2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.2事件的相互獨立性素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測四十二事務(wù)的相互獨立性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.若A與B是相互獨立事務(wù),則下列結(jié)論中正確的是 ()A.A與B是對立事務(wù)B.A與B是互斥事務(wù)C.QUOTE與QUOTE不相互獨立D.A與QUOTE是相互獨立事務(wù)【解析】選D.相互獨立與互斥、對立沒有必定聯(lián)系.2.一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立,則兩根保險絲都熔斷的概率為 ()A.1 B.0.629C.0 D.0.74或0.85【解析】選B.事務(wù)“兩根保險絲都熔斷”即事務(wù)“甲保險絲熔斷”“乙保險絲熔斷”同時發(fā)生,依題意得事務(wù)“兩根保險絲都熔斷”的概率為0.85×0.74=0.629.3.甲、乙兩人各進行一次射擊,假如兩人擊中目標的概率都是0.8,則其中恰有一人擊中目標的概率為 ()A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48【解析】選B.設(shè)“甲擊中目標”為事務(wù)A,“乙擊中目標”為事務(wù)B,則“兩人各射擊一次,恰好有一人擊中目標”包括兩種狀況:一種是甲擊中、乙未擊中(即AQUOTE),另一種是甲未擊中、乙擊中(即QUOTEB),依據(jù)題意,這兩種狀況在各射擊一次時不行能同時發(fā)生,即事務(wù)AQUOTE與QUOTEB是互斥的,所以所求概率為P=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32.故選B.4.甲、乙兩人同時報考某一所高校,甲被錄用的概率為0.6,乙被錄用的概率為0.7,兩人是否被錄用互不影響,則其中至少有一人被錄用的概率為 ()A.0.12 B.0.42 C.0.46 【解析】選D.由題意知,甲、乙都不被錄用的概率為(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被錄用的概率為1-0.12=0.88.5.某種開關(guān)在電路中閉合的概率為p,現(xiàn)將4只這種開關(guān)并聯(lián)在某電路中(如圖所示),若該電路為通路的概率為QUOTE,則p= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為該電路為通路的概率為QUOTE,所以該電路為不通路的概率為1-QUOTE,只有當并聯(lián)的4只開關(guān)同時不閉合時該電路不通路,所以1-QUOTE=(1-p)4,解得p=QUOTE或p=QUOTE(舍去).故選B.6.假日期間,甲去黃山的概率是QUOTE,乙去黃山的概率是QUOTE,假定兩人的行動相互之間沒有影響,那么在假日期間甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)甲、乙去黃山分別為事務(wù)A,B,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所以甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是P=1-P(QUOTEQUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.【補償訓練】如圖,已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是QUOTE,且是相互獨立的,燈亮的概率為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選C.記A,B,C,D這4個開關(guān)閉合分別為事務(wù)A,B,C,D,又記A與B至少有一個不閉合為事務(wù)QUOTE,則P(QUOTE)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)+P(QUOTEQUOTE)=QUOTE,則燈亮的概率為P=1-P(QUOTEQUOTEQUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為________.

【解析】加工出來的零件的正品率是QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因此加工出來的零件的次品率為1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.甲、乙兩人投球命中率分別為QUOTE,QUOTE,則甲、乙兩人各投一次,恰好命中一次的概率為________.

【解析】事務(wù)“甲投球一次命中”記為A,“乙投球一次命中”記為B,“甲、乙兩人各投一次恰好命中一次”記為事務(wù)C,則C=AQUOTE∪QUOTEB且AQUOTE與QUOTEB互斥,P(C)=P(AQUOTE∪QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.某班甲、乙、丙三名同學競選班委,甲當選的概率為QUOTE,乙當選的概率為QUOTE,丙當選的概率為QUOTE.(1)求恰有一名同學當選的概率;(2)求至多有兩人當選的概率.【解析】設(shè)甲、乙、丙當選的事務(wù)分別為A,B,C,則有P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE.(1)因為事務(wù)A,B,C相互獨立,所以恰有一名同學當選的概率為P(AQUOTEQUOTE)+P(QUOTEBQUOTE)+P(QUOTEQUOTEC)=P(A)·P(QUOTE)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(B)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(QUOTE)·P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)至多有兩人當選的概率為1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.某同學參與科普學問競賽,需回答三個問題.競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯得零分.假設(shè)這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.7,0.6,且各題答對與否相互之間沒有影響.(1)求這名同學得300分的概率;(2)求這名同學至少得300分的概率.【解析】記“這名同學答對第i個問題”為事務(wù)Ai(i=1,2,3),則P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.(1)這名同學得300分的概率P1=P(A1QUOTEA3)+P(QUOTEA2A3)=P(A1)P(QUOTE)P(A3)+P(QUOTE)P(A2)P(A3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.(2)這名同學至少得300分的概率P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.甲、乙兩隊進行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊須要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.問題等價為兩類:第一類,第一局甲贏,其概率P1=QUOTE;其次類,需競賽2局,第一局甲負,其次局甲贏,其概率P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE.故甲隊獲得冠軍的概率為P1+P2=QUOTE.2.拋擲一枚骰子一次,A表示事務(wù)“出現(xiàn)偶數(shù)點”,B表示事務(wù)“出現(xiàn)3點或6點”,則事務(wù)A與B的關(guān)系是()A.互斥事務(wù)B.相互獨立事務(wù)C.既互斥又相互獨立事務(wù)D.既不互斥又不相互獨立事務(wù)【解析】選B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE=QUOTE×QUOTE.所以A與B是相互獨立事務(wù).3.端午節(jié)放假,甲回老家過節(jié)的概率為QUOTE,乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為QUOTE,QUOTE.假定三人的行動相互之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)至少有1人回老家過節(jié)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.甲、乙、丙回老家過節(jié)分別記為事務(wù)A,B,C,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE.由題知A,B,C為相互獨立事務(wù),所以三人都不回老家過節(jié)的概率P(QUOTEQUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有1人回老家過節(jié)的概率P=1-QUOTE=QUOTE.4.有一個電路,如圖所示,A,B,C,D,E,F為6個開關(guān),若其閉合的概率都是QUOTE,且每個開關(guān)閉合與否是相互獨立的,則燈亮的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)事務(wù)T為開關(guān)A,B中至少有一個不閉合,事務(wù)R為開關(guān)E,F中至少有一個不閉合,則P(T)=P(R)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.設(shè)事務(wù)M,N分別為開關(guān)C,D不閉合,則P(M)=P(N)=QUOTE.所以燈不亮的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以燈亮的概率為1-QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.事務(wù)A,B,C相互獨立,假如P(AB)=QUOTE,P(QUOTEC)=QUOTE,P(ABQUOTE)=QUOTE,則P(B)=________,P(QUOTEB)=________.

【解析】由題意可得QUOTE解得P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTEB)=P(QUOTE)·P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為________.

【解析】分別記汽車在甲、乙、丙三處通行為事務(wù)A,B,C,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,停車一次為事務(wù)QUOTEBC+AQUOTEC+ABQUOTE發(fā)生,故概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.臺風在危害人類的同時,也在愛護人類.臺風給人類送來了淡水資源,大大緩解了全球水荒,另外還使世界各地冷熱保持相對均衡.甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風,在同一時刻,甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預報臺風的概率分別為0.8,0.7,0.9,各衛(wèi)星間相互獨立,則在同一時刻至少有兩顆預報精確的是________.

【解析】設(shè)甲、乙、丙預報精確依次記為事務(wù)A,B,C,不精確記為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(QUOTE)=0.2,P(QUOTE)=0.3,P(QUOTE)=0.1,至少兩顆預報精確的事務(wù)有ABQUOTE,AQUOTEC,QUOTEBC,ABC,這四個事務(wù)兩兩互斥且獨立.所以至少兩顆預報精確的概率為P=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多,某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算),有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別是QUOTE,QUOTE,兩人租車時間都不會超過四小時.則甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為________.

【解析】由題意可知,甲、乙在三小時以上且不超過四個小時還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用相同為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中,某市確定在一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個項目,據(jù)預料,三個項目勝利的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三個項目是否勝利相互獨立.(1)求恰有兩個項目勝利的概率;(2)求至少有一個項目勝利的概率.【解析】(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以恰有兩個項目勝利的概率為QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)三個項目全部失敗的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有一個項目勝利的概率為1-QUOTE=QUOTE.10.在一個選拔項目中,每個選手都須要進行四輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答者進入下一輪考核,否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率;(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率.【解析】記事務(wù)Ai(i=1,2,3,4)