高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.8離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征(精練)(原卷版+解析)

9.8離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【題型解讀】【題型一分布列的性質(zhì)】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）隨機變量的概率分布列如下：0123456則___________.2.(2023·河南高三月考）已知隨機變量X的分布列如表所示，則（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．3．(2023·全國高三課時練習(xí)）若隨機變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．4.隨機變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.5.已知隨機變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【題型二求離散型隨機變量的分布列】1.(2023·四川模擬）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.2.(2023·武昌模擬）某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)挑選5名隊員參加比賽，設(shè)X表示其中種子選手人數(shù)，求X的分布列．3．(2023·石家莊模擬）將個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個球，以表示取出球的最大號碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.4.(2023·臨沂二模）為了解決家長接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“”模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h，結(jié)束時間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時間講新課.為了課后服務(wù)的有序開展，某教育局就課后服務(wù)的時長在網(wǎng)絡(luò)上進行意見征集，并從中隨機抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)從樣本中隨機抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長超過200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長也超過200min的概率；(2)為了進一步了解課后服務(wù)時長的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時長超過180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時長在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.5.2022年7月，中共中央辦公廳?國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》（簡稱“雙減”政策）.某校為了落實“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.(1)求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；(2)從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【題型三離散型隨機變量的均值和方差】1.(2023·唐山二模）已知隨機變量的分布列為下表所示，若，則（

）A． B． C．1 D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（

）A． B．3C．6 D．53．(2023·高三課時練習(xí)）隨機變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．354.(2023·廣東高三模擬）1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2022年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.【題型四均值和方差在決策問題中應(yīng)用】1.(2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）2021年7月24日，在奧運會女子個人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結(jié)束．(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)請幫助甲進行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．2．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表．(1)試計算圖中的a、b值，并以此估計該單位職工一天行走步數(shù)的平均值；(2)為鼓勵職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵方案：記職工個人每日步行數(shù)為，其超過平均值的百分?jǐn)?shù)，若，職工獲得一次抽獎機會；若，職工獲得二次抽獎機會；若，職工獲得三次抽獎機會；若，職工獲得四次抽獎機會；若超過50，職工獲得五次抽獎機會．設(shè)職工獲得抽獎次數(shù)為n．方案甲：從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)即表示該職工中獎幾次；方案乙：從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)即表示該職工中獎幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，以期望為決策依據(jù)判斷哪個方案更佳？3.(2023·濟北中學(xué)高三月考）某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項選擇題，每題設(shè)置了四個選項ABCD，其中至少兩項、至多三項是符合題目要求的．在每題中，如果考生全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．小明同學(xué)參加考試時遇到一道這樣的多選題，他沒有能力判斷每個選項正確與否，只能瞎猜．假設(shè)對于每個選項，正確或者錯誤的概率均為．(1)寫出正確選項的所有可能情況；如果小明隨便選2個或3個選項，求出小明這道題能得5分的概率；(2)從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來看，小明應(yīng)該只選一個選項？還是兩個選項？還是三個選項？4.(2023·全國·模擬預(yù)測）某財經(jīng)雜志發(fā)起一項調(diào)查，旨在預(yù)測中國經(jīng)濟前景，隨機訪問了位業(yè)內(nèi)人士，根據(jù)被訪問者的問卷得分（滿分分）將經(jīng)濟前景預(yù)期劃分為三個等級（悲觀?尚可?樂觀）.分級標(biāo)準(zhǔn)及這位被訪問者得分頻數(shù)分布情況如下：經(jīng)濟前景等級悲觀尚可樂觀問卷得分12345678910頻數(shù)23510192417974假設(shè)被訪問的每個人獨立完成問卷（互不影響），根據(jù)經(jīng)驗，這位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士意見，且他們預(yù)測各等級的頻率可估計未來經(jīng)濟各等級發(fā)生的可能性.(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士，試估計至少有一人預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“樂觀”的概率；(2)某人有一筆資金，現(xiàn)有兩個備選的投資意向：物聯(lián)網(wǎng)項目或人工智能項目，兩種投資項目的年回報率都與中國經(jīng)濟前景等級有關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗，大致關(guān)系如下（正數(shù)表示贏利，負數(shù)表示虧損）：經(jīng)濟前景等級樂觀尚可悲觀物聯(lián)網(wǎng)項目年回報率（%）124人工智能項目年回報率（%）75根據(jù)以上信息，請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差，并用統(tǒng)計學(xué)知識給出投資建議.9.8離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【題型解讀】【題型一分布列的性質(zhì)】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）隨機變量的概率分布列如下：0123456則___________.答案：64【解析】根據(jù)概率分布列的概率性質(zhì)可知，所以，即，解得.故答案為：2.(2023·河南高三月考）已知隨機變量X的分布列如表所示，則（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．答案：C【解析】解：依題意，解得，所以；故選：C3．(2023·全國高三課時練習(xí)）若隨機變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．答案：【解析】由分布列的性質(zhì)，知，即.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為.故答案為：4.隨機變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.答案：1024【解析】由題意.故答案為：1024.5.已知隨機變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意得：．故選:A【題型二求離散型隨機變量的分布列】1.(2023·四川模擬）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.【解析】（1）依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為01（2）依題意可得的可能取值為，，，，，所以，，，，，所以的分布列為0120.040.20.370.30.09所以．2.(2023·武昌模擬）某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)挑選5名隊員參加比賽，設(shè)X表示其中種子選手人數(shù)，求X的分布列．答案：012【解析】解：可取，，，，故分布列如下：0123．(2023·石家莊模擬）將個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個球，以表示取出球的最大號碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.答案：(1)分布列見解析(2)【解析】(1)由已知可得隨機變量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列為(2)由（1）得.4.(2023·臨沂二模）為了解決家長接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“”模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h，結(jié)束時間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時間講新課.為了課后服務(wù)的有序開展，某教育局就課后服務(wù)的時長在網(wǎng)絡(luò)上進行意見征集，并從中隨機抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)從樣本中隨機抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長超過200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長也超過200min的概率；(2)為了進一步了解課后服務(wù)時長的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時長超過180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時長在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.答案：(1)(2)X0123P，【解析】(1)依題意，課后服務(wù)時長超過200min的調(diào)查表共有（份），設(shè)事件A為其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長超過200min，事件B為另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長也超過200min，則，，故.(2)根據(jù)題意及分層抽樣的知識可知，抽取的10人中，建議課后服務(wù)時長在內(nèi)的有6人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望.5.2022年7月，中共中央辦公廳?國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》（簡稱“雙減”政策）.某校為了落實“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.(1)求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；(2)從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.答案：(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】(1)由統(tǒng)計圖可知，25名教師中，參與課后服務(wù)2次的有4人，參與課后服務(wù)3次的有5人，參與課后服務(wù)4次的有10人，參與課后服務(wù)5次的有6人，所以這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)為.(2)由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望.【題型三離散型隨機變量的均值和方差】1.(2023·唐山二模）已知隨機變量的分布列為下表所示，若，則（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】由，解得由隨機變量的分布列的性質(zhì)得，得所以故選：B2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（

）A． B．3C．6 D．5答案：C【解析】，只需求的最大值即可，根據(jù)題意：，，，所以，當(dāng)時，其最大值為，故的最大值為．故選：C.3．(2023·高三課時練習(xí)）隨機變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．35答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C4.(2023·廣東高三模擬）1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2022年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.答案：(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）設(shè)小王與小張比賽小王獲勝記為事件A，小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B，小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C，且A，B，C相互獨立.則設(shè)“比賽完3局時，三人各勝1局”記為事件M，則(2)X的可能取值為1，2則X的分布列為X12P則【題型四均值和方差在決策問題中應(yīng)用】1.(2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）2021年7月24日，在奧運會女子個人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結(jié)束．(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)請幫助甲進行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為；②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為．所以“只進行三局甲就成為冠軍”的概率為．(2)若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為．若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為．若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問的結(jié)果．因為，所以甲第一局選擇和丙比賽，最終獲得冠軍的概率最大．2．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表．(1)試計算圖中的a、b值，并以此估計該單位職工一天行走步數(shù)的平均值；(2)為鼓勵職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵方案：記職工個人每日步行數(shù)為，其超過平均值的百分?jǐn)?shù)，若，職工獲得一次抽獎機會；若，職工獲得二次抽獎機會；若，職工獲得三次抽獎機會；若，職工獲得四次抽獎機會；若超過50，職工獲得五次抽獎機會．設(shè)職工獲得抽獎次數(shù)為n．方案甲：從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)即表示該職工中獎幾次；方案乙：從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回的逐個抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)即表示該職工中獎幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，以期望為決策依據(jù)判斷哪個方案更佳？【解析】（1）由題意得：解得，，∴；（2）某職工日行步數(shù)（百步），，∴職工獲得三次抽獎機會，設(shè)職工中獎次數(shù)為X，在方案甲下，則分布列為：X0123P；在方案乙下：的可能取值為0，1，2，3，，，，所以分布列為：X0123P，因為，所以方案乙更佳．3.(2023·濟北中學(xué)高三月考）某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項選擇題，每題設(shè)置了四個選項ABCD，其中至少兩項、至多三項是符合題目要求的．在每題中，如果考生全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．小明同學(xué)參加考試時遇到一道這樣的多選題，他沒有能力判斷每個選項正確與否，只能瞎猜．假設(shè)對于每個選項，正確或者錯誤的概率均為．(1)寫出正確選項的所有可能情況；如果小明隨便選2個或3個選項，求出小明這道題能得5分的概率；(2)從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來看，小明應(yīng)該只選一個選項？還是兩個選項？還是三個選項？答案：(1)；(2)只選一個選項.【解析】(1)依題意，對于這道多選題，可能的正確答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有種，它們等可能，記事件A為“小明這道題隨便選2個或3個選項能得5分”，而正確答案只有1個，則有，所以小明這道題能得5分的概率.(2)如果小明只選一個選項，那么他這道題的得分X的所有可能取值為0和2，小明選了一項，若有兩項符合要求，則與所選項組成兩項的結(jié)果有，若有三項符合要求，則與所選項組成三項的結(jié)果有，于是有，，則有X的分布列為：02X的數(shù)學(xué)期望為，如果小明只選兩個選項，那么他這道題的得分Y的所有可能取值為0，2，5，的事件是小明所選兩項恰好符合要求，只有1個結(jié)果，若有