1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系(3)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(3)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關(guān)系．2.掌握用向量方法證明有關(guān)空間線面垂直關(guān)系的方法步驟．活動方案思考???(1)類比空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？活動一探究用空間向量證明空間線面垂直關(guān)系的方法【解析】

直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直．(2)設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有如下結(jié)論：【解析】

填表略

平行垂直l1與l2

l1與α1

α1與α2

活動二利用空間向量證明空間中直線、平面的垂直【解析】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锽C＝1，∠BAC＝30°，利用向量方法證明線線垂直的方法：(1)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn)．求證：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.利用空間向量證明線面垂直的方法：(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，也用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論；(2)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論；(3)法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．【解析】

因?yàn)锳P⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，例3如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求證：平面ADE⊥平面ABE.1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.設(shè)平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，例4證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．活動三用空間向量證明一些常見定理【解析】

已知：如圖，l⊥α，l?β，求證：α⊥β.證明：取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.因?yàn)閘⊥α，所以u是平面α的法向量．因?yàn)閘?β，n是平面β的法向量，所以u⊥n，所以α⊥β.利用空間向量證明線面的垂直關(guān)系，顯得尤為方便．檢測反饋245131.(2022·惠州博羅期中)若直線l的方向向量為a＝(3，－1,2)，平面α的法向量為n＝(－6,2，－4)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.l⊥α B.l∥α

C.l?α D.l與α斜交【解析】

由題意得n＝－2a，則n∥a，l⊥α.【答案】A245132.已知v為直線l的一個方向向量，n為平面α的一個法向量，則下列選項中正確的是(

)A.v∥n?l∥α B.v∥n?l⊥α

C.v⊥n?l∥α D.v⊥n?l⊥α【解析】

已知v為直線l的一個方向向量，n為平面α的一個法向量，若v∥n，則l⊥α，反之也成立，故A錯誤，B正確；若v⊥n，則l∥α或l?α，故C，D錯誤．【答案】B24533.(多選)(2022·秦皇島期中)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則下列結(jié)論中不正確的是(

)124531【答案】AC24534.已知兩條互相垂直的直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，則實(shí)數(shù)x＝________.124535.如圖，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥