù)a的取值范圍.

易錯點4忽略對參數(shù)取值范圍的討論致誤

9.(2021山東臨沂期中)已知函數(shù)f(x)=x2-kx-8在定義域［5,10］內(nèi)是單調(diào)函數(shù).

(1)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)k,使函數(shù)f(x)的最小值為7?若存在，求出k的值;若不存在，說明

理由.

思想方法練

一、數(shù)形結(jié)合思想

1.(2020江西師大附中期中)已知f(x)=3-2岡,g(x)=x2-2x,F(x)二腮公鄴R

則F(x)的最值是()

A.最大值為-3,最小值為-1

B.最大值為7-2近，無最小值

C.最大值為3,無最小值

D.既無最大值，又無最小值

2.(2022安徽六安一中月考)已知函數(shù)之；若f(3-a2)<f(2a)廁實數(shù)a

的取值范圍是.

3.已知偶函數(shù)f(x)與奇函數(shù)g(x)的定義域都是［-2,2］,它們在［0,2］上的圖象如圖所

示，則使關于x的不等式f(x>g(x)<0成立的x的取值范圍為.

4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)的圖象關于y軸對稱，當x>0時,

f(x)=x2-4x.

Q)求出f(x)的解析式；

(2)畫出f(x)的圖象;

⑶若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m有四個交點，求m的取值范圍.

二、分類討論思想

，七%2+x+］XVt

5.已知函數(shù)f(x)=j一’且f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)廁實數(shù)t的取

、O

值范圍為

6.(2020山東臨沂羅莊期中)已知函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)2.

Q)討論f(x)的奇偶性,并說明理由;

⑵若f(x)>2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

⑶若f(x)在［0,1］上有最大值9,求實數(shù)a的值

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

7.若函數(shù)f(x)為定義在D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間使得當x￡［a,b］時，

f(x)的取值范圍恰為［a,b］廁稱函數(shù)f(x)是D上的正函數(shù).若函數(shù)g(x)=x2+m是定

義在(-8,0)上的正函數(shù)廁實數(shù)m的取值范圍為()

答案與分層梯度式解析

第二章函數(shù)

本章復習提升

易混易錯練

l.pf(x)=M=x,定義域為僅|xw-l},不關于原點對稱〃，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是

偶函數(shù).

2.A???6)是定義域為(-L1)的奇函數(shù)

/.-1<X<1,f(-x)=-f(x),」.f(m-2)+f(2m-3)>0可轉(zhuǎn)化為f(m-2)>-f(2m-3)=f(-

2m+3).

???f(x)是減函數(shù)-l<2m-3<l/

m-2<-2m+3,

.故選A.

3.答案［-1,1］

解析由-x2+2x+32得-1WXK3,所以函數(shù)f(x)的定義域為［-1,3］.函數(shù)

f(x)=4%2+2x+3可看作是由y=Vt,t=-x2+2x+3復合而成的，因為y=代在其定義域

上單調(diào)遞增，所以要求函數(shù)f(x)=y^E的單調(diào)遞增區(qū)間,只需求t=-x2+2x+3

的單調(diào)遞增區(qū)間即可,t=-x2+2x+3在區(qū)間［-L3］上的單調(diào)遞增區(qū)間為［-LU,所以

函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為［-LU.

易錯警示

解決函數(shù)問題時必須堅持"定義域優(yōu)先”的原則，需要注意的是求函數(shù)定義

域之前，不要對函數(shù)解析式進行變形，以免引起定義域的變化.

4.答案(-oo,-2)

解析當aV-1時,由f(a)=(a+l)2>l,解得a>0或a<-2,故a<-2;

當時油f(a)=2a+2>l,解得a*,故-#a<l;

當時油的)=>1,解得0。<1,故無解.

綜上,a￡(-8,-2)UO

5.答案［1,2］

I—>0,

解析根據(jù)題意得［Ao,解得l^a<2,

即實數(shù)a的取值范圍為［L2］.

易錯警示

對于分段函數(shù)的單調(diào)性問題，注意在臨界位置的函數(shù)值大小比較.

6.答案3

解析如圖,在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=-x2+4,y=-x+2,y=x+3的圖象,

則f(x)的圖象如圖中實線所示：

由圖知f(X)min=f(-l)=3.

7.答案［-4,21］

解前由題疊得，函數(shù)的定義域為卜2,4］.因為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=-l,

又［-2,4］,圖象開口向上，且區(qū)間端點4離對稱軸較遠，所以f(4)>f(-2),因為

f(4)=21,f(-l)=-4,所以3)的值域是［-4,21］.

易錯警示

單調(diào)區(qū)間是指一個函數(shù)中所有具有遞增或遞減性質(zhì)的區(qū)間;在區(qū)間上單調(diào)是

指函數(shù)在某一個區(qū)間上的單調(diào)性，二者有本質(zhì)區(qū)別，需要注意的是一個函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間不一定是一個區(qū)間，可能是多個區(qū)間.

8.解析Q)由題意知f(x)=『s<W

\2x+a,x>

???函數(shù)f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為K，+8),

.,.3=-|,解得a=-6.

(2)由⑴可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為愕,+8),

■「f(x)在⑶+8)上是增函數(shù)

.■--^<3,gpa>-6.

???實數(shù)a的取值范圍為［-6,+8).

9.解析⑴由題意可知函數(shù)f(x)=x2-kx-8的圖象的對稱軸為直線x符

因為函數(shù)f(x)=x2-kx-8在定義域［5,10］內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以夢5或拉10,

解得kwlO或挖20,

所以實數(shù)k的取值范圍是(-8,10］U［20,+oo).

⑵存在.當k<10時，函數(shù)f(x)=x2-kx-8在區(qū)間［5,10］上單調(diào)遞增,

因此函數(shù)在區(qū)間［5,10］上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;

當k>20時，函數(shù)f(x)=x2-kx-8在區(qū)間［5,10］上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)在區(qū)間［5,10］上的最小值是fQ0)=92-10k=7,解得k=5(舍去).

綜上存在k=2,使函數(shù)f(x)的最小值為7.

易錯警示

*￡含參數(shù)的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值，關鍵是要對函數(shù)圖象的

對稱軸與所給區(qū)間的位置關系進行討論，解題時防止忽視對參數(shù)的討論導致解題

錯誤.

思想方法練

1.8最)的圖象如圖中實線部分所示廁F(x)的最大值為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象

在x軸左側(cè)交點的縱坐標，無最小值.

作出F(x)的圖象，由F(x)的圖象可直觀看出匕(x)取得最值時需滿足的條件,采用了

數(shù)形結(jié)合思且

由配瞪=-2x得x=2-b,

又f(2-V7)=7-2夕,

故F(x)的最大值為7-2夕,無最小值，故選B.

2.答案(-3,1)

解析作出函數(shù)f(x)二口：口0°，的圖象如圖所示:

由圖象知f(x)為定義域R上的減函數(shù),

又f(3-a2)<f(2a),所以3-a2>2a,gpa2+2a-3<0,

解得所以實數(shù)a的取值范圍是(-3,1).

利用圖象得出f(x)的單調(diào)性,進而脫去不等式中的"f".

3答案(-1,0)U(1,2)

解析先通五題中鼠)和g(x)的圖象得到f(x)和g(x)異號的區(qū)凰再根據(jù)奇偶性

得到不等式的解集，采用了數(shù)形結(jié)合思想.

由題圖可知，當0<x<l由f(x)>0,g(x)>0/.f(x)-g(x)>>當l<x<2時

f(x)<0,g(x)>0,.-.f(x)-g(x)<0,/.^0<x<2時,f(x>g(x)<0的解集為(L2)，y=f(x)

是偶函數(shù)y=g(x)是奇函數(shù).3=%兇僅)是奇函數(shù)由奇函數(shù)的對稱性可得,當-

2<x<0時,f(x)-g(x)<0的解集為(-L0).綜上，不等式f(x)-g(x)<0的解集是(-

1,0)U(1,2).

4.解析⑴當x<0時,-x>0,f(-x)=x2+4x,

.「f(x)為偶函數(shù).才儀)二f(-x)=x2+4x,

???f(x)噌胃鼠。

(3)由(2)中圖象可知f(x)的最小值為f(-2)=f(2)=-4.

根據(jù)圖象直觀看出上f(x)的圖象與直線的交點仝數(shù)采用工數(shù)形結(jié)合思想

當函數(shù)y=f(X)的囹篆與直再y=m宥四個交點時,-4<m<6.

思想方法

…利用數(shù)形結(jié)合思想畫出函數(shù)圖象，可直觀得到函數(shù)的單調(diào)性、值域、奇偶性

以及不等式的解集等.

5.答案(-00,-1]

解析當t=0時，函數(shù)f(x)=￡其在定義域上不單調(diào)，所以two.

函數(shù)y=tx2+x+l(tw0)的圖象的對稱軸為直線x=0.由題知函數(shù)f(x)在定義域上

是單調(diào)遞增函數(shù).

當t大于零和小于零時，函數(shù)圖象的開口方向以及對稱軸和區(qū)間的位置關系不同，

所以需分類討論.

當t>0時，函數(shù)y=tx2+x+l在區(qū)間98,短上單調(diào)遞減,不符合題意；

當t<0時，函數(shù)y=tx2+x+l在區(qū)間(-8局上單調(diào)遞增要使函數(shù)f(x)在定義域上單

調(diào)遞增廁需t+信t3+t+l,即t34福解得心《

故實數(shù)t的取值范圍為(-8,一斗

6.解析⑴當a=0時,f(x)為偶函數(shù)當a/0時,f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

理由如下：

f(x)的定義域為R,關于原點對稱.

31>丕是雯會影蛆到I?的置偶性，班以需要分類討論.

當a=0時,f(x)=2x2+(x-0)2=3x，滿足f(-x)=f(x),又x￡R,所以f(x)為偶函數(shù)；

當a/0f(-x)=2x2+(-x-a)2=2x2+(x+a)2/2x2+(x-a)2,BPf(-x)/f(x),

同理f(-x)w-f(x),所以f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)f(x)=3x2-2ax+a2>2對任意實數(shù)x恒成立，

即3x2-2ax+a2-2>0對任意實數(shù)x恒成立，

只需△=4a2-12(a2-2)<0,解得av-遮或3>V3.

⑶f(x)=3x2-2ax+a2,其圖象的對稱軸為直線x3.

按照對稱軸和區(qū)間的位置關系進行討論，采用了分類討論思想.

①當袋今即aw|時,f(x)max=f(l)=a2-2a+3=9,

解得a=ls或a=l+?(舍去)；

②當?也即a>|時,f(x)max=f(0)=a2=9,

解得a