2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓(xùn)練【含解析】

8.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓(xùn)練【原卷版】1.直線m與平面α平行，且直線a?α，則直線m和直線a的位置關(guān)系不可能為（）A.平行 B.異面C.相交 D.沒有公共點2.如果直線a?平面α，直線b?平面β，且α∥β，則a與b（）A.共面B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線3.如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，線段AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.平行C.異面 D.無法判斷4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝12AA1，E是棱DD1的中點，則直線A1C1與AE所成的角的大小為（多選）（2024·蘇州第一次模擬）下列命題正確的是（）A.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直B.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線平行C.過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行D.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直平面基本事實的應(yīng)用1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是（）A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC2.在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P（）A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，平面BB1D1D與A1C交于點M.求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點；（3）B，M，D1三點共線.空間兩條直線的位置關(guān)系考向1空間兩條直線位置關(guān)系的判斷【例1】（1）已知α，β，γ是三個平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線b與直線c可能是異面直線B.直線a與直線c可能平行C.直線a，b，c必然交于一點（即三線共點）D.直線c與平面α可能平行（2）在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（）A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線考向2異面直線所成的角【例2】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A.15 B.5C.55 D.1.（變條件）若將本例中條件“AA1＝3”變?yōu)椤癆A1＝2”，其他條件不變，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.2.（變條件，變設(shè)問）若將本例中條件“AA1＝3”變?yōu)椤爱惷嬷本€A1B與AD1所成角的余弦值為910”，則AA1＝1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝2，則異面直線A1C與AD所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°空間幾何體的交線與截面問題考向1空間幾何體的交線問題【例3】（2020·新高考Ⅰ卷16題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.考向2空間幾何體的截面問題【例4】（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，DM＝13DD1，BN＝13BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是（A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為.1.（多選）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為332.（2024·南京六校聯(lián)考）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為32，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，P是線段A1B上的動點，則C1P與平面D1EF的交點Q的軌跡長為.1.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能2.在三棱錐P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（）A.30° B.45°C.60° D.90°3.已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件4.如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有（）A.①③ B.②③C.②④ D.②③④5.（多選）下列四個命題中是真命題的為（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l6.（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面D.B，B1，O，M共面7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為.8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中：（1）求異面直線AC與A1D所成角的大??；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求異面直線A1C1與EF所成角的大小.9.（2024·菏澤模擬）如圖，已知P，Q，R分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中點，由點P，Q，R確定的平面β截該正方體所得截面為（）A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形10.《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑.”如圖①所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵.如圖②所示的塹堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM所成角的余弦值為（）A.913 B.8C.159 D.11.（多選）如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是（）A.GH與EF平行 B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角 D.DE與MN垂直12.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為.13.（2024·蘭州模擬）如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為.14.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點.（1）求四棱錐O-ABCD的體積；（2）求異面直線OC與MD所成角的正切值.15.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，以C1為球心，7為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長為.16.如圖，AB，CD是圓錐面的正截面（垂直于軸的截面）上互相垂直的兩條直徑，過CD和母線VB的中點E作一截面.已知圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為2π，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說明截線CED是什么曲線.8.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓(xùn)練【解析版】1.直線m與平面α平行，且直線a?α，則直線m和直線a的位置關(guān)系不可能為（）A.平行 B.異面C.相交 D.沒有公共點解析：C直線m與平面α平行，且直線a?α，則直線m和直線a的位置關(guān)系可能平行，可能異面，即沒有公共點，但不可能相交，故選C.2.如果直線a?平面α，直線b?平面β，且α∥β，則a與b（）A.共面B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線解析：Dα∥β，說明a與b無公共點，∴a與b可能平行也可能是異面直線.3.如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，線段AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.平行C.異面 D.無法判斷解析：C由題意，將正方體展開圖還原為正方體，如圖所示，在正方體中找到對應(yīng)的AB、CD兩條直線，由圖可知，AB與CD異面.故選C.4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝12AA1，E是棱DD1的中點，則直線A1C1與AE所成的角的大小為答案：π解析：如圖，連接AC，EC，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，顯然A1C1∥AC，則∠EAC為直線A1C1與AE所成的角，由E為DD1的中點，且AD＝12AA1，則DE＝AD＝DC，即AC＝AE＝CE，故△ACE為等邊三角形，則∠EAC＝π（多選）（2024·蘇州第一次模擬）下列命題正確的是（）A.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直B.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線平行C.過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行D.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直解析：AC由結(jié)論可得A、C正確.平面基本事實的應(yīng)用1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是（）A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC解析：C由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上.又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2.在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P（）A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上解析：B如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，平面BB1D1D與A1C交于點M.求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點；（3）B，M，D1三點共線.證明：（1）如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點.（3）連接BD1，∵BD1與A1C均為正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線，故BD1與A1C相交，則令BD1與A1C的交點為O，則B，O，D1共線，∵BD1?平面BB1D1D，故A1C與平面BB1D1D的交點為O，即O與M重合，故B，M，D1三點共線.空間兩條直線的位置關(guān)系考向1空間兩條直線位置關(guān)系的判斷【例1】（1）已知α，β，γ是三個平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線b與直線c可能是異面直線B.直線a與直線c可能平行C.直線a，b，c必然交于一點（即三線共點）D.直線c與平面α可能平行（2）在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（）A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線答案：（1）C（2）D解析：（1）因為α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O(shè)∈α，O∈β，O∈γ，因為β∩γ＝c，所以O(shè)∈c，所以直線a，b，c必然交于一點（即三線共點），A、B錯誤，C正確；D選項，假設(shè)直線c與平面α平行，由O∈c，可知O?α，這與O∈α矛盾，故假設(shè)不成立，D錯誤，故選C.（2）如圖，在底面半徑為1的圓柱OO1中，母線AB＝2，BC＝2，E是BC的中點，則BE＝2，因為F是AB的中點，又AB＝2，則BF＝1，AE＝AB2＋BE2＝4+（2）2＝6，CF＝BC2＋BF2＝4+1＝5，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，所以O(shè)F∥AC，所以AC與OF是共面直線，若AC與EF是共面直線，則O，F(xiàn)，A，考向2異面直線所成的角【例2】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A.15 B.5C.55 D.解析：C如圖，連接BD1，交DB1于點O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角.因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝AD2＋DD12＝2，DM＝AD2＋（12AB）2＝52，DB1＝AB2＋AD2＋DD12＝5.所以O(shè)M＝12AD1＝1，OD＝12DB1.（變條件）若將本例中條件“AA1＝3”變?yōu)椤癆A1＝2”，其他條件不變，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.答案：4解析：連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1（或其補角）為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1，由AB＝BC＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，∴cos∠A1BC1＝A1B2＋BC12－A1C12.（變條件，變設(shè)問）若將本例中條件“AA1＝3”變?yōu)椤爱惷嬷本€A1B與AD1所成角的余弦值為910”，則AA1＝答案：3解析：設(shè)AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝2，A1B＝BC1＝t2+1.∴cos∠A1BC1＝A1B2＋BC12－A1C121.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交解析：D法一（反證法）由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條相交.法二（模型法）如圖①，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A、B不正確；如圖②，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝2，則異面直線A1C與AD所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：C如圖，取B1C1的中點D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1（或其補角）就是異面直線A1C與AD所成的角，連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，由已知可得A1D1＝1，D1C＝3，A1C＝2，∵A1C2＝A1D12＋D1C2，∴△A1D1C為直角三角形且∠A1D1C＝90°，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝3，∴∠CA1D1空間幾何體的交線與截面問題考向1空間幾何體的交線問題【例3】（2020·新高考Ⅰ卷16題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.答案：2解析：如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝22＋12＝5，D1M⊥B1C1，且D1M＝3.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點.在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點P，使MP＝2，連接D1P，則D1P＝D1M2＋MP2＝（3）2＋（2）2＝5，連接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以M為圓心，2為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線.由∠B1MG＝∠C1MH＝考向2空間幾何體的截面問題【例4】（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，DM＝13DD1，BN＝13BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是（A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為.答案：（1）C（2）9解析：（1）先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點.如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，連接NF，ME，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.（2）如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高為h＝（5）2－222＝322，∴梯形MNDB的面積為12×（1.（多選）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為33解析：ACD易知A、C正確，B不正確，下面說明D正確，如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝22，GH＝2，OE＝OO'2＋O'E2＝1+（22）2＝62，所以S＝2×12×（2＋2.（2024·南京六校聯(lián)考）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為32，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，P是線段A1B上的動點，則C1P與平面D1EF的交點Q的軌跡長為.答案：13解析：如圖所示，連接EF，A1B，連接A1C1，B1D1交于點M，連接B1E，BC1交于點N，連接MN，由EF∥B1D1，即E，F(xiàn)，B1，D1共面，由P是線段A1B上的動點，當(dāng)P重合于A1或B時，C1A1，C1B與平面D1EF的交點分別為M，N，即點Q的軌跡為MN，由正方體棱長為32，得C1M＝12A1C1＝3，則BC1＝6，又BEB1C1＝BNNC1＝12，則NC1＝23BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°1.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能解析：D根據(jù)條件作出示意圖，由圖可知D正確.2.在三棱錐P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：D如圖所示，因為E，D，F(xiàn)分別為AB，PA，AC的中點，可得DE∥PB，EF∥BC，又因為PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故選D.3.已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件解析：C若a，b相交，a?α，b?β，則其交點在交線c上，故a，c相交；若a，c相交，a，b可能為相交直線或異面直線.綜上所述，a，b相交是a，c相交的充分不必要條件.故選C.4.如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有（）A.①③ B.②③C.②④ D.②③④解析：C圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接GM，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，G?MN，因此直線GH與MN異面.所以在圖②④中，GH與MN異面.5.（多選）下列四個命題中是真命題的為（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l解析：AD對于A，可設(shè)l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點A在平面α內(nèi)，同理，l3與l2的交點B也在平面α內(nèi)，所以AB?α，即l3?α，A為真命題；對于B，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，故B為假命題；對于C，兩條直線有可能平行也有可能異面，故C為假命題；對于D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內(nèi)所有直線，因為直線l?平面α，所以直線m⊥直線l，D為真命題.6.（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面D.B，B1，O，M共面解析：ABC∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A、B、C.7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為.答案：4解析：因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側(cè)面，與另外四個側(cè)面相交.8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中：（1）求異面直線AC與A1D所成角的大??；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求異面直線A1C1與EF所成角的大小.解：（1）如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是異面直線AC與A1D所成的角.在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故異面直線A1D與AC所成的角為60°.（2）連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.故異面直線A1C1與EF所成的角為90°.9.（2024·菏澤模擬）如圖，已知P，Q，R分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中點，由點P，Q，R確定的平面β截該正方體所得截面為（）A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形解析：D如圖，分別取A1D1，A1A，CC1的中點F，E，M，連接RF，F(xiàn)E，EP，PQ，QM，MR，QF，PR，EM，由正方體性質(zhì)得RF∥PQ，所以R，F(xiàn)，P，Q∈平面β，且RF∥PQ∥EM，又QF，RP，EM交于同一點O，所以E，M?平面β，所以點P，Q，R確定的平面β即為六邊形RFEPQM，故選D.10.《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑.”如圖①所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵.如圖②所示的塹堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM所成角的余弦值為（）A.913 B.8C.159 D.解析：A如圖，取B1C1的中點E，連接A1E，EC，則A1E∥AM，∠EA1C即為異面直線A1C與AM所成的角或其補角，在Rt△A1C1E中，A1E＝9+4＝13，在Rt△EC1C中，EC＝22＋22＝22，在Rt△A1C1C中，A1C＝13，在△A1EC中，由余弦定理得，cos∠EA1C＝A1E2＋A1C2－EC211.（多選）如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是（）A.GH與EF平行 B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角 D.DE與MN垂直解析：BCD如圖，還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合，連接GM，易知GH與EF異面，BD與MN異面.又易知△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，易證DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.∴B、C、D正確.12.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為.答案：2解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為2，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為2.13.（2024·蘭州模擬）如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各