新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題20 立體幾何解答題分類練（解析版）

專題20立體幾何解答題分類練一、長(zhǎng)度、面積及體積的計(jì)算1.（2023屆安徽省安慶市高三第三次模擬）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)）．

(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：取線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.2.（2024屆江蘇省南通市如東高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)者和接班人具有重要戰(zhàn)略意義.為了使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，某普通高中組織學(xué)生到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某學(xué)生欲將一個(gè)底面半徑為20cm，高為40cm的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).(1)求該圓柱的側(cè)面積的最大值；(2)求該圓柱的體積的最大值.【解析】（1）設(shè)該圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0為SKIPIF1<0.由平面幾何知識(shí)知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以該圓柱的側(cè)面積的最大值是SKIPIF1<0.

（2）設(shè)圓柱的體積為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.3.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三第二次雙基檢測(cè)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.依題意，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.二、平行關(guān)系的證明4.（2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線為x，z軸，過P與SKIPIF1<0平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由圖可知，二面角SKIPIF1<0為鈍角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.5.（2024屆山西省忻州市名校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）如圖，在多面體ABCDE中，SKIPIF1<0平面BCD，平面SKIPIF1<0平面BCD，其中SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直角的等腰三角形，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【解析】（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镾KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面BCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ECD，所以SKIPIF1<0平面BCD.因?yàn)镾KIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四邊形ABFE為平行四邊形，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面BCD.（2）過點(diǎn)B作SKIPIF1<0，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面ACE的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設(shè)平面BDE的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設(shè)平面ACE與平面BDE的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.6.（2023屆四川省綿陽市涪城區(qū)南山中學(xué)高三仿真）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求AF的長(zhǎng)及四棱錐D－ABEF的體積．【解析】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABEF，AB，SKIPIF1<0平面ABEF，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面DCE的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，所以BG與平面DCE不平行；（2）設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；故SKIPIF1<0．此時(shí)梯形ABEF的面積SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．三、垂直關(guān)系的證明7.（2023屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬）如圖，在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：BDSKIPIF1<0CC1；(2)棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0若存在，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）證明:如圖所示，連接SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0為棱臺(tái)，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0假設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0存在，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0

設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由于二面角SKIPIF1<0為銳角，則點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.

8.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：SKIPIF1<0平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ADEF，所以SKIPIF1<0平面ABCD．（2）由（1）得SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖，

所以SKIPIF1<0，假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,設(shè)平面ABF的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF．9.（2024屆廣東仲元中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）如圖，在以SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的五面體中，面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0與二面角SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】（1）由正方形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸正方向，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸正方向，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸的正方向，SKIPIF1<0為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖：因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則由（1）可知SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即有SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.10.（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考）四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的大?。窘馕觥浚?）四邊形SKIPIF1<0為菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的大小為SKIPIF1<0．四、線面角的計(jì)算11.（2023屆河南省部分名校高三仿真模擬）如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在正六棱柱SKIPIF1<0中，因?yàn)榈酌鏋檎呅危許KIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為Q，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量.連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.12．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，平面SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0與棱SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．

(1)試用所學(xué)知識(shí)確定SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上的位置；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，延長(zhǎng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)即為點(diǎn)SKIPIF1<0．因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)處．

（2）因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0兩兩相互垂直，如圖，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．13．（2024屆湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：SKIPIF1<0．(2)若二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，G是線段PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．【解析】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0平面PEF．又∵SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，且為SKIPIF1<0，過點(diǎn)P作PO垂直于直線EF，垂足為O，∵SKIPIF1<0平面PEF，SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面PAB的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0得SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直線DG與平面PAB所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0．所以直線DG與平面PAB所成角的最大值為SKIPIF1<0．五、二面角的計(jì)算14.（2024屆新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上學(xué)期開學(xué)考試）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值.【解析】（1）證明：在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0.15．（2024屆江西省吉安市第三中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0．

(1)證明:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值是SKIPIF1<0?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）

因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）

取棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0兩兩垂直，故以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0,設(shè)面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的銳二面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)．故存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值是SKIPIF1<0．16．（2024屆江蘇省南京市第九中學(xué)2高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】（1）證明：連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是線段SKIPIF1