新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題10 復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

第第頁專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用一、知識速覽二、考點(diǎn)速覽知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念1、復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b.2、復(fù)數(shù)的分類：eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)數(shù)的模向量OZ→的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面；2、實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量SKIPIF1<0知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a，b，c，d∈R)，則：（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）SKIPIF1<02、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個重要結(jié)論（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.（3）若z為虛數(shù)，則|z|2≠z2.（4）(1±i)2＝±2i.（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式1、復(fù)數(shù)的輔角（1）輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對應(yīng)向量為OZ，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)z（2）輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作arg【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的。2、復(fù)數(shù)的三角形式定義：任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號連。3、復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當(dāng)a=0，b>0時，argz=【注意】每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯依的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等。4、復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：已知z1=r則z這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和。（2）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)z1，z2相乘時，分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量然后把向量OZ1繞O點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ2（如果θ2<0，就要把OZ1繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2），再把它的模變成原來的（3）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示推廣：z1=r特別的，當(dāng)z1=5、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：已知z1=則z這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.（2）兩個復(fù)數(shù)z1，z2相除時，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞O點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ2（如果θ2<0，就要把O一、復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a＋bi，（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實(shí)數(shù)0；（3）當(dāng)b≠0時，叫做虛數(shù)；（4）當(dāng)a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．【典例1】若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）為實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，若SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．4C．2D．SKIPIF1<0【典例3】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．RB．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部?！镜淅?】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．2D．3三、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對應(yīng)的．（2）一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)【典例1】復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【典例2】已知復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限四、虛數(shù)單位i的乘方計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質(zhì)：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可進(jìn)一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.【典例1】已知i為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0=.【典例2】若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0．五、復(fù)數(shù)方程的解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當(dāng)?≥0時，x=?b±b2?4ac2a=2\*GB3②（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax【典例1】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0.六、復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當(dāng)a=0，b>0時，argz=【典例1】（多選）已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0，則下列選項不是SKIPIF1<0的三角形式的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）把復(fù)數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0對應(yīng)的向量SKIPIF1<0分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0后，重合于向量SKIPIF1<0且模相等，已知SKIPIF1<0，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的代數(shù)形式和它的輻角分別是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易錯點(diǎn)1忽視復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是純虛數(shù)的充要條件點(diǎn)撥：對復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為純虛數(shù)SKIPIF1<0，往往容易忽略虛部不等于0.【典例1】若SKIPIF1<0為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的虛部為.【典例2】i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為純虛數(shù)，則SKIPIF1<0．易錯點(diǎn)2錯誤的理解復(fù)數(shù)比大小點(diǎn)撥：兩個復(fù)數(shù)不能直接比大小，但如果SKIPIF1<0成立，等價于SKIPIF1<0。【典例1】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為.【典例2】已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0