2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第3章 排列、組合與二項式定理 3.1 排列與組合 3.1.1 第1課時 基本計數(shù)原理教案 新人教B版選擇性必修第二冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章排列、組合與二項式定理3.1排列與組合3.1.1第1課時基本計數(shù)原理教案新人教B版選擇性必修第二冊主備人備課成員教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是排列與組合。教材的章節(jié)為高中數(shù)學第3章“排列、組合與二項式定理”中的3.1“排列與組合”。具體內(nèi)容為3.1.1第1課時“基本計數(shù)原理教案”。

教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：學生在之前的學習中已經(jīng)掌握了有理數(shù)的乘方和整數(shù)的乘方，這為理解排列與組合的概念打下了基礎。同時，學生也學習了函數(shù)、集合等數(shù)學概念，這些知識都將有助于學生對排列與組合的理解和應用。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學抽象。

首先，通過學習排列與組合的概念和原理，學生能夠培養(yǎng)邏輯推理能力，能夠從已知的事實出發(fā)，推導出排列與組合的規(guī)律，理解其內(nèi)在邏輯關系。

其次，學生能夠通過實例分析和問題解決，掌握排列與組合在實際問題中的應用，培養(yǎng)數(shù)學建模的能力，能夠將實際問題轉化為數(shù)學問題，并利用排列與組合的知識進行解決。

最后，通過探索排列與組合的性質(zhì)和規(guī)律，學生能夠抽象出數(shù)學模型，培養(yǎng)數(shù)學抽象的能力，能夠從具體的事物中抽象出一般的規(guī)律，并能夠運用這些規(guī)律進行推理和解決問題。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了哪些相關知識：在開始本節(jié)課之前，學生應該已經(jīng)掌握了有理數(shù)的乘方、整數(shù)的乘方、函數(shù)、集合等數(shù)學概念。這些知識將為學生理解排列與組合的概念打下基礎。同時，學生也應該具備一定程度的問題解決能力和數(shù)學思維能力，這將有助于他們在學習排列與組合時進行更好的理解和應用。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：學生在學習數(shù)學時，可能對具有實際應用背景的知識更感興趣。因此，在教學過程中，教師可以通過引入生活中的實例和問題，激發(fā)學生的學習興趣。在學習能力方面，學生可能存在差異，有的學生可能對抽象的數(shù)學概念掌握得較好，而有的學生可能更擅長具體的操作和實踐。因此，教師在教學時應注重因材施教，通過不同的教學方法和教學素材，滿足不同學生的學習需求。在學習風格方面，有的學生可能喜歡通過自主探索學習，而有的學生可能更傾向于通過與他人合作學習。教師可以根據(jù)學生的不同學習風格，采取相應的教學策略，促進學生的學習效果。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學習排列與組合時，學生可能對排列與組合的概念和原理理解起來有困難，尤其是對于一些抽象的數(shù)學模型和規(guī)律的把握。同時，學生可能在將實際問題轉化為數(shù)學問題，并利用排列與組合的知識進行解決時遇到挑戰(zhàn)。此外，學生可能對排列與組合在不同情境下的應用有一定的疑惑，不知道如何靈活運用所學的知識。針對這些困難和挑戰(zhàn)，教師需要通過耐心講解、舉例說明、引導思考等方式，幫助學生理解和掌握排列與組合的知識，并能夠應用到實際問題中。同時，教師可以組織學生進行討論和交流，讓學生相互借鑒和學習，共同克服困難，提高學習效果。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計算機、白板、黑板、粉筆、教學卡片、計算器、數(shù)學模型等。

2.課程平臺：學校提供的教學管理系統(tǒng)，如Moodle或Blackboard，用于發(fā)布教學材料、作業(yè)和測試。

3.信息化資源：教學PPT、視頻講座、在線習題庫、數(shù)學軟件（如GeoGebra）、排列與組合的案例研究等。

4.教學手段：講演法、互動討論、小組合作、案例分析、問題解決、實踐操作、反饋與評價等。

5.輔助材料：教科書、輔導書、練習冊、在線資源鏈接、實際問題收集材料等。

6.評估工具：課堂練習、小測驗、作業(yè)、項目作業(yè)、自我評估表、同伴評估等。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對排列與組合的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道排列與組合是什么嗎？它們在數(shù)學和生活中有什么應用？”

展示一些實際問題場景，如舉辦活動時的座位安排、商品組合優(yōu)惠等，讓學生初步感受排列與組合的應用。

簡短介紹排列與組合的基本概念和重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.排列與組合基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解排列與組合的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解排列與組合的定義，包括其主要組成元素或結構。

詳細介紹排列與組合的計算方法和原理，使用圖表或示意圖幫助學生理解。

3.排列與組合案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解排列與組合的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的排列與組合案例進行分析。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解排列與組合的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用排列與組合解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與排列與組合相關的主題進行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對排列與組合的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內(nèi)容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)排列與組合的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，包括排列與組合的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)排列與組合在現(xiàn)實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用排列與組合。

布置課后作業(yè)：讓學生撰寫一篇關于排列與組合的應用案例報告，以鞏固學習效果。知識點梳理本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是排列與組合，涉及到高中數(shù)學第3章“排列、組合與二項式定理”中的3.1“排列與組合”。具體內(nèi)容為3.1.1第1課時“基本計數(shù)原理教案”。以下是對本節(jié)課知識點的詳細梳理：

1.排列與組合的定義：

-排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有可能的順序排列的個數(shù)。

-組合：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有可能的非順序排列的個數(shù)。

2.排列的計算公式：

-排列數(shù)公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的階乘。

-特殊情況的排列數(shù)：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.組合的計算公式：

-組合數(shù)公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的階乘。

-特殊情況的組合數(shù)：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列與組合的性質(zhì)：

-排列與組合是相互獨立的，即從n個元素中先進行排列再進行組合的結果與先進行組合再進行排列的結果相同。

-排列與組合滿足交換律，即對于任意兩個元素a和b，A(n,m)(a,b)=A(n,m)(b,a)和C(n,m)(a,b)=C(n,m)(b,a)。

-排列與組合滿足結合律，即對于任意三個元素a、b和c，A(n,m)(a,b,c)=A(n,m)(a,b)A(n,m)(c)和C(n,m)(a,b,c)=C(n,m)(a,b)C(n,m)(c)。

5.排列與組合的應用：

-活動安排：如聚會座位安排、比賽選手排序等。

-商品組合優(yōu)惠：如買一送一、打折組合套餐等。

-問題解決：如求解排列組合問題、計算概率等。

6.實際問題轉化為排列組合問題的方法：

-確定元素：將問題中的每個選項或物品看作是一個元素。

-確定排列組合方式：根據(jù)問題的要求，確定是進行排列還是組合。

-計算排列組合數(shù)：根據(jù)排列與組合的公式，計算出所有可能的排列或組合數(shù)。

-得出結果：根據(jù)計算出的排列組合數(shù)，得出問題的解答。典型例題講解例題1：排列問題

題目：從5本不同的書中隨機抽取3本進行閱讀，求不同的抽取方法有多少種？

解答：

這是一個排列問題，因為題目要求書的順序。

使用排列數(shù)公式A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n=5，m=3。

計算得到A(5,3)=5!/(5-3)!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=60。

所以，不同的抽取方法有60種。

例題2：組合問題

題目：一個班級有20名學生，從中選出10名參加數(shù)學競賽，求不同的選法有多少種？

解答：

這是一個組合問題，因為題目不要求學生的順序。

使用組合數(shù)公式C(n,m)=A(n,m)/m!，其中n=20，m=10。

計算得到C(20,10)=A(20,10)/10!=(20×19×18×...×11)/(10×9×8×...×1)。

所以，不同的選法有大約1.21×10^12種。

例題3：排列與組合混合問題

題目：一個籃子里有5個蘋果，3個橘子和2個香蕉，如果隨機取出2個水果，求取出的水果既有蘋果又有橘子的方法有多少種？

解答：

這個問題涉及到排列與組合的混合。

我們可以先計算出所有可能的取法，即A(10,2)。

然后計算出只有蘋果或只有橘子的取法，分別是A(5,2)和A(3,2)。

最后，用總的取法減去只有蘋果和只有橘子的取法，即A(10,2)-(A(5,2)+A(3,2))。

計算得到A(10,2)=10!/(10-2)!=45，A(5,2)=5!/(5-2)!=10，A(3,2)=3!/(3-2)!=3。

所以，取出的水果既有蘋果又有橘子的方法有45-(10+3)=22種。

例題4：排列的應用問題

題目：一個班級有6名女生和4名男生，班主任要從這些學生中選出3名班干部，要求女生至少占一名，求選法的種數(shù)？

解答：

這個問題是排列的應用問題。

我們可以分為三種情況：一女兩男、兩女一男、三女。

計算每種情況的選法種數(shù)，然后相加。

一女兩男的情況有C(6,1)×C(4,2)種，兩女一男的情況有C(6,2)×C(4,1)種，三女的情況有C(6,3)種。

計算得到一女兩男的選法有6×6=36種，兩女一男的選法有15×4=60種，三女的選法有20種。

所以，總的選法種數(shù)為36+60+20=116種。

例題5：組合的應用問題

題目：一個密碼鎖由4位數(shù)字組成，數(shù)字范圍是0到9，求設置一個密碼的方法有多少種？

解答：

這是一個組合的應用問題，因為密碼的順序不重要。

每位數(shù)字都有10種選擇（0-9），所以總的組合方法是10×10×10×10=10^4種。

所以，設置一個密碼的方法有10^4種。教學反思今天我上了一節(jié)關于排列與組合的課，總體來說，學生們表現(xiàn)得非常積極，參與度很高。在講解基本概念和公式時，我發(fā)現(xiàn)學生們對于排列的計算公式A(n,m)=n!/(n-m)!和組合的計算公式C(n,m)=A(n,m)/m!理解得比較到位，能夠正確應用這些公式來解決問題。

在解決排列與組合混合問題時，我發(fā)現(xiàn)學生們對于將問題轉化為排列與組合的計算有些困難。這個問題可能是因為學生們對于排列與組合的混合應用還不夠熟練，需要更多的練習來加強理解和應用能力。

在課堂討論和小組活動中，我發(fā)現(xiàn)學生們能夠積極參與，提出自己的想法和解決方案。這表明學生們對于排列與組合的應用有一定的理解和掌握，同時也能夠通過合作來解決問題。

在課堂小結和課后作業(yè)布置中，我強調(diào)了排列與組合在實際生活中的應用，鼓勵學生們進一步探索和應用排列與組合的知識。學生們對于排列與組合在實際生活中的應用表示出濃厚的興趣，希望能夠將所學知識應用到實際問題中。板書設計1.排列與組合的定義：

-排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有可能的順序排列的個數(shù)。

-組合：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有可能的非順序排列的個數(shù)。

2.排列的計算公式：

-排列數(shù)公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的階乘。

-特殊情況：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.組合的計算公式：

-組合數(shù)公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的階乘。

-特殊情況：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列與組合的性質(zhì)：

-排列與組合是相互獨立的。

-排列與組合滿足交換律。

-排列與組合滿足結合律。

5.排列與組合的應用：

-活動安排

-商品組合優(yōu)惠

-問題解決

6.實際問題轉化為排列組合問題的方法：

-確定元素

-確定排列組合方式

-計算排列組合數(shù)

-得出結果教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：學生們在課堂上表現(xiàn)積極，對于排列與組合的概念和公式能夠快速理解并應用。大部分學生能夠跟上教師的思路，積極參與課堂討論。然而，仍有部分學生在理解和應用排列與組合公式時存在困難，需要進一步的指導和練習。

2.小組討論成果展示：各小組在討論中表現(xiàn)出了良好的合作和溝通能力。他們能夠針對給定的問題提出自己的觀點和解決方案，并通過小組討論來達成共識。在展示中，學生們能夠清晰地表達自己的觀點，同時也能夠接受其他小組的反饋和建議。

3.隨堂測試：在隨堂測試中，大部分學生能夠正確應用排列與組合的公式來解決問題。學生們在解決實際問題時能夠靈活運用所學知識，表現(xiàn)出較好的理解和應用能力。然而，仍有部分學生在解決特定類型的問題時出現(xiàn)錯誤，需要進一步的練習和指導