全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖表面積和體積2備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積1.〖2020全國(guó)卷Ⅲ,9,5分〗〖文〗如圖8-1-1為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是()A.6+42 B.4+42C.6+23 D.4+23圖8-1-12.〖2020浙江,5,4分〗某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖8-1-2所示,則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.73 B.143圖8-1-23.〖2021合肥市調(diào)研檢測(cè)〗表面積為324π的球,其內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14,則這個(gè)正四棱柱的表面積等于()A.567 B.576 C.240 D.49π4.〖2021安徽省四校聯(lián)考〗在三棱錐A-BCD中,△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,當(dāng)三棱錐A-BCD的表面積最大時(shí),其內(nèi)切球的半徑是()A.22-6 B.2-3 C.25.〖數(shù)學(xué)文化題〗《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除(此處是指三面為等腰梯形,其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體)體積的求法.在如圖8-1-3所示的羨除中,平面ABDA'是鉛垂面,下寬AA'=3m,上寬BD=4m,深3m,平面BCED是水平面,末端寬CE=5m,無(wú)深,長(zhǎng)6m(直線CE到BD的距離),則該羨除的體積為()圖8-1-3A.24m3 B.30m3 C.36m3 D.42m36.〖2020全國(guó)卷Ⅱ,11,5分〗〖文〗已知△ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為(A.3 B.32 C.1 D.7.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗蹴鞠(如圖8-1-4所示),又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圓”“筑球”“踢圓”等,“蹴”有用腳蹴、蹋、踢的含義,“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng),類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某“鞠”表面上的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D滿足AB=CD=14cm,BD=AC=8cm,AD=BC=12cm,則該“鞠”的表面積為()A.202πcm2 B.101202πC.101202πcm2 D.202π3cm圖8-1-48.〖2021蓉城名校聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,且PA=3,在△ABC中,AC=1,BC=2,且滿足sin2A=sin2B,則三棱錐P-ABC外接球的體積為()A.223π B.323π C.8239.〖2021湖南六校聯(lián)考〗如圖8-1-5,以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心,以2為半徑作一個(gè)球面,則該正方體的表面被球面所截得的所有弧的長(zhǎng)之和為()A.3π4 B.2C.3π2 D.圖8-1-510.〖2020成都市高三模擬〗若矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O',周長(zhǎng)為410,四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,且OO'=3,則球O的表面積的最小值為()A.322π3 B.11.〖2021南昌市模擬〗已知一個(gè)圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,則該圓錐的側(cè)面面積為.

12.〖2021南昌市高三測(cè)試〗如圖8-1-6所示,圓臺(tái)內(nèi)接于球,已知圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為3和4,圓臺(tái)的高為7,則該球的表面積為.

圖8-1-613.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知P,A,B,C是半徑為3的球面上的四點(diǎn),其中PA過(guò)球心,AB=BC=2,AC=23,則三棱錐P-ABC的體積是.

14.〖2021合肥市調(diào)研檢測(cè)〗如圖8-1-7,在△ABC中,CA=CB=3,AB=3,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC邊上異于點(diǎn)B,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF⊥AB,垂足為E.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AC,則四棱錐P-ACFE的體積的最大值為.

圖8-1-715.〖2021河北六校第一次聯(lián)考〗唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖8-1-8(1)所示,其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆繪和墓室壁畫,體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖8-1-8(2)所示.已知球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為143πR2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1,下部分(半球)的體積為V2,則V1V2=A.2 B.32 C.1 D.圖8-1-816.〖2020陜西省百校聯(lián)考〗四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥底面ABCD,異面直線AC與PD所成的角的余弦值為105,則四棱錐的外接球的表面積為()A.48π B.12π C.36π D.9π17.〖2020洛陽(yáng)市聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,底面△ABC滿足BA=BC=6,∠ABC=π2,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()A.8π B.16π C.163π D.3218.〖2020合肥市模擬〗若圓錐SO1,SO2的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為4的同一個(gè)球的球面上,兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為4,42,則這兩個(gè)圓錐重合部分的體積為()A.83π B.8π C.563π D.19.〖2021湖南四校聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心,若S△ABC·S△OBC=S△PBC2,且三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,則S△PAB+S△PBC+S△PAC20.〖2021黑龍江省六校階段聯(lián)考〗正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球O的半徑為2,當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí),一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)移動(dòng)到C1,則沿正四棱柱表面移動(dòng)的最短距離與直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng)的最短距離的比值是.

21.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,側(cè)棱AA1=t(t>4),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(包括四條邊上的點(diǎn)),且滿足tan∠APD=4tan∠EPB,則四棱錐P-ABED體積的最大值是.

22.〖2020惠州市二調(diào)〗〖雙空題〗已知底面邊長(zhǎng)為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)均在球O1上,又知球O2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切,則球O1與球O2的半徑之比為,表面積之比為.

23.〖條件創(chuàng)新〗將一個(gè)半圓沿它的一條半徑剪成一個(gè)小扇形和一個(gè)大扇形,其中小扇形的圓心角為π3,則小扇形圍成的圓錐的高與大扇形圍成的圓錐的高之比為(A.2∶1 B.70∶8 C.4∶1 D.32∶7024.〖條件創(chuàng)新〗已知在三棱錐P-ABC中,△ABC的內(nèi)切圓圓O的半徑為2,PO⊥平面ABC,且三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面所成角都為60°,則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為()A.32327π B.8327π25.〖2021云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)〗〖探索創(chuàng)新〗已知一圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為332,在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體,并且正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),則a的最大值為26.〖生活實(shí)踐〗在日常生活中,石子是我們經(jīng)常見(jiàn)到的材料,比如在各種建筑工地或者建材市場(chǎng)上常常能看到堆積如山的石子.某雕刻師計(jì)劃在底面邊長(zhǎng)為2m,高為4m的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中雕出一個(gè)四棱錐O-ABCD和球M的組合體(如圖8-1-9所示),其中O為正四棱柱的中心,當(dāng)球的半徑r取最大值時(shí),該雕刻師需去除的石料約重kg.(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4g/cm3,質(zhì)量m=ρV,V為體積)

圖8-1-9答案第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積1.C由三視圖知該幾何體為如圖D8-1-13所示的三棱錐P-ABC,其中PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AP=2,所以PB=PC=BC=22,故其表面積S=(12×2×2)×3+12×(22)2×sin60°=6+2圖D8-1-132.A由三視圖可知,該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積V=12×2×1×2+13×12×2×1×1=3.B設(shè)球的半徑為R,由題意知4πR2=324π,解得R=9.如圖D8-1-14為過(guò)球心O和底面對(duì)角線的正四棱柱的截面,OO'⊥AC,可知OO'=7,OC=9,則O'C=92-72=42,于是正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為82圖D8-1-144.A三棱錐A-BCD的表面積S=23+S△ABD+S△ACD=23+4sin∠ABD,故當(dāng)AB⊥BD時(shí),Smax=4+23,如圖D8-1-15,過(guò)A作BC的垂線,垂足為E,連接ED,易知BC⊥平面AED,則S△AED=2,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=13×2×2=223,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則VA-BCD=13圖D8-1-155.C如圖D8-1-16,在BD,CE上分別取點(diǎn)B',C',使得BB'=CC'=3m,連接A'B',A'C',B'C',則三棱柱ABC-A'B'C'是斜三棱柱,該羨除的體積V=V三棱柱ABC-A'B'C'+V四棱錐A'-B'DEC'=(12×3×6)×3+13×(1+22×6)×3=36(m圖D8-1-166.C由等邊三角形ABC的面積為934,得34AB2=934,得AB=3,則△ABC的外接圓半徑r=23×32AB=33AB=3.設(shè)球的半徑為R,則由球的表面積為16π,得4πR2=16π,得R7.A因?yàn)锳B=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把A,B,C,D四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“鞠”的直徑.設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,“鞠”的半徑為R,則(2R)2=x2+y2+z2.由題意可取x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以R2=1012,所以“鞠”的表面積S=4πR2=202π(cm2).故選A〖情境啟示〗本題以“蹴鞠”為背景考查多面體的外接球,屬于生活實(shí)踐情境,也是近幾年高考常用的情境,啟示我們要關(guān)注我國(guó)乃至世界上傳統(tǒng)的優(yōu)秀遺產(chǎn).8.C因?yàn)閟in2A=sin2B,A∈(0,π),B∈(0,π),所以A=B或A+B=π2,因?yàn)锳C=1,BC=2,所以A≠B,故A+B=π則C=π2.如圖D8-1-17,根據(jù)題意將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)方體中,則該三棱錐的外接球直徑2R為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線PB=12+22+(3)2=22,所以外接球的體積V=43πR圖D8-1-179.C正方體的表面被該球面所截得的弧是相等的三部分,如圖D8-1-18所示,上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心,1為半徑的圓的周長(zhǎng)的14,所以所求弧的長(zhǎng)之和為3×2π4=圖D8-1-1810.C由題意,知矩形ABCD所在的圓面為球O的一個(gè)截面.因?yàn)镺'為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),所以O(shè)O'所在直線垂直于矩形ABCD所在的圓面.因?yàn)榫匦蜛BCD的周長(zhǎng)為410,所以BC+CD=210.設(shè)BC=x,則CD=210-x,所以BD2=BC2+CD2=x2+(210-x)2,即BD2=2(x-10)2+20.設(shè)球O的半徑為R,則R2=(BD2)2+O'O2=12(x-10)2+8,所以當(dāng)x=10時(shí),R2取得最小值8,又球O的表面積S=4πR11.2π因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,所以圓錐的底面半徑r=1,母線長(zhǎng)l=2,所以圓錐的側(cè)面面積S=πrl=2π.12.100π過(guò)球心O和圓臺(tái)上、下底面圓的圓心作截面,設(shè)球的半徑為R,當(dāng)圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心在球心的兩側(cè)時(shí),則有R2-32+R2-42=7,解得13.2153因?yàn)锳B=BC=2,AC=23,所以cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=-12<0,所以△ABC為鈍角三角形,外心G位于△ABC的外部,sinB=32.如圖D8-1-19,記三棱錐P-ABC外接球的球心為O,連接OG,GA,GC,因?yàn)镻A過(guò)球心,所以O(shè)為PA的中點(diǎn).根據(jù)球的性質(zhì),球心與截面圓圓心的連線與截面垂直,所以O(shè)G⊥平面ABC.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理可得ACsinB=2r,因此2r=2332=4,所以r=2,又OG=OA2-GA2=32圖D8-1-1914.24因?yàn)镃A=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB,又EF⊥AB,所以CD∥EF,由翻折的特征可知EF⊥PE,所以CD⊥PE,又PE⊥AC,AC∩CD=C,所以PE⊥平面ACD,則PE為四棱錐P-ACFE的高.在Rt△CBD中,BC=3,BD=32,則CD=32,∠B=30°,設(shè)EF=x,則BE=PE=3x,VP-ACFE=13×(12×3×32-32x2)×3x=-x32+34x,則V'=-3x22+34,令V'=0,得x=22或x=-22(舍去),當(dāng)x∈(0,22)時(shí),V〖解題技巧〗處理“翻折”問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“翻折”前后兩個(gè)圖形的特征,需要理清哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒(méi)有發(fā)生變化,以便順利求解目標(biāo)問(wèn)題.15.A由球的半徑為R,知酒杯下部分(半球)的表面積為2πR2,由酒杯內(nèi)壁表面積為143πR2,得圓柱側(cè)面積為143πR2-2πR2=83πR2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的高為h,則2πR×h=83πR2,解得h=43R,酒杯下部分(半球)的體積V2=12×43π×R3=23πR3,酒杯上部分(圓柱)的體積V1=πR2×43R16.D四棱錐P-ABCD可補(bǔ)形成如圖D8-1-20所示的長(zhǎng)方體,則四棱錐P-ABCD的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)PA=x,連接B1C,B1A,則有PD∥B1C,所以∠ACB1即異面直線AC與PD所成的角,所以cos∠ACB1=105.在△AB1C中,由余弦定理得B1A2=B1C2+AC2-2B1C·AC·cos∠ACB1,即x2+4=x2+4+8-2x2+4×22×105,解得x=1,因此該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為12圖D8-1-2017.D如圖D8-1-21,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC為截面圓的直徑,外接球的球心O在截面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D,∴當(dāng)P,O,D共線且P,O位于截面ABC同一側(cè)時(shí)三棱錐的體積最大,高最大,此時(shí)三棱錐的高為PD,∴13×12×6×6×PD=3,解得PD=3.連接OC,設(shè)外接球的半徑為R,則OD=3-R,OC=R,在△ODC中,CD=12AC=3,由勾股定理得(3-R)2+(3)2=R2,解得R=2.∴三棱錐P-ABC的外接球的體積圖D8-1-2118.A如圖D8-1-22,因?yàn)榍虻陌霃絉=4,圓錐SO1的母線長(zhǎng)SC=4,圓錐SO2的母線長(zhǎng)SB=42,易知∠BSO1=45°,∠CSO1=60°,SO1=2.記SB與圓錐SO1的底面交于A點(diǎn),則C,A,O1三點(diǎn)共線,且AO1=SO1=2,則兩圓錐重合部分的體積V=13×22×π×2=83π.圖D8-1-2219.18如圖D8-1-23,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,則AE⊥BC.連接PO,PE,則PO⊥底面ABC,所以PO⊥BC,又PO∩AE=O,所以BC⊥平面PAE,所以BC⊥PA,BC⊥PE.同理可證AC⊥PB.由S△ABC·S△OBC=S△PBC2,得12AE·BC·(12OE·BC)=(12PE·BC)2,所以PE2=AE·OE,即PEAE=OEPE,結(jié)合∠PEA=∠PEO知△POE∽△APE,所以∠APE=∠POE=90°,所以PA⊥PE,又BC⊥PA,PE∩BC=E,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥PB,PA⊥PC,又AC⊥PB,PA∩AC=A,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥PC,所以PA,PB,PC兩兩垂直,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為三棱錐P-ABC外接球的直徑,所以PA2+PB2+PC2=(3+3)2=36,所以S△PAB+S△PBC+S△PAC=12(PA·PB+PB·PC+PC·PA)≤12(PA2+PB22+PB2+PC22+PC2+圖D8-1-2320.62如圖D8-1-24(1),設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,因?yàn)槠渫饨忧虻陌霃綖?,所以2a2+h2=16,則正四棱柱的側(cè)面積S=4ah=22(2a)h≤2〖(2a)2+h2〗=2(2a2+h2)=162,當(dāng)且僅當(dāng)2a=h,即a=2,h=22時(shí)等號(hào)成立(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著兩個(gè)側(cè)面移動(dòng)時(shí),例如沿著側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1移動(dòng)時(shí),將這兩個(gè)側(cè)面展開成一個(gè)平面圖形,如圖D8-1-24(2)所示,連接AC1,則最短距離即AC1的長(zhǎng),且AC1=(22)(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面移動(dòng)時(shí),例如沿著底面ABCD和側(cè)面DCC1D1移動(dòng)時(shí),把這兩個(gè)面展開成一個(gè)平面圖形,如圖D8-1-24(3)所示,連接AC1,則最短距離即AC1的長(zhǎng),且AC1=22+(2+22)2=若質(zhì)點(diǎn)直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng),則最短距離為正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng),即球O的直徑,所以最短距離為4.則質(zhì)點(diǎn)沿正四棱柱表面移動(dòng)的最短距離與直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng)的最短距離的比值是26圖D8-1-2421.1633因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1,BC⊥平面ABB1A1,所以△APD與△EBP均為直角三角形,所以tan∠APD=ADAP=4AP,tan∠EPB=BEBP=2BP,又tan∠APD=4tan∠EPB,所以4AP=8BP,即2AP=BP.如圖D8-1-25,以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,在平面ABB1A1內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0),設(shè)P(x,y),根據(jù)2AP=BP,得2(x+2)2+y2=(x-2)2+y2,化簡(jiǎn)整理得(x+103)2+y2圖D8-1-2522.5∶15∶1設(shè)球O1、球O2的半徑分別為R,r,由于正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,所以球心O1在上、下底面中心連成的線段的中點(diǎn)處,又球O2與正三棱柱的5個(gè)面都相切,易知點(diǎn)O2與O1重合.如圖D8-1-26,取上、下底面的中心分別為F,E,連接EF,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,EF的中點(diǎn)為O1,連接AD,O1A,則E在AD上,O1A=R,O1E=r,在△O1EA中,AE=23×32a=33a,O1E=r=13×32a=36a,由于O1A2=O1E2+AE2,所以R2=512a2,r2=112a2,則球O1與球O2的半徑之比為5∶圖D8-1-2623.B不妨設(shè)半圓的半徑為1,用圓心角為π3的小扇形圍成的圓錐的底面圓周長(zhǎng)為π3×1=π3,設(shè)其底面圓的半徑為r1,則2πr1=π3,所以r1=16,該圓錐的高h(yuǎn)1=1-(16)2=356.用圓心角為2π3的大扇形圍成的圓錐的底面圓周長(zhǎng)為2π3×1=2π3,設(shè)其底面圓的半徑為r2,則2πr2=2π3,所以r2=24.A設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為R,過(guò)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,OE⊥BC于點(diǎn)E,OF⊥AB于點(diǎn)F,則OD=OE=OF=2.連接PD,易證PD⊥AC,因?yàn)槿忮FP-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面所成角都為60°,所以∠PDO=60°,則PO=2tan60°=23,PD=2cos60°=4.由題意可知三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的球心O'在線段PO上,在Rt△POD中,sin∠DPO=ODPD=RPO-R,即24=R23-R,解得R=2325.2解法一由題意知,正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則a最大時(shí),該正四面體外接于圓錐的內(nèi)切球.設(shè)球心為P,球的半徑為r,圓錐的頂點(diǎn)為S,圓錐底面圓的圓心為O,A,B為底面圓直徑的兩端點(diǎn),軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q,圓錐的軸截面如圖D8-1-27所示,連接SO,易知P在SO上,SO⊥AB,則OA=OB=32,因?yàn)镾O=332,所以SA=SB=SO2+OB2=3,所以△SAB為等邊三角形,所以點(diǎn)P是△SAB的中心.連接BP,PQ,則BP平分∠SBA,所以∠PBO=30°,所以tan30°=r32=33,即r=33×32=32,所以正四面體外接球的半徑r=32.正四面體的外接球就是截得它的正方體的外接球,當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為a圖D8-1-27解法二由題意知,正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則a最大時(shí),該正四面體外接于圓錐的內(nèi)切球.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓的圓心為O,A,B為底面圓直徑的兩端點(diǎn),圓錐的軸截面如圖D8-1-28所示,則OA=OB=32,連接SO,則SO⊥AB,SO=332,所以SA=SB=SO2+OB2=3,△SAB的面積S△SAB=934,由三角形內(nèi)切圓半徑公式r=2Sa+b+c(其中S是三角形的面積,a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng))知,△SAB內(nèi)切圓的半徑r=32.正四面體的外接球就是截得它的正方體的外接球,當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為a時(shí),截得它的正方體的棱長(zhǎng)為22a圖D8-1-2826.21952由題意得正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V1=22×4=16(m3),正四棱錐O-ABCD的體積V2=13×22×2=83(m3),分析知球M的半徑r的最大值為1,此時(shí)球M的體積V3=43πr3=43π×13=4π3(m3),故去除石料的體積V=V1-V2-V3=16-83-4π3≈27.443(m3).又ρ=2第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積1.〖2020全國(guó)卷Ⅲ,9,5分〗〖文〗如圖8-1-1為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是()A.6+42 B.4+42C.6+23 D.4+23圖8-1-12.〖2020浙江,5,4分〗某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖8-1-2所示,則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.73 B.143圖8-1-23.〖2021合肥市調(diào)研檢測(cè)〗表面積為324π的球,其內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14,則這個(gè)正四棱柱的表面積等于()A.567 B.576 C.240 D.49π4.〖2021安徽省四校聯(lián)考〗在三棱錐A-BCD中,△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,當(dāng)三棱錐A-BCD的表面積最大時(shí),其內(nèi)切球的半徑是()A.22-6 B.2-3 C.25.〖數(shù)學(xué)文化題〗《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除(此處是指三面為等腰梯形,其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體)體積的求法.在如圖8-1-3所示的羨除中,平面ABDA'是鉛垂面,下寬AA'=3m,上寬BD=4m,深3m,平面BCED是水平面,末端寬CE=5m,無(wú)深,長(zhǎng)6m(直線CE到BD的距離),則該羨除的體積為()圖8-1-3A.24m3 B.30m3 C.36m3 D.42m36.〖2020全國(guó)卷Ⅱ,11,5分〗〖文〗已知△ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為(A.3 B.32 C.1 D.7.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗蹴鞠(如圖8-1-4所示),又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圓”“筑球”“踢圓”等,“蹴”有用腳蹴、蹋、踢的含義,“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng),類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某“鞠”表面上的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D滿足AB=CD=14cm,BD=AC=8cm,AD=BC=12cm,則該“鞠”的表面積為()A.202πcm2 B.101202πC.101202πcm2 D.202π3cm圖8-1-48.〖2021蓉城名校聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,且PA=3,在△ABC中,AC=1,BC=2,且滿足sin2A=sin2B,則三棱錐P-ABC外接球的體積為()A.223π B.323π C.8239.〖2021湖南六校聯(lián)考〗如圖8-1-5,以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心,以2為半徑作一個(gè)球面,則該正方體的表面被球面所截得的所有弧的長(zhǎng)之和為()A.3π4 B.2C.3π2 D.圖8-1-510.〖2020成都市高三模擬〗若矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O',周長(zhǎng)為410,四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,且OO'=3,則球O的表面積的最小值為()A.322π3 B.11.〖2021南昌市模擬〗已知一個(gè)圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,則該圓錐的側(cè)面面積為.

12.〖2021南昌市高三測(cè)試〗如圖8-1-6所示,圓臺(tái)內(nèi)接于球,已知圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為3和4,圓臺(tái)的高為7,則該球的表面積為.

圖8-1-613.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知P,A,B,C是半徑為3的球面上的四點(diǎn),其中PA過(guò)球心,AB=BC=2,AC=23,則三棱錐P-ABC的體積是.

14.〖2021合肥市調(diào)研檢測(cè)〗如圖8-1-7,在△ABC中,CA=CB=3,AB=3,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC邊上異于點(diǎn)B,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF⊥AB,垂足為E.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AC,則四棱錐P-ACFE的體積的最大值為.

圖8-1-715.〖2021河北六校第一次聯(lián)考〗唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖8-1-8(1)所示,其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆繪和墓室壁畫,體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖8-1-8(2)所示.已知球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為143πR2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1,下部分(半球)的體積為V2,則V1V2=A.2 B.32 C.1 D.圖8-1-816.〖2020陜西省百校聯(lián)考〗四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥底面ABCD,異面直線AC與PD所成的角的余弦值為105,則四棱錐的外接球的表面積為()A.48π B.12π C.36π D.9π17.〖2020洛陽(yáng)市聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,底面△ABC滿足BA=BC=6,∠ABC=π2,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()A.8π B.16π C.163π D.3218.〖2020合肥市模擬〗若圓錐SO1,SO2的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為4的同一個(gè)球的球面上,兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為4,42,則這兩個(gè)圓錐重合部分的體積為()A.83π B.8π C.563π D.19.〖2021湖南四校聯(lián)考〗已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心,若S△ABC·S△OBC=S△PBC2,且三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,則S△PAB+S△PBC+S△PAC20.〖2021黑龍江省六校階段聯(lián)考〗正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球O的半徑為2,當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí),一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)移動(dòng)到C1,則沿正四棱柱表面移動(dòng)的最短距離與直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng)的最短距離的比值是.

21.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,側(cè)棱AA1=t(t>4),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(包括四條邊上的點(diǎn)),且滿足tan∠APD=4tan∠EPB,則四棱錐P-ABED體積的最大值是.

22.〖2020惠州市二調(diào)〗〖雙空題〗已知底面邊長(zhǎng)為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)均在球O1上,又知球O2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切,則球O1與球O2的半徑之比為,表面積之比為.

23.〖條件創(chuàng)新〗將一個(gè)半圓沿它的一條半徑剪成一個(gè)小扇形和一個(gè)大扇形,其中小扇形的圓心角為π3,則小扇形圍成的圓錐的高與大扇形圍成的圓錐的高之比為(A.2∶1 B.70∶8 C.4∶1 D.32∶7024.〖條件創(chuàng)新〗已知在三棱錐P-ABC中,△ABC的內(nèi)切圓圓O的半徑為2,PO⊥平面ABC,且三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面所成角都為60°,則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為()A.32327π B.8327π25.〖2021云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)〗〖探索創(chuàng)新〗已知一圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為332,在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體,并且正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),則a的最大值為26.〖生活實(shí)踐〗在日常生活中,石子是我們經(jīng)常見(jiàn)到的材料,比如在各種建筑工地或者建材市場(chǎng)上常常能看到堆積如山的石子.某雕刻師計(jì)劃在底面邊長(zhǎng)為2m,高為4m的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中雕出一個(gè)四棱錐O-ABCD和球M的組合體(如圖8-1-9所示),其中O為正四棱柱的中心,當(dāng)球的半徑r取最大值時(shí),該雕刻師需去除的石料約重kg.(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4g/cm3,質(zhì)量m=ρV,V為體積)

圖8-1-9答案第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積1.C由三視圖知該幾何體為如圖D8-1-13所示的三棱錐P-ABC,其中PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AP=2,所以PB=PC=BC=22,故其表面積S=(12×2×2)×3+12×(22)2×sin60°=6+2圖D8-1-132.A由三視圖可知,該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積V=12×2×1×2+13×12×2×1×1=3.B設(shè)球的半徑為R,由題意知4πR2=324π,解得R=9.如圖D8-1-14為過(guò)球心O和底面對(duì)角線的正四棱柱的截面,OO'⊥AC,可知OO'=7,OC=9,則O'C=92-72=42,于是正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為82圖D8-1-144.A三棱錐A-BCD的表面積S=23+S△ABD+S△ACD=23+4sin∠ABD,故當(dāng)AB⊥BD時(shí),Smax=4+23,如圖D8-1-15,過(guò)A作BC的垂線,垂足為E,連接ED,易知BC⊥平面AED,則S△AED=2,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=13×2×2=223,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則VA-BCD=13圖D8-1-155.C如圖D8-1-16,在BD,CE上分別取點(diǎn)B',C',使得BB'=CC'=3m,連接A'B',A'C',B'C',則三棱柱ABC-A'B'C'是斜三棱柱,該羨除的體積V=V三棱柱ABC-A'B'C'+V四棱錐A'-B'DEC'=(12×3×6)×3+13×(1+22×6)×3=36(m圖D8-1-166.C由等邊三角形ABC的面積為934,得34AB2=934,得AB=3,則△ABC的外接圓半徑r=23×32AB=33AB=3.設(shè)球的半徑為R,則由球的表面積為16π,得4πR2=16π,得R7.A因?yàn)锳B=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把A,B,C,D四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“鞠”的直徑.設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,“鞠”的半徑為R,則(2R)2=x2+y2+z2.由題意可取x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以R2=1012,所以“鞠”的表面積S=4πR2=202π(cm2).故選A〖情境啟示〗本題以“蹴鞠”為背景考查多面體的外接球,屬于生活實(shí)踐情境,也是近幾年高考常用的情境,啟示我們要關(guān)注我國(guó)乃至世界上傳統(tǒng)的優(yōu)秀遺產(chǎn).8.C因?yàn)閟in2A=sin2B,A∈(0,π),B∈(0,π),所以A=B或A+B=π2,因?yàn)锳C=1,BC=2,所以A≠B,故A+B=π則C=π2.如圖D8-1-17,根據(jù)題意將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)方體中,則該三棱錐的外接球直徑2R為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線PB=12+22+(3)2=22,所以外接球的體積V=43πR圖D8-1-179.C正方體的表面被該球面所截得的弧是相等的三部分,如圖D8-1-18所示,上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心,1為半徑的圓的周長(zhǎng)的14,所以所求弧的長(zhǎng)之和為3×2π4=圖D8-1-1810.C由題意,知矩形ABCD所在的圓面為球O的一個(gè)截面.因?yàn)镺'為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),所以O(shè)O'所在直線垂直于矩形ABCD所在的圓面.因?yàn)榫匦蜛BCD的周長(zhǎng)為410,所以BC+CD=210.設(shè)BC=x,則CD=210-x,所以BD2=BC2+CD2=x2+(210-x)2,即BD2=2(x-10)2+20.設(shè)球O的半徑為R,則R2=(BD2)2+O'O2=12(x-10)2+8,所以當(dāng)x=10時(shí),R2取得最小值8,又球O的表面積S=4πR11.2π因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,所以圓錐的底面半徑r=1,母線長(zhǎng)l=2,所以圓錐的側(cè)面面積S=πrl=2π.12.100π過(guò)球心O和圓臺(tái)上、下底面圓的圓心作截面,設(shè)球的半徑為R,當(dāng)圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心在球心的兩側(cè)時(shí),則有R2-32+R2-42=7,解得13.2153因?yàn)锳B=BC=2,AC=23,所以cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=-12<0,所以△ABC為鈍角三角形,外心G位于△ABC的外部,sinB=32.如圖D8-1-19,記三棱錐P-ABC外接球的球心為O,連接OG,GA,GC,因?yàn)镻A過(guò)球心,所以O(shè)為PA的中點(diǎn).根據(jù)球的性質(zhì),球心與截面圓圓心的連線與截面垂直,所以O(shè)G⊥平面ABC.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理可得ACsinB=2r,因此2r=2332=4,所以r=2,又OG=OA2-GA2=32圖D8-1-1914.24因?yàn)镃A=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB,又EF⊥AB,所以CD∥EF,由翻折的特征可知EF⊥PE,所以CD⊥PE,又PE⊥AC,AC∩CD=C,所以PE⊥平面ACD,則PE為四棱錐P-ACFE的高.在Rt△CBD中,BC=3,BD=32,則CD=32,∠B=30°,設(shè)EF=x,則BE=PE=3x,VP-ACFE=13×(12×3×32-32x2)×3x=-x32+34x,則V'=-3x22+34,令V'=0,得x=22或x=-22(舍去),當(dāng)x∈(0,22)時(shí),V〖解題技巧〗處理“翻折”問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“翻折”前后兩個(gè)圖形的特征,需要理清哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒(méi)有發(fā)生變化,以便順利求解目標(biāo)問(wèn)題.15.A由球的半徑為R,知酒杯下部分(半球)的表面積為2πR2,由酒杯內(nèi)壁表面積為143πR2,得圓柱側(cè)面積為143πR2-2πR2=83πR2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的高為h,則2πR×h=83πR2,解得h=43R,酒杯下部分(半球)的體積V2=12×43π×R3=23πR3,酒杯上部分(圓柱)的體積V1=πR2×43R16.D四棱錐P-ABCD可補(bǔ)形成如圖D8-1-20所示的長(zhǎng)方體,則四棱錐P-ABCD的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)PA=x,連接B1C,B1A,則有PD∥B1C,所以∠ACB1即異面直線AC與PD所成的角,所以cos∠ACB1=105.在△AB1C中,由余弦定理得B1A2=B1C2+AC2-2B1C·AC·cos∠ACB1,即x2+4=x2+4+8-2x2+4×22×105,解得x=1,因此該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為12圖D8-1-2017.D如圖D8-1-21,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC為截面圓的直徑,外接球的球心O在截面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D,∴當(dāng)P,O,D共線且P,O位于截面ABC同一側(cè)時(shí)三棱錐的體積最大,高最大,此時(shí)三棱錐的高為PD,∴13×12×6×6×PD=3,解得PD=3.連接OC,設(shè)外接球的半徑為R,則OD=3-R,OC=R,在△ODC中,CD=12AC=3,由勾股定理得(3-R)2+(3)2=R2,解得R=2.∴三棱錐P-ABC的外接球的體積圖D8-1-2118.A如圖D8-1-22,因?yàn)榍虻陌霃絉=4,圓錐SO1的母線長(zhǎng)SC=4,圓錐SO2的母線長(zhǎng)SB=42,易知∠BSO1=45°,∠CSO1=60°,SO1=2.記SB與圓錐SO1的底面交于A點(diǎn),則C,A,O1三點(diǎn)共線,且AO1=SO1=2,則兩圓錐重合部分的體積V=13×22×π×2=83π.圖D8-1-2219.18如圖D8-1-23,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,則AE⊥BC.連接PO,PE,則PO⊥底面ABC,所以PO⊥BC,又PO∩AE=O,所以BC⊥平面PAE,所以BC⊥PA,BC⊥PE.同理可證AC⊥PB.由S△ABC·S△OBC=S△PBC2,得12AE·BC·(12OE·BC)=(12PE·BC)2,所以PE2=AE·OE,即PEAE=OEPE,結(jié)合∠PEA=∠PEO知△POE∽△APE,所以∠APE=∠POE=90°,所以PA⊥PE,又BC⊥PA,PE∩BC=E,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥PB,PA⊥PC,又AC⊥PB,PA∩AC=A,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥PC,所以PA,PB,PC兩兩垂直,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為三棱錐P-ABC外接球的直徑,所以PA2+PB2+PC2=(3+3)2=36,所以S△PAB+S△PBC+S△PAC=12(PA·PB+PB·PC+PC·PA)≤12(PA2+PB22+PB2+PC22+PC2+圖D8-1-2320.62如圖D8-1-24(1),設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,因?yàn)槠渫饨忧虻陌霃綖?,所以2a2+h2=16,則正四棱柱的側(cè)面積S=4ah=22(2a)h≤2〖(2a)2+h2〗=2(2a2+h2)=162,當(dāng)且僅當(dāng)2a=h,即a=2,h=22時(shí)等號(hào)成立(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著兩個(gè)側(cè)面移動(dòng)時(shí),例如沿著側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1移動(dòng)時(shí),將這兩個(gè)側(cè)面展開成一個(gè)平面圖形,如圖D8-1-24(2)所示,連接AC1,則最短距離即AC1的長(zhǎng),且AC1=(22)(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面移動(dòng)時(shí),例如沿著底面ABCD和側(cè)面DCC1D1移動(dòng)時(shí),把這兩個(gè)面展開成一個(gè)平面圖形,如圖D8-1-24(3)所示,連接AC1,則最短距離即AC1的長(zhǎng),且AC1=22+(2+22)2=若質(zhì)點(diǎn)直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng),則最短距離為正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng),