新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.2　球的切、接問(wèn)題培優(yōu)課（原卷版）

§7.2球的切、接問(wèn)題球的切、接問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心．題型一定義法例1(1)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P－ABC外接球的表面積是()A．14πB．16πC．18πD．20π(2)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線(xiàn)，則球心一定在垂線(xiàn)上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．跟蹤訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)題型二補(bǔ)形法例2(1)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為()A.2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過(guò)添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為_(kāi)_______，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_______．思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟蹤訓(xùn)練2(1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π(2)已知三棱錐P－ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．題型三截面法例3(1)四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．20πD．32π(2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測(cè)量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3思維升華(1)與球截面有關(guān)的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng))．跟蹤訓(xùn)練3(1)半球內(nèi)放三個(gè)半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3)B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7)D.eq\r(3)＋eq\r(7)(2)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π課時(shí)精練1．已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在某球面上，則該球體的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)πB．4eq\r(3)πC．8πD．12π2．已知在三棱錐P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π3．(多選)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，則截面的面積可以是()A.eq\f(π,2)B．πC．9πD．13π4．若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為()A．πB．2πC．3πD．4π5．已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A．6eq\r(3)B．12eq\r(3)C．18eq\r(3)D．24eq\r(3)6．(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線(xiàn)段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說(shuō)法中正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長(zhǎng)為2D．線(xiàn)段MN的最大值為2eq\r(3)7.“阿基米德多面體”也稱(chēng)半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為1，則該多面體外接球的體積為()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8\r(2),3)πC．4πD．8π8．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)9.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線(xiàn)均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，表面積為S1，球O的體積為V2，表面積為S2，則eq\f(V1,V2)＝________，eq\f(S1,S2)＝________.10．已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，