新高考數學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）24 立體幾何中球與幾何體的切接問題（原卷版）

素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、外接球如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球．解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用．二、內切球球的內切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．當球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來求球的半徑．【常用結論】①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即SKIPIF1<0(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝eq\f(x2＋y2＋z2,8)(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．④外接球模型四：垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．⑤外接球模型五：有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R＝eq\f(h2＋r2,2h)(其中h為幾何體的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心)SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑦內切球思路：以三棱錐P－ABC為例，求其內切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是．【典例2】（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】設直三棱柱SKIPIF1<0的所有頂點都在一個表面積是SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0，則此直三棱柱的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】在三棱錐SKIPIF1<0中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為．【典例5】已知正SKIPIF1<0邊長為1，將SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉至SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為．【典例6】已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長為SKIPIF1<0，側棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．【典例7】邊長為SKIPIF1<0的正四面體內切球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練1-刷真題】一、單選題1．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．已知點SKIPIF1<0均在半徑為2的球面上，SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【題型訓練2-刷模擬】一、單選題1．邊長為1的正方體的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知四面體SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該直三棱柱的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線SKIPIF1<0折起得四面體SKIPIF1<0，使得此時SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的表面上，則球SKIPIF1<0的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．49．）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，側棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．）已知四棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0是等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．）球O內接三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，球O表面積為SKIPIF1<0.則三棱錐SKIPIF1<0體積最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知四面體ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為SKIPIF1<0，四面體的內切球的球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為V1，它的內切球的體積為V2，則SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內切球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．已知四棱錐SKIPIF1<0的各棱長均為2，則其內切球表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．若一個正三棱柱存在外接球與內切球，則它的外接球與內切球體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．已知直三棱柱SKIPIF1<0存在內切球，若SKIPIF1<0，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．已知正三棱錐P—ABC的底面邊長為3，高為SKIPIF1<0，則三棱錐P—ABC的內切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．已知圓臺SKIPIF1<0的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內切球的半徑為SKIPIF1<0，則該圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．已知正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其內切球半徑為r，外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．將菱形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起，當四面體SKIPIF1<0體積最大時，它的內切球和外接球表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題25．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為．26．已知正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為6，三棱柱的高為SKIPIF1<0，則該三棱柱的外接球的表面積為.27．正三棱錐SKIPIF1<0底面邊長為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則正三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為.28．在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC與BD的交點為G，點M，N分別在線段AD，CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿MN折疊到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為．29．三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為.30．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞著邊BC逆時針旋轉SKIPIF1<0后得到SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為.31．四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0