高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（全解全析）（含答案）

第一章空間向量與立體幾何同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析1．C【解析】【分析】由題意得到，列出方程，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意得：，所以，解得：故選：C2．D【解析】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面結(jié)論：若四點(diǎn)共面，則且，【詳解】若，，，四點(diǎn)共面，則，則故選：D．3．A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求解.【詳解】解：因?yàn)槿忮F中，，，，所以，故選：A.4．C【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直平行的性質(zhì)判斷即可【詳解】由題，因?yàn)?，故，又，故故選：C5．A【解析】【分析】結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為，故選：A.6．A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：A7．D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D8．C【解析】【分析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.9．AC【解析】【分析】求得判斷選項(xiàng)A；求得判斷選項(xiàng)B；求得判斷選項(xiàng)C；求得判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：.判斷正確；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：.判斷錯(cuò)誤.故選：AC10．AD【解析】【詳解】根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項(xiàng)判斷即可.【解答】解：，，是空間的三個(gè)單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯(cuò)誤；由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯(cuò)誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.11．BCD【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，2），然后利用向量可判斷ABC的正誤，當(dāng)P為底面EFGH的中心時(shí)，外接球球心為棱AM的中點(diǎn)，然后可判斷D.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，2）（），，為求的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于平面EFGH的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為∴故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．由可得故B選項(xiàng)正確．時(shí)，即，此時(shí)由點(diǎn)P坐標(biāo)為得到點(diǎn)P軌跡是連接棱EF中點(diǎn)與棱EH中點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度為線段HF的一半，即長(zhǎng)為．故C選項(xiàng)正確．當(dāng)P為底面EFGH的中心時(shí)，由B選項(xiàng)知．易得．∴外接球球心為棱AM的中點(diǎn)，從而求得球半徑為．故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．12．ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對(duì)于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.故B正確對(duì)于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè),即,解得，，不合題意線段上不存在點(diǎn),使平面//平面，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，平面的法向量為則因?yàn)樗运缘淖畲笾禐椋蔇正確．故選：ABD13．【解析】【分析】由可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用空間向量的減法可求得、、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，，，，因此，.故答案為：.14．（答案不唯一）【解析】【分析】先求得向量的坐標(biāo)，再依據(jù)題給條件列方程去求向量的坐標(biāo)即可解決.【詳解】由點(diǎn)，可得，又向量在上的投影向量為，則則，又向量與向量不共線，則不成立則可令，即，故答案為：（答案不唯一）15．9【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則和垂直的定義計(jì)算.【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，解得.故答案為：9.16．【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得到，根據(jù)，得到或，然后利用線面角的向量求法求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋瑒t，解得或，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，則，所以，故答案為：.17．(1)(2)①；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義可得，，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，即可得解；②依題意、且根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，即可求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；(1)解：由，，知，，所以，所以；(2)解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因?yàn)?，所以，由知?jiǎng)t18．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，即可得到且，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；(1)證明：取中點(diǎn)，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：因?yàn)橹比庵?，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）利用空間向量共面定理即可求證；（2）由空間向量線性運(yùn)算可得，由空間向量共線定理可證明，再由線面平行的判定定理可得平面，同理可證明平面，由面面平行的判定定理即可求證；（3）由（2）知，再利用空間向量的線性運(yùn)算即可求證.(1)因?yàn)椋?，所以，，共面，即，，，四點(diǎn)共面．因?yàn)?，，所以，，共面，即，，，四點(diǎn)共面．(2)連接，，，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)榕c相交，所以平面平面．(3)由（2）知，所以．20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理證明，再由結(jié)合線面垂直的判定證明即可；（2）由面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出二面角的余弦值.(1)∵四邊形為矩形，，且，∴∵，∴∵，，∴，∴∵四邊形為矩形，∴∵，平面，∴平面(2)過作，交于，∵，，∴，∴由（1）知平面,平面,所以，由得平面，平面，∴平面平面，又，平面，∴平面，故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，∴，，，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∵，，∴，令，得，，∴∴∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件首先證明，再證明，由線面垂直的判定定理即可證明平面.（2）如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面MNA與底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的長(zhǎng).(1)證明：連接BD，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫裕?，．在中，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．又，平面，平面，所以平面?2)解：如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．所以，．22．(1)在翻折過程中總有平面平面，證明見解析(2)(3)存在且為線段的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）證明出平面，進(jìn)而證明面面垂直；（2）找到當(dāng)平面時(shí)，四棱錐體積最大，直線和平面所成角的為，求出，，由勾股定理得：，從而求出的正弦值；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點(diǎn)的位置(1)在翻折過程中總有平面平面，證明如下：∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點(diǎn)到平面的距離最大即可，∴當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最大值為，