高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.7拋物線方程及其性質(zhì)(精講)(原卷版+解析)

8.7拋物線方程及其性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.【題型精講】【題型一拋物線的定義及應(yīng)用】方法技巧處理拋物線定義的技巧“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．例2(2023·福建高三期末））已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．例3(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．2.(2023·深圳模擬)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為_(kāi)_______．3.(2023·全國(guó)高三模擬）動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【題型二拋物線的方程】例4(2023·青島高三模擬）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或例5(2023·山東日照高三模擬）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，過(guò)其焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，且，則該拋物線的方程為（）A． B． C． D．【跟蹤精練】1．(2023·武功縣普集高級(jí)中學(xué)期末）已知直線：與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且拋物線上存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線的方程為（）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)高三模擬）雙曲線：和拋物線：相交于點(diǎn)，，若的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則拋物線的方程為（）．A． B．C． D．【題型三拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】方法技巧焦點(diǎn)弦的結(jié)論（1）．（2）．（3）．例6(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4例7(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)，圓，過(guò)圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62例8設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．2.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____.3.(2023·山西太原五中高三期末）（多選）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（）A． B．2 C． D．-24.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．4 D．1【題型四直線和拋物線】方法技巧直線和拋物線(1)求解直線與拋物線問(wèn)題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問(wèn)題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則可用弦長(zhǎng)公式．例9(2023·湖北模擬）已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，.（1）求拋物線C的方程.（2）試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2023·江西·高三開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)若直線交y軸于點(diǎn)M,且,m、n是實(shí)數(shù),對(duì)于直線,m+n是否為定值?若是,求出m+n的值；否則,說(shuō)明理由.8.7拋物線方程及其性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.【題型精講】【題型一拋物線的定義及應(yīng)用】方法技巧處理拋物線定義的技巧“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．答案：D【解析】由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，可得，解得故選：D.例2(2023·福建高三期末））已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．例3(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.2.(2023·深圳模擬)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為_(kāi)_______．答案：【解析】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，所以的最小值為，故答案為：3.(2023·全國(guó)高三模擬）動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【解析】∵動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．∴動(dòng)點(diǎn)M到軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，且．∴拋物線的方程為，又∵x軸上點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)的距離小2，∴M點(diǎn)的軌跡方程為②．綜上，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為或．【題型二拋物線的方程】例4(2023·青島高三模擬）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或答案：A【解析】設(shè)為，則，又由，所以，因?yàn)?，所以，可得，由，?lián)立方程組，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程為或．故選：A．例5(2023·山東日照高三模擬）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，過(guò)其焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，且，則該拋物線的方程為（）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)，，，拋物線的方程為，，由可得，所以所以，，所以，，，，所以，，，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以拋物線的方程為．故選：A.【跟蹤精練】1．(2023·武功縣普集高級(jí)中學(xué)期末）已知直線：與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且拋物線上存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線的方程為（）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以設(shè)，因?yàn)?，可得，又由點(diǎn)在拋物線上，可得，即，解得或（舍去），所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.2．(2023·全國(guó)高三模擬）雙曲線：和拋物線：相交于點(diǎn)，，若的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則拋物線的方程為（）．A． B．C． D．答案：A【解析】根據(jù)雙曲線和拋物線的對(duì)稱性可知，是的外接圓的直徑，所以圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為，即.由解得或.故可設(shè)，將或的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，所以拋物線的方程為.故選：A【題型三拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題】方法技巧焦點(diǎn)弦的結(jié)論（1）．（2）．（3）．例6(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4答案：D【解析】由題知，準(zhǔn)線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，解法1：因?yàn)檩S，所以直線斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，則.解法3：過(guò)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，則.故選：D.例7(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)，圓，過(guò)圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62答案：B【解析】解法一：設(shè)拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，即直線l過(guò)焦點(diǎn)F.設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為和，由聯(lián)立，得，∴，，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).解法二：，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.例8設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)答案：D【解析】由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq\r(3)y－3＝0.與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得4y2－12eq\r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.因此S△OAB＝eq\f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×6＝eq\f(9,4).[應(yīng)用結(jié)論]由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.原點(diǎn)到直線AB的距離d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\f(9,4).【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．答案：B【解析】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長(zhǎng)為．故選：B．2.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____.答案：8【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則其斜率存在，設(shè)的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．3.(2023·山西太原五中高三期末）（多選）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（）A． B．2 C． D．-2答案：BD【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以,，，,由題得.因?yàn)?，所?滿足.故選：BD4.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．4 D．1答案：B【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以代入直線方程得，即，所以直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以弦長(zhǎng)，又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為,故選B.【題型四直線和拋物線】方法技巧直線和拋物線(1)求解直線與拋物線問(wèn)題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問(wèn)題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則可用弦長(zhǎng)公式．例9(2023·湖北模擬）已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2