新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第40講 圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（含解析）

第40講圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（精講）題型目錄一覽①圓與圓的位置關(guān)系②圓的公共弦問題③圓的公切線問題④圓的綜合性問題一、知識點梳理一、知識點梳理一、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓SKIPIF1<0的半徑分別是SKIPIF1<0，（不妨設(shè)SKIPIF1<0），且兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0兩圓相交；SKIPIF1<0兩圓外切；SKIPIF1<0兩圓相離；SKIPIF1<0兩圓內(nèi)切；SKIPIF1<0兩圓內(nèi)含（SKIPIF1<0時兩圓為同心圓）設(shè)兩個圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)43210【常用結(jié)論】關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0．（2）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（3）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（4）求過圓SKIPIF1<0外一點SKIPIF1<0的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為SKIPIF1<0，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的SKIPIF1<0值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓與圓的位置關(guān)系策略方法幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長．(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．【典例1】已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0．試求SKIPIF1<0為何值時，兩圓SKIPIF1<0：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，由此可構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由圓SKIPIF1<0方程知：圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；由圓SKIPIF1<0方程知：圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；若兩圓內(nèi)切，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若兩圓外切，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若兩圓相切，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）若兩圓相交，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，兩圓相交.（3）若兩圓外離，則SKIPIF1<0，即

SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，兩圓外離.（4）若兩圓內(nèi)含，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，兩圓內(nèi)含.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）兩圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑和及半徑差之間的大小關(guān)系,得出兩圓的位置關(guān)系即可.【詳解】解:由題知,SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為3,因為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,圓心為SKIPIF1<0,半徑為4,所以兩圓心之間的距離為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以兩圓相交.故選:B2．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】B【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓SKIPIF1<0化成標準方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為外切，故選：B3．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則實數(shù)a的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或2 D．1或SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值可得結(jié)論．【詳解】由題可知圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：C．4．（廣西梧州市蒼梧中學(xué)2023屆高三5月份高考數(shù)學(xué)模擬試題）若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，過點SKIPIF1<0的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出兩個圓的圓心坐標，兩個半徑，利用兩個圓關(guān)于直線的對稱知識，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標為SKIPIF1<0，圓心到點C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0方程，解得SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故選：C．5．（東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.【詳解】由SKIPIF1<0且半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且半徑SKIPIF1<0，結(jié)合a大于0，所以SKIPIF1<0時，兩圓相交，則SKIPIF1<0，由選項可得A選項為SKIPIF1<0的充要條件；B、D選項為SKIPIF1<0的必要不充分條件；C選項為SKIPIF1<0的充分不必要條件；故選：C6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相外切，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由兩圓外切可得SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由圓C1與圓C2相外切，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；要使SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式，得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，∴ab的最大值為2．故選：A7．（2023高三專題練習(xí)）已知點P，Q分別為圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0為1；圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0為2；所以兩圓的圓心距SKIPIF1<0，兩圓外離，所以SKIPIF1<0，故選：A.8．（廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題）“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用內(nèi)含的定義以及充分而不必要條件的定義求解.【詳解】當兩圓無公切線時，兩圓內(nèi)含，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以當兩圓有公切線時SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0能推出圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切線，而圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切線不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切線”的充分而不必要條件，故選：A.9．（黑龍江省大慶實驗中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圓C上至少存在一點P，使得SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓O：SKIPIF1<0位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，從而求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】圓C：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，∵圓C上至少存在一點P，使得SKIPIF1<0，∴圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓O：SKIPIF1<0位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，又圓O：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．

10．（北京市通州區(qū)2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系內(nèi)，點O是坐標原點，動點B，C滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A為線段SKIPIF1<0中點，P為圓SKIPIF1<0任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意得A為圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一點，設(shè)圓SKIPIF1<0的圓心為M，從而得到SKIPIF1<0為圓O與圓M這兩圓上的點之間的距離，進而即可求解．【詳解】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且A為線段SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，所以A為圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一點，設(shè)圓SKIPIF1<0的圓心為M，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以圓O與圓M相離，所以SKIPIF1<0的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點之間的距離，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：依題意得SKIPIF1<0的幾何意義為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0這兩圓上的點之間的距離是解答此題的關(guān)鍵．二、多選題11．（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題）下列圓中與圓SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】求出圓SKIPIF1<0的圓心及半徑，求出圓心距，即可得出答案.【詳解】解：圓SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，對于A，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以兩圓相交，故A不符題意；對于B，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所以兩圓外切，故B符合題意；對于C，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所有兩圓內(nèi)切，故C符合題意；對于D，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所以兩圓外離，故D不符題意.故選：BC.12．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長為SKIPIF1<0C．圓C與圓SKIPIF1<0相外切D．若圓C上有且僅有兩點到直線SKIPIF1<0的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】BC【分析】先運用配方法將一般式方程化為標準方程，可確定其圓心個半徑;根據(jù)點到弦的距離可求出弦長；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1【詳解】A：將一般式配方可得：SKIPIF1<0，A錯；B：圓心到x軸的距離為2，弦長為SKIPIF1<0，B對；C：由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓C與圓SKIPIF1<0外切，C對；D：圓C上有且僅有兩點到直線SKIPIF1<0的距離為1，d表示圓心與直線的距離，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解之:SKIPIF1<0，D錯；故選：BC.13．（廣東省江門市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交B．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外離C．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】解：圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，故A正確，B錯誤；若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正確；若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以相交弦長SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：AC.14．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0和兩點SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能的取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】先求動點SKIPIF1<0的軌跡，再利用圓與圓的位置關(guān)系可求SKIPIF1<0的取值范圍，從而可得正確的選項.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為圓SKIPIF1<0（原點為圓心，半徑為SKIPIF1<0，不含SKIPIF1<0兩點），因為SKIPIF1<0分別在第二象限和第四象限，而圓SKIPIF1<0在第一象限，又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，故圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有公共點，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：CD.【點睛】思路點睛：直線與圓中的隱圓問題，大多需要考慮動點的軌跡（常為圓），從而把動點的存在性問題歸結(jié)圓與圓的位置關(guān)系問題.三、填空題15．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相內(nèi)切，則實數(shù)m的值為．【答案】0或2【分析】首先根據(jù)題中圓的標準方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相內(nèi)切求出SKIPIF1<0的值為.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以兩圓的圓心距SKIPIF1<0，又因為兩圓內(nèi)切，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：0或2.16．（黑龍江省齊齊哈爾市實驗中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）寫出一個與兩坐標軸和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0都相切的一個圓的標準方程為．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（寫出其中一個即可）【分析】做出圖像，即可求解.【詳解】圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，畫圖可知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都與坐標軸和圓SKIPIF1<0相切．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（寫出其中一個即可）17．（山東省棗莊市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）滿足圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交的一個a值為．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，只要在區(qū)間SKIPIF1<0即可）【分析】根據(jù)兩圓相交可求得圓心距大于半徑之差的絕對值，小于半徑之和，即可得SKIPIF1<0的范圍，從而可的答案.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因為兩圓相交，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以滿足圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交的一個a值可以為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.（答案不唯一，只要在區(qū)間SKIPIF1<0即可）18．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，此時直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截的弦長為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得SKIPIF1<0，接著計算SKIPIF1<0到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，即圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，即圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故所截弦長為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<019．（2023高三專題練習(xí)）若圓SKIPIF1<0上存在點P，且點P關(guān)于y軸的對稱點Q在圓SKIPIF1<0上，則r的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出圓SKIPIF1<0關(guān)于y軸的對稱圓SKIPIF1<0的方程，由題意知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有交點，由此可列出不等式，即可求得答案.【詳解】圓SKIPIF1<0關(guān)于y軸的對稱圓為圓SKIPIF1<0，其方程為SKIPIF1<0，根據(jù)題意，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有交點，又圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的圓心距為SKIPIF1<0，要滿足題意，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<020．（重慶市2024屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切，則圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可得：點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為d，如圖，SKIPIF1<0只能在直線SKIPIF1<0的左側(cè)，則SKIPIF1<0，

因為圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為1，依題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，故圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題21．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0、圓SKIPIF1<0外切，求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到SKIPIF1<0，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因為圓C與圓A、圓B外切，設(shè)C點坐標SKIPIF1<0，圓C半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是雙曲線的一支，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其軌跡方程為SKIPIF1<0.22．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切.(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點，求弦SKIPIF1<0的長.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分別求出兩圓的半徑及圓心，由兩圓外切可得圓心距等于兩圓半徑之和，注意方程SKIPIF1<0表示圓時SKIPIF1<0的范圍；（2）求出圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，再利用圓的弦長公式即可得出答案.【詳解】（1）解：由圓SKIPIF1<0，得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由圓SKIPIF1<0，得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）解：圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.題型二圓的公共弦問題策略方法兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【典例1】已知圓C的圓心為SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓SKIPIF1<0的公共弦的長．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為SKIPIF1<0，故圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圓心距為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即兩圓相交，將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相減得SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故兩圓的公共弦長為SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）過圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交點的直線方程為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再根據(jù)兩點式求出直線方程，化為一般式可得解.【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以過兩圓交點的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C2．（天一大聯(lián)考三晉名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期頂尖計劃聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B兩點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求得SKIPIF1<0.【詳解】將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相減得直線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B3．（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦恰為圓SKIPIF1<0的直徑，則圓SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，再由公共弦為直徑得圓心SKIPIF1<0在直線上，代入圓心坐標可求半徑，進而求出圓的面積.【詳解】兩圓方程相減得兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0，因為公共弦為圓SKIPIF1<0的直徑，所以圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得公共弦所在直線方程為：SKIPIF1<0，分別取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：A5．（2023高三專題練習(xí)）已知圓C過圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共點．若圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意求解圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦方程，再計算圓SKIPIF1<0中的公共弦長即可得圓C的直徑，進而求得面積即可【詳解】由題，圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的兩式相減，化簡可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故公共弦長為SKIPIF1<0，故圓C的半徑為SKIPIF1<0，故圓C的面積為SKIPIF1<0故選：B6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為切點，則直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的兩條切線，所以SKIPIF1<0，因此點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，因為點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，所以設(shè)SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的中點的橫坐標為：SKIPIF1<0，縱坐標為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0為直徑的圓的標準方程為：SKIPIF1<0，而圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即為直線SKIPIF1<0的方程，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點SKIPIF1<0，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.7．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過點SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把兩圓的方程作差即可得出公共弦所在直線方程，再利用直線系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直線方程SKIPIF1<0，由重要不等式求SKIPIF1<0的取值范圍．【詳解】由圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，兩式相減，得圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0時取等，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C．二、多選題8．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則（

）A．兩圓的圓心的距離為25B．兩圓相交C．兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0D．兩圓的公共弦長為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】A選項，求出兩圓的圓心，進而求圓心距；B選項，利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，確定是否相交；C選項，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項，利用C選項的結(jié)果，利用點到直線距離公式求出圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，進而利用垂徑定理求出公共弦長.【詳解】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心距SKIPIF1<0，A錯誤；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩圓相交，B正確；兩圓相減得：SKIPIF1<0，故兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0，C錯誤；圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長為SKIPIF1<0，D選項正確.故選：BD9．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0有兩條公切線B．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0C．圓SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圓SKIPIF1<0上的點到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過圓心，則弦為最長弦，不再存在比AB更長的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.【詳解】解：對于A，因為兩個圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對于B，將兩圓方程作差可得SKIPIF1<0，即得公共弦SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故B正確；對于C，直線SKIPIF1<0經(jīng)過圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，故圓SKIPIF1<0中不存在比SKIPIF1<0長的弦，故C錯誤；對于D，圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為2，圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0上的點到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD.10．（2023高三專題練習(xí)）圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線的方程為SKIPIF1<0B．線段AB中垂線方程為SKIPIF1<0C．公共弦AB的長為SKIPIF1<0D．P為圓SKIPIF1<0上一動點，則P到直線AB距離的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓SKIPIF1<0的圓心坐標后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計算弦長后可判斷C的正誤，求出SKIPIF1<0到直線的距離后可求動點到直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤．【詳解】對于選項A，因為圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對于選項B，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，則線段AB中垂線的斜率為SKIPIF1<0，即線段AB中垂線方程為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故B正確；對于選項C，圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正確；對于選項D，P為圓SKIPIF1<0上一動點，圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以P到直線AB距離的最大值為SKIPIF1<0，故D正確．故選：ABD．11．（安徽省A10聯(lián)盟2023屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，則（

）A．若SKIPIF1<0的半徑為1，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交弦所在的直線為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得的最短弦長為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】直接求SKIPIF1<0的半徑即可判斷A；兩圓方程相減即可得相交弦所在直線方程，從而判斷B；易知直線SKIPIF1<0過定點，當定點與圓心連線與SKIPIF1<0垂直時，可得弦長最小值，從而判斷C；先根據(jù)SKIPIF1<0的最小值確定兩圓的位置關(guān)系并求出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0的最大值，可判斷D.【詳解】由題意得，SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半徑為1，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩圓方程相減，得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交弦所在的直線為SKIPIF1<0，故B錯誤；易得直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則圓心SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0被SKIPIF