【青松雪】中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型05】半角旋轉(zhuǎn)模型

初中數(shù)學(xué)（北師大版）中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型05】半角旋轉(zhuǎn)模型主講人：王建林【模型介紹】半角旋轉(zhuǎn)模型：顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角，其中小角在大角內(nèi)部或外部旋轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致求解多條線段之間數(shù)量關(guān)系的模型．

它主要包含：“90°+45°”，“120°+60°”，“2α+α”等情況．

命題背景：多以等腰直角三角形或正方形為背景出題．

解決這類問題的常見方法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法或翻折法．

一般常使用旋轉(zhuǎn)法解決這類問題．【類型一】等腰直角三角形中的半角旋轉(zhuǎn)模型（內(nèi)部）【結(jié)論】BD2+CE2=DE2.【條件】AB=AC，∠BAC=90°，D、E在

BC

上，∠DAE=45°.【模型介紹】【類型二】等腰直角三角形中的半角旋轉(zhuǎn)模型（外部）【結(jié)論】BD2+CE2=DE2.【條件】AB=AC，∠BAC=90°，

D在

BC上，E在

BC

延長線上，

且∠DAE=45°.【模型介紹】【類型三】一般的等腰三角形中的半角旋轉(zhuǎn)模型【條件】AB=AC，D、E在

BC

上，且∠BAC=2∠DAE.【模型介紹】【類型四】正方形中的半角旋轉(zhuǎn)模型（內(nèi)部）【結(jié)論】①EF=BE+DF；②EA平分∠BEF；FA平分∠DFE；

③△CEF的周長為定值，等于2倍的正方形邊長.【條件】正方形

ABCD中，E

在

BC上，F(xiàn)在

CD上，∠EAF=45°.【模型介紹】【類型五】正方形中的半角旋轉(zhuǎn)模型（外部）【結(jié)論】DF=BE+EF.【條件】正方形

ABCD中，E

在

CB

的延長線上，F(xiàn)在

DC

的延長線上，

且∠EAF=45°.【模型介紹】【類型六】鄰等對補(bǔ)的四邊形中的半角旋轉(zhuǎn)模型【條件】在四邊形

ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E

在

BC

上，

F在

CD

上，且∠BAD=2∠EAF.【模型介紹】【結(jié)論】EF=BE+DF.【典型例題】【例1】如圖，在△ABC

中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC上的動點(diǎn)，作∠DAE=45°，點(diǎn)

D在點(diǎn)E的左側(cè)．(1)若

D、E在BC邊上時(shí)，試探究BD，DE，EC之間的數(shù)量關(guān)系；(2)在(1)的條件下，若BC=6，BD=2，求DE長；(3)若D、E在BC邊的延長線上時(shí)，前面(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明

理由．【典型例題】【例2】如圖1，四邊形

ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊

BC和

CD上，且∠EAF＝45°，

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決這類問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．

小明為了解決線段

EF，BE，DF之間的關(guān)系，將

△ADF繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后解決

了這個(gè)問題．(1)請直接寫出線段

EF，BE，DF之間的關(guān)系．(2)如圖3，等腰直角△ABD，∠BAD＝90°，AB＝AD，點(diǎn)

E，F(xiàn)在邊

BD上，且

∠EAF＝45°，請寫出

EF，BE，DF之間的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)

D，E在邊BC上，且∠DAE

＝60°，當(dāng)

BD＝10，EC＝16時(shí)，求

BC的長．【典型例題】【例3】(1)如圖1，在四邊形

ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

點(diǎn)

E、F分別在

AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，求出圖中線段

EF，AE，F(xiàn)C之間

的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，

且

BC＝7，DC＝13，CF＝5，求

BE的長．(3)如圖3，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)

E、F分別在

射線

CB、DC上，且2∠EAF＝∠BAD，當(dāng)

BC＝4，DC＝7，CF＝1時(shí)，求出△CEF

的周長．【例4】(1)如圖1，正方形

ABCD中，點(diǎn)

M、N分別是邊

BC、CD上的點(diǎn)，且∠MAN

＝45°，若將△DAN繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAG位置，可得：△MAN≌△MAG，

若△MCN的周長為6，則正方形

ABCD的邊長為

．(2)如圖2，四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)

M、N

分別在邊

BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝60°，請判斷線段

BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由．(3)如圖3，四邊形

ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，點(diǎn)

M，N分別在邊BC，

CD上，連接AM，MN，若△ABM是等邊三角形，AM⊥AD，DN＝

，請直

接寫出

MN的長．【典型例題】【典型例題】【例5】如圖，已知正方形

ABCD的邊長為

a，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，

且滿足：∠MAN=45°，連接

MC，NC，MN．(1)填空：與△ABM相似的三角形是_________，

BM·DN=_________；(用含

a的代數(shù)式表示)(2)求∠MCN的度數(shù)；(3)猜想線段

BM，DN和

MN之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【典型例題】【例6】小曼和同學(xué)們組成了學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形

ABCD，點(diǎn)

E、F、G、H分別在邊

AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG＝FH．”

為了解決這個(gè)問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：

方案一：過點(diǎn)

A作AM//HF交

BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)

B作BN

//EG交

CD于點(diǎn)N；

方案二：過點(diǎn)

A作AM

//HF交

BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)

A作AN

//EG交

CD于點(diǎn)N．(1)對小曼遇到的問題，請?jiān)诩?、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)加以證明；(如圖1)(2)如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設(shè)AB＝2，BC＝3，如圖2，

試探究

EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與

FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方

形

ABCD的邊長為2，F(xiàn)H的長為

，如圖3，試求

EG的長度．【課堂小結(jié)】【變式1】(1)如圖，正方形

ABCD

的邊長為4，點(diǎn)

E，F(xiàn)

分別在

AB，AD

上，若CE=5，

且∠ECF=45°，則

CF

的長為

.(2)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC=45°，

E

為CD

上一點(diǎn)，且∠BAE=45°，若CD=4，則△ABE的面積為

.(3)如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，點(diǎn)

K，N

分別在

AB，BC上，若△BKN的周長為

AB的2倍，則∠KDN的度數(shù)為

.【變式練習(xí)】【變式練習(xí)】【變式2】如圖①，四邊形

ABCD是正方形，點(diǎn)

M，N分別在邊

CD、BC上，且

∠MAN＝45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種

常用的方法．如圖①，將△ADM繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)

D與點(diǎn)

B重合，得到

△ABE，連接

AM、AN、MN．(1)試判斷

DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(2)如圖②，點(diǎn)

M、N分別在正方形

ABCD的邊

BC、CD的延長線上，∠MAN＝45°，

連接

MN，請寫出

MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)如圖③，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)

N，

M分別在邊

BC，CD上，∠MAN＝60°，直接寫出線段

BN，DM，MN之間數(shù)量關(guān)系．【變式練習(xí)】【變式3】(1)如圖1，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝

90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段

BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)

E，F(xiàn)分別在邊BC，

CD上，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．(3)正方形

ABCD中，點(diǎn)

E、F分別在

BC、CD上，且∠EAF＝45°，已知BE＝3，

DF＝2，求正方形

ABCD的邊長．(4)邊長為4的正方形

ABCD中，點(diǎn)

E、F分別在

AB、CD上，AE＝CF＝1，O為

EF的中點(diǎn)，動點(diǎn)

G、H分別在邊

AD、BC上，EF與

GH的交點(diǎn)

P在

O、F之間，

與

O、F不重合，且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求

m的取值范圍．【變式練習(xí)】【變式4】(1)如圖1，在正方形

ABCD中，E、F分別是

AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF

＝45°，探究圖中線段

EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，如果四邊形

ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，

且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求

BE的長．