高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精練)(原卷版+解析)

6.2等比數(shù)列5大題型【題型解讀】【題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算】1.(2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.2.(2023·河南信陽(yáng)市高三模擬）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比（）A. B.2 C. D.4.(2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．5.(2023·江西·新余四中模擬）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．26.(2023·四川成都市模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比為（）A． B． C． D．【題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】1.(2023·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．5 B．10 C．15 D．202．(2023·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．43．(2023·四川遂寧市·高三三模）在遞增的數(shù)列中，，若，且前項(xiàng)和，則（）A．3 B．4 C．5 D．64.(2023·湖北荊州市模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．5．(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）(多選)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知，，則（）A． B．C． D．n＝146.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．【題型三等比數(shù)列的判定與證明】1.(2023·浙江金華市·高三三模）已知數(shù)列{an}滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；2.（多選）(2023·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則以下一定是等比數(shù)列的是（）A． B． C． D．3．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中.證明：是等比數(shù)列；5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【題型四等比數(shù)列的最值問(wèn)題】1.(2023·青海西寧模擬）已知等比數(shù)列，，的最小值為（

）A．70 B．90 C．135 D．1502.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，若，則的最小值是______．3.(2023·遼寧丹東市·高三月考）等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積，若，，，則A． B．C．是的最大值 D．使的的最大值是40404.(2023·安徽蕪湖市·高三二模）已知無(wú)窮等比數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng) D．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)【題型五生活中的等比數(shù)列】1.(2023·江蘇·沭陽(yáng)如東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里2.(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）（多選）學(xué)校食坣每天中都會(huì)提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元4.(2023·四川宜賓市·高三一模）《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的3倍，則的值為（）(結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，)A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.86.2等比數(shù)列5大題型【題型解讀】【題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算】1.(2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，因?yàn)?，即，，解得，因此?故選：C.2.(2023·河南信陽(yáng)市高三模擬）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．答案：【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列，即解得或（舍）故答案為：3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比（）A. B.2 C. D.答案：B【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解即可.【詳解】，∴，即，解得或（舍）．故選：B4.(2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．答案：D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，化為：，解得．故選：D5.(2023·江西·新余四中模擬）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．2答案：D【解析】由，所以，.故選：D.6.(2023·四川成都市模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比為（）A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，若，則，不合題意，；，；，，解得：，，解得：.故選：C.【題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】1.(2023·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．5 B．10 C．15 D．20答案：C【解析】因?yàn)?，所以，所以；故選：C.2．(2023·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4答案：B【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.3．(2023·四川遂寧市·高三三模）在遞增的數(shù)列中，，若，且前項(xiàng)和，則（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】因?yàn)樵谶f增的數(shù)列中，，所以數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，解得?舍)，所以，即，————①又因?yàn)椋?，———————②①②?lián)立，解得，.故選：B.4.(2023·湖北荊州市模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】是等比數(shù)列，也稱等比數(shù)列，，設(shè)，則，，則，.故選：D.5．(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）(多選)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知，，則（）A． B．C． D．n＝14答案：BD【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，可得，又由，所以A、C不正確；因?yàn)椋傻?，所以，解得，所以B、D正確.故選：BD.6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．答案：C【解析】當(dāng)時(shí)，，又，即前10項(xiàng)分別為，所以數(shù)列的前10項(xiàng)中，，所以，故選：C．【題型三等比數(shù)列的判定與證明】1.(2023·浙江金華市·高三三模）已知數(shù)列{an}滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；答案：證明見(jiàn)解析，；【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,∵a1≠0，∴由遞推關(guān)系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,又∵,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，,；2.（多選）(2023·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則以下一定是等比數(shù)列的是（）A． B． C． D．答案：BC【解析】因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列,則,對(duì)于選項(xiàng)A,,因?yàn)椴皇浅?shù),故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,,因?yàn)闉槌?shù),故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,,因?yàn)闉槌?shù),故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,若,即時(shí),該數(shù)列不是等比數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故答案為:BC3．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；答案：證明見(jiàn)解析，；【解析】證明：∵，，∴，，又，∴，故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴，故.4．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中.證明：是等比數(shù)列；【解析】證明：因?yàn)椋?，又，∴是首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列；5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，故?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2；(2)由（1）可知，所以，所以．【題型四等比數(shù)列的最值問(wèn)題】1.(2023·青海西寧模擬）已知等比數(shù)列，，的最小值為（

）A．70 B．90 C．135 D．150答案：B【解析】設(shè)的公比為，由等比數(shù)列的知識(shí)可知，，結(jié)合可得，.由基本不等式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，若，則的最小值是______．答案：【解析】由題知，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的最小值是故答案為：3.(2023·遼寧丹東市·高三月考）等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積，若，，，則A． B．C．是的最大值 D．使的的最大值是4040答案：AD【解析】根據(jù)條件可得，則，,又選項(xiàng)A.，所以若，則，所以與條件矛盾.所以，所以選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.由,，可得等比數(shù)列單調(diào)遞減.又，可得，，所以選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.由，，可得等比數(shù)列單調(diào)遞減.可得，，即數(shù)列的前項(xiàng)大于1，當(dāng)時(shí)，所以是的最大值，所以選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.，由上可知，可得，由此類推可得當(dāng)時(shí)，，由，可得，由此類推可得可得當(dāng)時(shí)，所以使的的最大值是4040，所以選項(xiàng)D正確故選：AD4.(2023·安徽蕪湖市·高三二模）已知無(wú)窮等比數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng) D．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)答案：C【解析】因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列滿足，所以，即，由，所以，又，所以所以當(dāng)時(shí)，，遞減，單調(diào)遞增，所以有最小項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，不具有單調(diào)性，不單調(diào)，但，，，且，所以有最小項(xiàng)；故選：C【題型五生活中的等比數(shù)列】1.(2023·江蘇·沭陽(yáng)如東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里答案：A【解析】記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，.故選：A．2.(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）（多選）學(xué)校食坣每天中都會(huì)提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．答案：ABC【解析】由于每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，所以，故A正確；依題意，，則.又時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故B正確所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以C正確，錯(cuò)誤.故選：ABC.3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召