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初中數(shù)學(xué)(北師大版)中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型09】隱圓最值問題主講人:王建林【模型介紹】隱圓問題:隱圓,隱圓,顧名思義,就是在題目所給的條件下隱藏著沒有畫出來的圓,需要我們把它給找出來.要解決這類問題,我們首先得弄明白以下三個問題:(1)圓的定義是什么?(2)圓周角定理的內(nèi)容及其推論有哪些?(3)把隱圓找出來后有什么用?【模型介紹】圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧(或等弧)所對的圓周角都相等,且都等于它所對圓心角的一半.圓周角定理推論:(1)直徑所對的圓周角是90°;(2)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);(3)圓的內(nèi)接四邊形的一個外角,等于它的內(nèi)對角.【模型介紹】【類型一】動點定長模型
(圓的定義)【類型二】直角圓周角模型
(圓周角定理推論的逆用)若動點
P
滿足:AP=AB=AC,則
B、C、P
在以
A
為圓心,AB
為半徑的圓上.若線段
AB
長度固定,動點
P
滿足:∠APB=90°,則
A、B、P
在以
AB
為直徑的圓上.【模型介紹】【類型三】定邊定角模型
(圓周角定理的逆用)若線段
AB
長度固定,動點
P
滿足∠APB
為定值,則點
P
的運(yùn)動軌跡為過
A、B、P
三點的圓.以AB
邊為底邊作等腰△AOB,使其頂角∠AOB=2∠APB,以
O
為圓心,OA為半徑畫圓,即為所求.【模型介紹】【類型四】四點共圓模型(圓周角定理推論的逆用)①若線段
AB
同側(cè)有兩個動點
P、C
滿足∠APB=∠ACB,則
A、B、C、P
四點共圓.②若線段
AB
異側(cè)有兩個動點
P、C
滿足∠APB+∠ACB=180°,則
A、B、C、P
四點共圓.同側(cè)相等,異側(cè)互補(bǔ),四點共圓【典型例題】【例1】(1)如圖,在邊長為2的菱形
ABCD
中,∠A=60°,M
是
AD
邊的中點,N
是
AB
邊上的一動點,將△AMN沿
MN
所在直線翻折得到△EMN,連接
EC,則
EC
長
度的最小值是______.(2)如圖,在矩形ABCD
中,已知AB=4,BC=8,點
O、P
分別是邊
AB、AD
的中
點,點
H
是邊
CD
上的一個動點,連接
OH,將四邊形OBCH
沿
OH
折疊,得到四
邊形
OFEH,連接
PE,則
PE
長度的最小值是______.(3)如圖,在矩形
ABCD
中,AB=4,BC=8,P、Q
分別是直線
BC、AB
上的兩個動
點,AE=2,將△AEQ
沿
EQ翻折形成△FEQ,連接
PF、PD,則
PF+PD
的最小值
是______.【典型例題】【例2】(1)如圖,E、F是正方形
ABCD的邊
AD上的兩個動點,滿足AE=DF,連接
CF交
BD于點
G,連接
BE交
AG于點
H,若正方形邊長為2,則線段
DH長度的最
小值是________.(2)如圖,在
Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點,
且滿足∠PAB=∠PBC,則線段
CP長的最小值是________.(3)如圖,在
Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,D是
BC上一動點,CE⊥
AD于
E,EF⊥AB交
BC于點
F,則
CF的最大值是________.【典型例題】【例3】(1)在
Rt△ABC
中,∠C=90°,AC=10,BC=12,點
D
為線段
BC
上一動點,
以CD
為⊙O直徑,連接
AD交⊙O于點
E,連
BE
,則
BE
的最小值為
.(2)如圖,已知
AB
是半圓
O
的直徑,點
C
在半圓
O
上,AB=10,AC=8,D
是弧
BC
上的一個動點,連接
AD,過點
C
作
CE⊥AD
于
E,連接
BE
,在點
D
移動的過程中,
BE的最小值為
.(3)如圖,已知
BE,CF
為△ABC
的高,且交于點
H,連接
AH
并延長交
BC
于點
D,
求證:AD⊥BC.(即證明三角形的三條高線交于一點)【典型例題】【例4】(1)如圖,等邊△ABC邊長為2,E、F
分別是
BC、AC
上兩個動點,且滿足:
BE=CF,連接AE、BF,交點為
P
點,則CP
的最小值為_____.(2)如圖,△ABC為等邊三角形,AB=3,若
P
為△ABC內(nèi)一動點,且滿足:∠PAB
=∠ACP,則線段PB
長度的最小值為_____.(3)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,則
BC
長度的取值范圍是_____.【典型例題】【例5】(1)如圖,在△ABC
中,AB=AC=2,BC=
,D
點是△ABC
所在平面內(nèi)的
一個動點,且∠BDC=60°,則△DBC
面積的最大值是為________.(2)如圖,正方形ABCD
的邊長為4,動點E、F
分別從點A、C同時出發(fā),以相同的
速度分別沿
AB、CD
向終點B、D
移動,當(dāng)點
E
到達(dá)點
B
時,運(yùn)動停止,過點
B
作
直線
EF
的垂線BG,垂足為點
G,連接AG,則AG
長的最小值為________.(3)如圖,在矩形
ABCD
中,AB=4,BC=3,E、F
分別為
AB、CD
邊的中點,動點
P
從點
E
出發(fā)沿
EA
向點
A
運(yùn)動,同時動點
Q
從點
F
出發(fā)沿
FC
向點
C
運(yùn)動,連接
PQ,過點
B
作
BH⊥PQ
于點
H,連接
DH,若點
P
的速度是點
Q
的速度的
2
倍,在
點
P
從點
E
運(yùn)動至點
A
的過程中,線段
DH
長度的最小值為________.【典型例題】【例6】(1)如圖,在△ABC
中,∠BAC=60°,AD⊥BC
于點
D,且AD=4,則△ABC
面積的最小值為
.(2)如圖,點
A
是直線
l外一點,AH⊥l于
H,AH=2,點
B、C
是直線
l上的動點,
且∠BAC=90°,則△ABC
面積的最小值為
,周長的最小值為
.(3)如圖,在正方形
ABCD
中,邊長為
4,M
是
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