2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十六向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,則x等于()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】選A.由向量a=(1,-1),b=(2,x),a·b=1,得a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1?x=1.2.已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上投影的數(shù)量是 ()A.-3QUOTE B.-QUOTE C.3QUOTE D.QUOTE【解析】選A.依題意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=QUOTE,因此向量在方向上投影的數(shù)量是=QUOTE=-3QUOTE.3.(2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則·的取值范圍是 ()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)【解析】選A.設(shè)P(x,y),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6.4.設(shè)向量a=(-1,2),b=(m,1),假如向量a+2b與2a-b平行,那么a·b等于()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由向量a=(-1,2),b=(m,1)得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由題意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,則m=-QUOTE,所以a·b=-1×QUOTE+2×1=QUOTE.5.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿(mǎn)意(c+a)∥b,c⊥(a+b),則c等于()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)c=(x,y),則c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,所以2(y+2)+3(x+1)=0.①又c⊥(a+b),所以(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.②聯(lián)立①②解得x=-QUOTE,y=-QUOTE.所以c=QUOTE.6.(多選題)已知點(diǎn)A(1,2),B(7,0),C(3,-2),則下列關(guān)于△ABC的結(jié)論正確的是()A.是直角三角形 B.是銳角三角形C.是等腰三角形 D.三角形面積為10【解析】選ACD.由點(diǎn)A(1,2),B(7,0),C(3,-2),得=(2,-4),=(-4,-2),所以·=0,得⊥,且||=||=2QUOTE,S△ABC=QUOTE||2=10.所以△ABC是等腰直角三角形.二、填空題(每小題4分,共8分)7.(2024·六盤(pán)山高一檢測(cè))已知向量=(m,1),=(1,4),若·>11,則m的取值范圍為.

【解析】·=m+4>11,解得m>7.答案:(7,+∞)8.已知矩形ABCD的中心為O,AD=2,若·=8,則∠AOB=,向量與的夾角為.

【解題指南】先計(jì)算AB的長(zhǎng),再建立平面直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)公式計(jì)算.【解析】因?yàn)榫匦蜛BCD的中心為O,AD=2,得·=0,由·=8,得(+)·(+)=8,所以·+-+·=-4=8,即=12,||=2QUOTE.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-QUOTE,-1),B(QUOTE,-1),C(QUOTE,1),D(-QUOTE,1),得=(2QUOTE,0),=(2QUOTE,2),=(-QUOTE,-1),=(QUOTE,-1),=(0,2),=(-QUOTE,-1),得·=12,||=2QUOTE,||=4,所以cos∠BAC==QUOTE=QUOTE,因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE,所以∠AOB=QUOTEπ.因?yàn)閏os<,>==QUOTE=-QUOTE,且0<<,><π,所以向量與的夾角為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以線(xiàn)段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)意(-t)·=0,求t的值.【解析】(1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則+=(2,6),-=(4,4),所以|+|=2QUOTE,|-|=4QUOTE.故兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為2QUOTE,4QUOTE.(2)由題設(shè)知=(-2,-1),-=(3+2t,5+t).由(-)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,從而5t=-11,故t=-QUOTE.10.(2024·孝感高一檢測(cè))設(shè)a=(1,2),b=(m,6)(m<0),a與b的夾角為QUOTE.(1)求b.(2)若c與b同向,a-c與a垂直,求|c|.【解析】(1)因?yàn)閍=(1,2),b=(m,6),<a,b>=QUOTE,所以cos<a,b>=cosQUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=2(m+12),所以10(m2+36)=4(m+12)2,所以m2-16m-36=0,所以(m-18)(m+2)=0,所以m=-2或m=18(舍)(m<0),所以b=(-2,6).(2)因?yàn)閏與b同向,所以可設(shè)c=λb=(-2λ,6λ)(λ>0),所以a-c=(1+2λ,2-6λ),因?yàn)?a-c)⊥a,所以(a-c)·a=0,所以1+2λ+4-12λ=0,所以λ=QUOTE,所以c=(-1,3),所以|c|=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-3),則(a+b)·(b-a)= ()A.8 B.18 C.-8 D.-18【解析】選A.方法一:因?yàn)閍=(1,2),b=(-2,-3),則(a+b)·(b-a)=b2-a2=13-5=8.方法二:因?yàn)閍=(1,2),b=(-2,-3),則a+b=(-1,-1),b-a=(-3,-5),所以(a+b)·(b-a)=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.2.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|等于()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.10【解析】選B.因?yàn)閍=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,所以x=2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.所以a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=QUOTE=QUOTE.3.(多選題)已知向量a=(3,4),b=(-4,-3),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.a與b的夾角是直角B.a與b的夾角是平角C.a+b與a-b的夾角是直角D.a在b上投影的數(shù)量等于b在a上投影的數(shù)量【解析】選CD.由向量a=(3,4),b=(-4,-3),得a·b=-24<0,所以a與b的夾角是鈍角.(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b與a-b的夾角是直角.a在b上投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>=QUOTE=-QUOTE,b在a上投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=QUOTE=-QUOTE.4.函數(shù)y=tanQUOTE的部分圖像如圖所示,則(+)·= ()A.-6 B.-4 C.4 D.6【解析】選D.由y=tanQUOTE的圖像可知A(2,0),B(3,1),所以+=(5,1),=(1,1),所以·=6.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知⊥,||=QUOTE,||=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則·的最大值等于 ()A.13B.15C.19D.21【解析】選A.如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),,所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),BQUOTE,C(0,t),所以=(1,0),=(0,1),所以=+=(1,0)+4(0,1)=(1,4),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),=QUOTE,=(-1,t-4),所以·=1-QUOTE-4t+16=-QUOTE+17≤-4+17=13.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=4t,即t=QUOTE時(shí)取“=”,所以·的最大值為13.二、填空題(每小題4分,共16分)5.已知向量a=(1,-QUOTE),b=(-QUOTE,1),則a與b夾角的大小為.

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(1,-QUOTE),b=(-QUOTE,1),所以a與b夾角θ滿(mǎn)意cosθ=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,又因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=QUOTE.答案:QUOTE6.已知平面對(duì)量a,b的夾角為60°,a=(2,0),|a+2b|=2QUOTE,則|b|=.

【解析】因?yàn)閍=(2,0),所以|a|=2,把|a+2b|=2QUOTE兩邊平方可得a2+4a·b+4b2=12,即|a|2+4|a|·|b|cos<a,b>+4|b|2=12,代入數(shù)據(jù)可得22+4×2|b|×QUOTE+4|b|2=12,整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1.答案:17.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),·=4,·=-1,則·的值是.

【解析】方法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(-a,0),C(a,0),A(b,c),則EQUOTE,FQUOTE,=(b+a,c),=(b-a,c),=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,由·=b2-a2+c2=4,·=QUOTE-a2+QUOTE=-1,解得b2+c2=QUOTE,a2=QUOTE,則·=QUOTE(b2+c2)-a2=QUOTE.方法二:設(shè)=a,=b,則·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=QUOTE,|b|2=QUOTE,則·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點(diǎn)E和F分別在線(xiàn)段BC和DC上,且=QUOTE,=QUOTE,則·的值為.

【解析】方法一:取,為一組基底,則=-=QUOTE-,=++=-++QUOTE=-QUOTE+,所以·=·=QUOTE||2-QUOTE·+QUOTE||2=QUOTE×4-QUOTE×2×1×QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二:以AB所在直線(xiàn)為x軸,A為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系.由于A(yíng)B=2,BC=1,∠ABC=60°,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高為QUOTE,所以A(0,0),B(2,0),DQUOTE,CQUOTE,所以=QUOTE,=(1,0),又因?yàn)?QUOTE,=QUOTE,所以EQUOTE,FQUOTE,因此·=QUOTE·QUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.設(shè)平面對(duì)量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),則|a|=.若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是.

【解析】由題意得|a|=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閍與b的夾角為鈍角,所以a·b=-2λ-1<0,解得λ>-QUOTE.又當(dāng)λ=2時(shí),向量a=(-2,1),b=(2,-1)共線(xiàn)反向,滿(mǎn)意a·b<0,但此時(shí)向量的夾角不是鈍角,故λ=2不合題意.綜上λ的取值范圍是QUOTE∪(2,+∞).答案:QUOTEQUOTE∪(2,+∞)三、解答題(共38分)9.(12分)求與向量a=(QUOTE,-1)和b=(1,QUOTE)夾角相等,且模為QUOTE的向量c的坐標(biāo).【解析】方法一:代數(shù)法設(shè)c=(x,y),由|c|=QUOTE,得x2+y2=2,又|a|=|b|=2,向量c=(x,y)與向量a=(QUOTE,-1)和b=(1,QUOTE)夾角相等,得QUOTE=QUOTE,即y=(2-QUOTE)x,代入x2+y2=2,整理得x2=QUOTE,解得x1=QUOTE,x2=-QUOTE,故y1=QUOTE,y2=-QUOTE,所以c=QUOTE或c=QUOTE.方法二:幾何法因?yàn)閨a|=|b|=2,a·b=0,所以△AOB為等腰直角三角形,如圖,因?yàn)閨|=QUOTE,∠AOC=∠BOC,所以C為AB中點(diǎn),所以CQUOTE,即c==QUOTE.依題意,c=QUOTE也符合題意,所以c=QUOTE或c=QUOTE.10.(12分)已知平面上三點(diǎn)A,B,C,滿(mǎn)意=(2,4),=(2-k,3).(1)假如A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)k滿(mǎn)意的條件.(2)假如A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,求實(shí)數(shù)k的值.【解題指南】(1)由A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),建立向量坐標(biāo)的方程求解.(2)探討直角三角形的頂點(diǎn)位置,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解.【解析】(1)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,所以A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),即∥,得4(2-k)=6,解得k=QUOTE.(2)因?yàn)?(2-k,3),所以=(k-2,-3),所以=+=(k,1).由于A(yíng),B,C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,①當(dāng)A是直角時(shí),⊥,所以·=0,得2k+4=0,解得k=-2;②當(dāng)B是直角時(shí),⊥,所以·=0,