高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精講)(原卷版+解析)

6.2等比數(shù)列5大題型【題型解讀】【知識儲備】1．等比數(shù)列的有關概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.(2)前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．【題型精講】【題型一等比數(shù)列基本量的運算】必備技巧等比數(shù)列運算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(3)在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．例1(2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高三階段練習）等比數(shù)列中，，．則的公比q為（

）A．2B．2或C．D．3例2(2023·河南信陽市高三模擬）已知正項數(shù)列滿足，的前項和為，則（）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習）記為正項等比數(shù)列的前項和，若，，則的值為（

）A．B．C．D．2.（全國2卷）數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.53.(2023·江西·新余四中模擬）已知為等比數(shù)列的前項和，若，，則公比（）A. B.C.或1 D.或14.（新全國1山東）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【題型二等比數(shù)列的性質及應用】必備技巧等比數(shù)列的性質(1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(2)．若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．(3)．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(4)．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(5)．當q≠0，q≠1時，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝eq\f(a1,1－q).(6)．有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．例3(1)(2023·遼寧沈陽·三模）在等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（

）A．B．C．D．(2)(2023·全國高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10(3)(2023·湖南·長沙一中）在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，則a41a42a43a44＝________.(4)設數(shù)列{an}、{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)，則logb5a5＝________.(5)(2023·陜西·交大附中模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A．B．C．D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為（

）A．12 B．30C．45 D．813.(2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-14．(2023·全國高三檢測）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.【題型三等比數(shù)列的判定與證明】必備技巧判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為常數(shù)且不為零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)等比中項法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(4)構造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b關系時，往往構造數(shù)列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可．例4(全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式．例4(2023·江西·贛州市第三中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設，證明.【題型精練】1．(2023·吉林長春·模擬預測）已知數(shù)列和滿足，，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．2．(2023·全國·高三專題練習）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【題型四等比數(shù)列的最值問題】例6(2023·全國·高三專題練習）（多選）等比數(shù)列中，公比為，其前項積為，并且滿足.，，下列選項中，正確的結論有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于198例7(2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（

）A．B．C．數(shù)列存在最大值D．是數(shù)列中的最大值【題型精練】1.(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理））已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項和．則的最小值為（

）A． B． C． D．2.(2023·寧夏·石嘴山市第三中學模擬預測（理））已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．3．（多選）(2023·廣東東莞市模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，，則下列選項正確的是（）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【題型五生活中的等比數(shù)列】例8(2023·江蘇·沭陽如東中學模擬預測）著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（

）參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771A．6B．7C．8D．9例9(2023·江蘇南通·模擬預測）雪花曲線是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從圖①的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊得到圖②，重復進行這一過程可依次得到圖③、圖④等一系列“雪花曲線”．①

②

③

④若第①個圖中的三角形的邊長為1，則第②個圖形的面積為___________；第n個圖中“雪花曲線”的周長Cn為___________．【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習）音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；……．依次損益交替變化，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個音階．據(jù)此可推得（

）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列2.(2023·全國·高三專題練習）《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．26.2等比數(shù)列5大題型【題型解讀】【知識儲備】1．等比數(shù)列的有關概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.(2)前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．【題型精講】【題型一等比數(shù)列基本量的運算】必備技巧等比數(shù)列運算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(3)在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．例1(2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高三階段練習）等比數(shù)列中，，．則的公比q為（

）A．2B．2或C．D．3答案：B【解析】由題意，故選：B例2(2023·河南信陽市高三模擬）已知正項數(shù)列滿足，的前項和為，則（）A． B． C． D．答案：A【解析】由,得，又為正項數(shù)列，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，設首項為，則，，則.故選：A.【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習）記為正項等比數(shù)列的前項和，若，，則的值為（

）A．B．C．D．答案：A【解析】設公比為，則，得，解得（舍去），∴.故選：A.2.（全國2卷）數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.3.(2023·江西·新余四中模擬）已知為等比數(shù)列的前項和，若，，則公比（）A. B.C.或1 D.或1答案：C【解析】分析：設等比數(shù)列的公比為q.利用基本量代換列方程組即可求出q.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.因為，，所以，，即，，所以，解得或.故選：C.4.（新全國1山東）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．答案：（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個.所以.【題型二等比數(shù)列的性質及應用】必備技巧等比數(shù)列的性質(1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(2)．若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．(3)．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(4)．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(5)．當q≠0，q≠1時，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝eq\f(a1,1－q).(6)．有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．例3(1)(2023·遼寧沈陽·三模）在等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（

）A．B．C．D．答案：C【解析】解：在等比數(shù)列中，因為為方程的兩根，所以，所以，所以.故選：C.(2)(2023·全國高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10答案：A【解析】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.(3)(2023·湖南·長沙一中）在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，則a41a42a43a44＝________.答案：1024【解析】由性質可知，依次4項的積為等比數(shù)列，設公比為p，設T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.(4)設數(shù)列{an}、{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)，則logb5a5＝________.答案：eq\f(9,19)【解析】由題意知eq\f(S9,T9)＝eq\f(lga1·a2·…·a9,lgb1·b2·…·b9)＝eq\f(lga\o\al(9,5),lgb\o\al(9,5))＝eq\f(lga5,lgb5)＝logb5a5＝eq\f(9,19).(5)(2023·陜西·交大附中模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】因為等比數(shù)列的前項和為，且，所以，，，所以，即，解得.故選：B【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A．B．C．D．答案：A【解析】【詳解】在等比數(shù)列{an}中，由，得則故選A.2．(2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為（

）A．12 B．30C．45 D．81答案：C【解析】顯然公比不為-1，是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，，，，則，，則.故選：C.3.(2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1答案：A【解析】設等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A4．(2023·全國高三檢測）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.答案：eq\f(64,7)(1－2－3n)【解析】設數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，解得q＝eq\f(1,2)，a1＝eq\f(a2,q)＝4.易知數(shù)列{anan＋1an＋2}是首項為a1a2a3＝4×2×1＝8，公比為q3＝eq\f(1,8)的等比數(shù)列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq\f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8n))),1－\f(1,8))＝eq\f(64,7)(1－2－3n)．【題型三等比數(shù)列的判定與證明】必備技巧判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為常數(shù)且不為零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)等比中項法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(4)構造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b關系時，往往構造數(shù)列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可．例4(全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式．【解析】(1)證明：由題設得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq\f(1,2)(an＋bn)．又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．由題設得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)知，an＋bn＝eq\f(1,2n－1)，an－bn＝2n－1，所以an＝eq\f(1,2)[(an＋bn)＋(an－bn)]＝eq\f(1,2n)＋n－eq\f(1,2)，bn＝eq\f(1,2)[(an＋bn)－(an－bn)]＝eq\f(1,2n)－n＋eq\f(1,2).例4(2023·江西·贛州市第三中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設，證明.【解析】(1)證明：因為，，則，，，以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，，且，是首項為，公比為的等比數(shù)列.(2)證明：由（1）知，，，，.【題型精練】1．(2023·吉林長春·模擬預測）已知數(shù)列和滿足，，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)由，，兩式相減得：，，則，所以是等比數(shù)列.(2)由，，兩式相加得：，即，因為，所以，由（1）知，所以，所以的前項和.2．(2023·全國·高三專題練習）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為，因為，則，解得或（舍去），所以；(2)證明：因為，所以，即，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【題型四等比數(shù)列的最值問題】例6(2023·全國·高三專題練習）（多選）等比數(shù)列中，公比為，其前項積為，并且滿足.，，下列選項中，正確的結論有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于198答案：ABD【解析】對于，，，.，.又，，且.，故正確；對于，，，即，故正確；對于，由于，而，故有，故錯誤；對于，，，故正確.不正確的是.故選：.例7(2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（

）A．B．C．數(shù)列存在最大值D．是數(shù)列中的最大值答案：D【解析】因為是公比為的等比數(shù)列，且，，，所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于.對于A：因為，所以，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項都為正值，所以無最大值，所以數(shù)列無最大值，故C不正確；對于D：因為在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.故選：D.【題型精練】1.(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理））已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項和．則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知可得，即，可得，，解得，，所以，，，令，則，當時，，即，當時，，即，所以，數(shù)列中，最小，故的最小值為.故選：D.2.(2023·寧夏·石嘴山市第三中學模擬預測（理））已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．答案：C【解析】由于，，成等比數(shù)列，所以，∴，解得∴，∴所以，由雙勾函數(shù)性質知在上單調遞增，所以當時，取得最小值為：，所以的最小值為.故選：C.3．（多選）(2023·廣東東莞市模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，，則下列選項正確的是（）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．答案：ACD【解析】由可得與異號，或，又，且，可得與同號，即，且一個大于，一個小于，若，則，不符合題意；若，則，為遞減數(shù)列，滿足，故A正確；對于B選項，由于，數(shù)列為正項遞減數(shù)列，，所以，，故B選項錯誤；對于C選項，由上可知，正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，所以，是數(shù)列中的最大值，故C選項正確；對于D選項，，D選項正確.故選：ACD.【題型五生活中的等比數(shù)列】例8(2023·江蘇·沭陽如東中學模擬預測）著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的