考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共233題）

考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共8套）（共233題）考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、下列函數(shù)在(0，0)處不連續(xù)的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：注意≤1．在A，B中分別有=>=0=f(0，0)，f(x，y)在(0，0)連續(xù)．在D中，有界=>=>f(x，y)在(0，0)連續(xù)．因此選C．2、設(shè)z=f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處A、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)存在，可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知這說明f’x(0，0)存在且為0，同理f’y(0，0)存在且為0．所以f(x，y)在點(0，0)處可微分．故選C．3、在下列二元函數(shù)中，f"xy(0，0)≠f"yx(0，0)的二元函數(shù)是A、f(x，y)=x4+2x2y2+y10．B、f(x，y)=ln(1+x2+y2)+cosxy．C、f(x，y)=D、f(x，y)=標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對于A，B：f(x，y)均是二元初等函數(shù)，均連續(xù)，所以．因而C，D中必有一個是f"xy(0，0)=f"yx(0，0)，而另一個是f"xy(0，0)≠f’yx(0，0)．現(xiàn)考察C．當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，因此，f"xy(0，0)≠f"yx(0，0)．選C．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)4、設(shè)z=f(t，et)dt，其中f是二元連續(xù)函數(shù)，則dz=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：dz=5、設(shè)z=yf(x2－y2)，其中f(u)可微，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是方程F(x，y，z)=0所確定的隱函數(shù)，并且F(x，y，z)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識點解析：由隱函數(shù)求導(dǎo)法知(如，由F(x，y，z)=0確定x=x(y，z)，將方程對y求偏導(dǎo)數(shù)得其余類似)．將這三式相乘得=－1．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)7、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y｜=>而=0，因此原極限為0．知識點解析：暫無解析8、(Ⅰ)設(shè)f(x，y)=x2+(Ⅱ)設(shè)f(x，y)=標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+，故(Ⅱ)按定義類似可求=0(或由x，y的對稱性得)．知識點解析：暫無解析9、求下列函數(shù)在指定點處的二階偏導(dǎo)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按定義(Ⅱ)知識點解析：暫無解析10、設(shè)z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已求得第一步，先對的表達(dá)式用求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則得(*)第二步，再求．這里f(u，v)對中間變量u，v的導(dǎo)數(shù)仍然是u，v的函數(shù)，而u，v還是x，y的函數(shù)，它們的復(fù)合仍是x，y的函數(shù)，因而還要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求．即第三步，將它們代入(*)式得(**)用類似方法可求得知識點解析：暫無解析11、設(shè)u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：在極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ下有標(biāo)準(zhǔn)答案：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有再對用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及(*)式可得知識點解析：暫無解析12、設(shè)z(x，y)=x3+y3－3xy(Ⅰ)－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞，求z(x，y)的駐點與極值點．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，－2≤y≤2}，求證：D內(nèi)的唯一極值點不是z(x，y)在D上的最值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)解方程組得全部駐點(0，0)與(1，1)．再求考察(0，0)處，AC－B2＜0=>(0，0)不是極值點．(1，1)處，AC－B2＞0，A＞0=>(1，1)是極小值點．因此z(x，y)的駐點是(0，0)，(1，1)，極值點是(1，1)且是極小值點．(Ⅱ)D內(nèi)唯一極值點(1，1)是極小值點，z(1，1)=－1．D的邊界點(0，－2)處．z(0，－2)=(－2)3=－8＜z(1，1)因z(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，必存在最小值，又z(0，－2)＜z(1，1)，(0，－2)∈D=>z(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知識點解析：暫無解析13、已知平面曲線Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC－B2＞0)為中心在原點的橢圓，求它的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：橢圓上點(x，y)到原點的距離平方為d2=x2+y2，條件為Ax2+2Bxy+Cy2－1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程組將①式乘x，②式乘y，然后兩式相加得[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．從直觀知道，函數(shù)d2的條件最大值點與最小值點是存在的，其坐標(biāo)不同時為零，即聯(lián)立方程組F’x=0，F(xiàn)’y=0有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即該方程一定有兩個根λ1，λ2，它們分別對應(yīng)d2的最大值與最小值．因此，橢圓的面積為知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x，y)=(Ⅰ)求；(Ⅱ)討論f(x，y)在點(0，0)處的可微性，若可微并求df｜(0，0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，當(dāng)(x，y)=(0，0)時，因f(x，0)=0(x)，于是=0．由對稱性得當(dāng)(x，y)≠(0，0)時=0．(Ⅱ)考察在點(0，0)處的連續(xù)性．注意即在點(0，0)處均連續(xù)，因此f(x，y)在點(0，0)處可微．于是知識點解析：暫無解析15、設(shè)z=f(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：先求．由于f(xy)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合，u是中間變量，φ(x+y)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合，v是中間變量．由題設(shè)知方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得知識點解析：暫無解析16、設(shè)z=z(x，y)是由方程xy+x+y－z=ez所確定的二元函數(shù)，求dz，標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程兩邊求全微分后求出dz，由dz可求得．再將分別對x，y求導(dǎo)求得．將方程兩邊同時求全微分，由一階全微分形式不變性及全微分的四則運(yùn)算法則，得ydx+xdy+dx+dy－dz=ezdz．解出從而知識點解析：暫無解析17、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程組對x求偏導(dǎo)數(shù)得解得將方程組對y求偏導(dǎo)數(shù)同樣可得知識點解析：暫無解析18、在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求出其面積最大者．標(biāo)準(zhǔn)答案：用x，y，z表示三角形各邊所對的中心角，則三角形的面積S可用x，y，z，R表示為其中z=2π－x－y，將其代入得s=R2[sinx+siny－sin(x+y)]，定義域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．現(xiàn)求S(x，y)的駐點：解，得唯一駐點：(x，y)=在D內(nèi)部，又在D的邊界上即x=0或y=0或x+y=2π時S(x，y)=0．因此，S在取最大值．因z=y=，因此內(nèi)接等邊三角形面積最大．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(u)(u＞0)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且z=滿足方程=4(x2+y2)，求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=，則有由題設(shè)條件，得u2f"(u)+uf’(u)－1=0．這是可降階的二階方程，令P=f’(u)，則方程化為+uP=1．解此一階線性方程．將上述方程改寫成其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析20、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)u(x，y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，滿足=0，又滿足下列條件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u(x，2x)=x兩邊對x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及u’x(x，2x)=x2得u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=(1－x2)．現(xiàn)將u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=(1－x2)分別對x求導(dǎo)得u"xx(x，2x)+2u"xy(x，2x)=2x，①u"yx(x，2x)+2u"yy(x，2x)=－x．②①式×2－②式，利用條件u"xx(x，2x)－u"yy(x，2x)=0及u"xy(x，2x)=u"yx(x，2x)得3u"xy(x，2x)=5x，u"xy(x，2x)=．代入①式得u"xx(x，2x)=u"yy(x，2x)=知識點解析：暫無解析22、已知函數(shù)f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z－3+e－3=e－(x+y+z)，(*)(Ⅰ)如果x=x(y，z)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求；(Ⅱ)如果z=z(x，y)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)依題意，為f[x(y，z)，y，z]對y的偏導(dǎo)數(shù)，故有①因為題設(shè)方程(*)確定x為y，z的隱函數(shù)，所以在(*)兩邊對y求導(dǎo)數(shù)時應(yīng)將z看成常量，從而有由此可得=－1．代入①式，得(Ⅱ)同(Ⅰ)一樣，求得在題設(shè)方程(*)中將x看成常量，對y求導(dǎo)，可得=－1，故有知識點解析：暫無解析23、設(shè)y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0確定了函數(shù)t=t(x，y)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=f(x，t(x，y))兩端對x求導(dǎo)得①而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則將的表達(dá)式代入①式即得知識點解析：暫無解析24、作自變量與因變量變換：u=x+y，v=x－y．w=xy－z．變換方程為w關(guān)于u，v的偏微分方程，其中z對x，y有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于z=xy－w，則知識點解析：暫無解析25、設(shè)z=f(x，y)滿足≠0，由z=f(x，y)可解出y=y(z，x)．求：(Ⅰ)；(Ⅱ)y=y(z，x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)以z，x為自變量，y為因變量y=y(z，x)，它滿足z=f(x，y(z，x))．將z=f(x，y)對x求偏導(dǎo)數(shù)，得0=再對x求偏導(dǎo)數(shù)，得將代入上式，得利用條件得(Ⅱ)因y=y(z，x)，知識點解析：暫無解析26、求z=2x+y在區(qū)域D：x2+≤1上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，λ)=2x+y+λ(x2+－1)，解方程組由①，②得y=2x，代入③得相應(yīng)地因為z在D存在最大、最小值=>z在D的最大值為，最小值為．知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(y)連續(xù)可導(dǎo)，且g(y)在y=1處取得極值g(1)=2．求復(fù)合函數(shù)z=f(xg(y)，x+y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(1，1)處的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：計算可得f"12(xg(y)，x+y)]+f"21(xg(y)，x+y).xg‘(y)+f"22(xg(y)，x+y)．將x=1與y=1代入并利用g(1)=2，g’(1)=0即得=g’(1)f’1(2，2)+g(1)[f"11(2，2)g’(1)+f"12(2，2)]+f"21(2，2)g’(1)+f"22(2，2)=2f"12(2，2)+f"22(2，2)．知識點解析：暫無解析28、建一容積為V0的無蓋長方體水池，問其長、寬、高為何值時有最小的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長、寬、高各為x，y，z，則表面積為S=xy+2(xz+yz)，容積V0=xyz．問題是求三元函數(shù)S在條件xyz－V0=0下的最小值點．化為無條件最值問題．由條件解出z=，代入S表達(dá)式得因該實際問題存在最小值，所以當(dāng)長、寬、高分別為時無蓋長方體水池的表面積最小．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，△x是f(x，y)在點(x0，y0)處的全增量，則在點(x0，y0)處()A、△z=dz。B、△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y。C、△z=f’x(x0，y0)dx+f’y(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故選D。2、設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F’2≠0，則=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：對已知的等式兩邊求全微分可得所以整理可得因此故選B。3、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值的一個充分條件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由z=f(x)g(y)，得而且f(0)＞0，g(0)＜0。當(dāng)f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時，B2一AC＜0，且A＞0，此時z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值。故選A。4、設(shè)平面D由x+y=，x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成，，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：顯然在D上≤x+y≤l，則ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有故選C。5、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分=()A、∫01dy∫π+arcsinyπf(x，y)dx。B、∫01dy∫π—arcsinyπf(x，y)dx。C、。D、。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由題設(shè)可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π。故選B。6、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，則F’(2)=()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x—1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，從而F’(2)=f(2)。故選B。7、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為曲線r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故選B。8、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則=()A、abπ。B、。C、(a+b)π。D、。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由根據(jù)輪換對稱性可得故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz｜(1，0)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+(e+2)dy知識點解析：由已知因此dz｜(1，0)=2edx+(e+2)dy。10、設(shè)z=(x+ey)x，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：21n2+1知識點解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，則將x=1代入得11、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy確定，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2—2ln2知識點解析：把點(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy兩邊同時對x求偏導(dǎo)數(shù)，有將x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得12、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識點解析：由題干可知13、積分∫02dx∫x2e—y2dy=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1一e—4)知識點解析：積分區(qū)域如圖所示，則∫02dx∫x2e—y2dy=∫02dy∫0ye—y2dx=∫02ye—y2dy14、將∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化為極坐標(biāo)下的二次積分為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：如圖所示，則有∫0—1dy∫0yf(x2+y2)=15、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=，其中D是由，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：首先令，則A為常數(shù)，此時f(x，y)=x+Ay。即，得，因此可得。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)16、設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求標(biāo)準(zhǔn)答案：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時對x求導(dǎo)數(shù)，得到如下等式而，再在等式φ(x2，ey，z)=0的兩端同時對x求導(dǎo)數(shù)，得到解得因此，可得知識點解析：暫無解析17、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有于是知識點解析：暫無解析18、計算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析19、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖所示。因為區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)。取D1=D∩{y≥0}，則有因此知識點解析：暫無解析20、計算二重積分(x2+y2)dσ，其中D是由直線x=2，y=2，x+y=1，x+y=3以及x軸與y軸所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，積分區(qū)域是如圖所示的六邊形區(qū)域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤3一x}。于是=∫01dx∫1—x2(x2+y2)dy+∫12dx∫03—x(x2+y2)dy知識點解析：暫無解析求下列積分。21、設(shè)f(x)=∫1xe—y2，求∫01x2f(x)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且∫12f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令Ф(x)=∫1xf(y)dy，則Ф’(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01Ф(x)dФ(x)=。知識點解析：暫無解析23、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分xyf’’xy(x，y)dxdy轉(zhuǎn)化為累次積分可得xyf’’xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf’’xy(x，y)dx首先考慮∫01xyf’’xy(x，y)dx，注意這里把變量y看作常數(shù)，故有∫01xyf’’xy(x，y)dx=y∫01xdf’y(x，y)=xyf’y(x，y)｜01一∫01yf’y(x，y)dx=yf’y(1，y)一∫01yf’y(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f’y(1，y)=f’x(x，1)=0。所以∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01yf’y(x，y)dx。因此=∫01dy∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01dy∫01yf’y(x，y)dx，對該積分交換積分次序可得—∫01dy∫01yf’y(x，y)dx=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy。再考慮積分∫01yf’y(x，y)dy，注意這里把變量x看作常數(shù)，故有∫01yf’y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，因此=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy=—∫01dx∫01f(x，y)dy=。知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(χ，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足＝3，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為＝－3，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，＜0．因為當(dāng)0＜＜δ時，｜χ｜＋y2＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(χ，y)＜f(0，0)，即f(χ，y)在(0，0)處取極大值，選A．2、設(shè)u＝f(χ＋y，χz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則＝()．A、f′2＋χf〞11＋(χ＋z)f〞12＋χzf〞22B、χf〞12＋χzf〞22C、f′2＋χf〞12＋χzf〞22D、χzf〞22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：＝f′1＋zf′2，＝χf〞12＋f′2＋χzf〞22，選C．3、函數(shù)z＝f(χ，y)在點(χ0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z＝f(χ，y)在點(χ0，y0)連續(xù)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：如f(χ，y)＝在點(0，0)處可偏導(dǎo)，但不連續(xù)；又如f(χ，y)＝在(0，0)處連續(xù)，但對χ不可偏導(dǎo)．4、設(shè)可微函數(shù)f(χ，y)在點(χ0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)為零B、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)大于零C、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)小于零D、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：可微函數(shù)f(χ，y)在點(χ0，y0)處取得極小值，則有f′χ(χ0，y0)＝0，f′y(χ0，y0)＝0，于是f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)為零，選A．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)5、設(shè)z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)兩邊對χ求偏導(dǎo)得6、設(shè)y＝y(tǒng)(χ，z)是由方程eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2確定的隱函數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2兩邊對z求偏導(dǎo)得，從而7、設(shè)z＝f(χ，y)是由e2yχ＋χ＋y2＋z＝確定的函數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將代入e2yz＋χ＋y2＋z＝中得z＝0，e2yz＋χ＋y2＋z＝兩邊求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dχ＋2ydy＋dz＝0，將χ＝，y＝，z＝0代入得8、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由χ－＝0確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1知識點解析：當(dāng)χ＝0時，y＝1，χ－＝0兩邊對χ求導(dǎo)，得1－＝0，將χ＝0，y＝1代入得＝e—1．9、設(shè)z＝z(χ，y)由z＋ez＝χy2確定，則dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z＋ez＝χy2兩邊求微分得d(z＋e2)＝d(χy2)，即dz＋ezdz＝y(tǒng)2dχ＋2χydy，解得dz＝10、設(shè)z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)兩邊求χ求偏導(dǎo)得，解得11、設(shè)z＝χy＋χf()，其中f可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＋χy知識點解析：12、由方程χyz＋確定的隱函數(shù)z＝z(χ，y)在點(1，0，－1)處的微分為dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：dχ－dy知識點解析：兩邊求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．13、設(shè)f(χ，y，z)＝e2yz2，其中z＝z(z，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0確定的隱函數(shù)，則f′χ(0，1，－1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：f′χ(χ，y，z)＝，χ＋y＋z＋χyz＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得1＋＝0，將χ＝0，y＝1，z＝－1代入得解得f′χ(0，1，－1)＝1．14、設(shè)f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，則dz｜(1,3)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－7dχ＋3dy知識點解析：則＝2f′1(－1，3)－3f′2(－1，3)＝－7，＝－f′1(－1，3)＋f′2(－1，3)＝3，則dz｜(1，3)＝－7dχ＋3dy．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、設(shè)u＝f(χ，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y＝y(tǒng)(χ)，z＝z(χ)分別由方程eχy－y＝0與ez－χz＝0確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：，方程eχy－y＝0求導(dǎo)得方程ez－χz＝0兩邊對χ求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析16、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝χf(χ＋y)及F(χ，y，z)＝0兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)，得知識點解析：暫無解析17、設(shè)y＝f(χ，y)，其中t是由G(χ，y，t)＝0確定的χ，y的函數(shù)，且f(χ，t)，G(χ，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y＝f(χ，t)與G(χ，y，t)＝0兩邊對χ求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析18、設(shè)z＝z(χ，y)由方程z＋lnz－dt＝1確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ＝0，y＝0時，z＝1．z＋lnz－＝1兩邊分別對χ和y求偏導(dǎo)得兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析19、設(shè)＝0且F可微，證明：＝z－χy．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得兩邊對Y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析20、設(shè)變換可把方程＝0簡化為＝0，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u，v作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z＝f(u，v)，則有將上述式子代入方程＝0得根據(jù)題意得解得a＝3．知識點解析：暫無解析21、設(shè)z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，φ二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得＝－f′1φ′＋f′2＝－(－f〞11φ′＋f〞12)φ′＋f′1φ〞－f〞21φ′＋f〞22＝f〞11(φ′)－2f〞12φ′＋f′1φ〞＋f〞22知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2＋，求f(u，v)，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令從而f(u，v)＝uv＋于是知識點解析：暫無解析23、設(shè)z＝f(χ，y)由f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2－χy確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：令代入得f(u，v)＝從而z＝f(χ，y)＝χy－，知識點解析：暫無解析24、求二元函數(shù)f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：二元函數(shù)f(χ，y)的定義域為D＝{(χ，y)｜y＞0}，因為AC－B2＞0且A＞0，所以為f(χ，y)的極小點，極小值為．知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)為f(χ，y)的極小值點，極小值為f(－1，0)＝－1．知識點解析：暫無解析26、求u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F＝χ2＋y2＋z2＋λ(－1)，u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值為知識點解析：暫無解析27、平面曲線L：繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為S，求曲面S的內(nèi)接長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為S：＝1．根據(jù)對稱性，設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點坐標(biāo)為M(χ，y，z)，則體積為V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由實際問題的特性及點的唯一性，當(dāng)時，內(nèi)接長方體體積最大，最大體積為V＝ab2．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：這是討論f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)，是否可偏導(dǎo)．先討論f(x，y)在點(0，0)處是否可偏導(dǎo)．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，則．因此B，D被排除．再考察f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性．令y=x3，則≠f(0，0)，因此f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．故應(yīng)選C．2、設(shè)z=f(x，y)=，則f(x，y)在點(0，0)處A、可微．B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)△z=f(x，y)－f(0，0)，則可知．這表明f(x，y)=在點(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)=0(x)，所以f’x(0，0)=f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z－f’x(0，0)△x－f’y(0，0)△y=，當(dāng)(△x，△y)沿y=x趨于點(0，0)時即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在點(0，0)處不可微，故選B．3、設(shè)f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處連續(xù)且φ(0，0)=0，則f(x，y)在點(0，0)處A、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．B、不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在．C、可微．D、不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：逐項分析：(Ⅰ)｜x－y｜在(0，0)連續(xù)，φ(x，y)在點(0，0)處連續(xù)=>f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．(Ⅱ)．f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0．(Ⅲ)考察f(△x，△y)－=｜△x－△y｜φ(△x，△y)．=>f(x，y)在點(0，0)處可微．選C．4、設(shè)u(x，y)在M0取極大值，并，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把二元函數(shù)的極值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值．由一元函數(shù)的極大值的必要條件可得相應(yīng)結(jié)論．令f(x)=u(x，y0)=>x=x0是f(x)的極大值點=>(若＞0，則x=x0是f(x)的極小值點，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)=>y=y0是g(y)的極大值點=>二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)5、設(shè)z=z(x，y)滿足方程2z－ez+2xy=3且z(1，2)=0，則dz｜(1，2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－4dx－2dy知識點解析：將方程分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得令x=1，y=2，z=0得6、設(shè)f(x，y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，則Ф’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：302知識點解析：Ф(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，Ф’(1)=f’1(1，2)+f’2(1，2)u’(1)=2+3u’(1)，u’(1)=2[f’1(1，2)+f’2(1，2)v’(1)]=2[2+3v’(1)]，v’(1)=2[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=2(2+2.3)=16．往回代=>u’(1)=2(2+3.16)=100，Ф’(1)=2+3×100=302．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)7、證明極限不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x，y)沿不同的直線y=kx趨于(0，0)，有再令(x，y)沿拋物線y2=x趨于(0，0)，有由二者不相等可知極限不存在．知識點解析：暫無解析8、設(shè)z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得知識點解析：暫無解析9、設(shè)u=f(x，y，z，t)關(guān)于各變量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而其中由方程組①確定z，t為y的函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是②因此，我們還要求，將方程組①兩邊對y求導(dǎo)得記系數(shù)行列式為W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則知識點解析：暫無解析10、設(shè)z=f(x，y)在區(qū)域D有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，D內(nèi)任意兩點的連線均屬于D．求證：對A(x0，y0)，B(x0+△x，y0+△y)∈D，θ∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：連接A，B兩點的線段屬于D：上f(x，y)變成t的一元函數(shù)Ф(t)=f(x0+t△x，y0+t△y)，Ф(t)在[0，1]可導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法=>現(xiàn)在二元函數(shù)的增量看成一元函數(shù)Ф(t)的增量，由一元函數(shù)微分中值定理=>f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)=Ф(1)－Ф(0)=Ф’(θ)=知識點解析：暫無解析11、求函數(shù)z=x2y(4－x－y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖7．1所示，它是有界閉區(qū)域．z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，它或在D內(nèi)的駐點達(dá)到，或在D的邊界上達(dá)到．為求D內(nèi)駐點，先求=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)，=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y)．再解方程組得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的邊界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6－x代入得z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3－6x2)，則h’(x)=6(x2－4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為－64．因此，知識點解析：暫無解析12、設(shè)z(x，y)滿足求z(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：把y看作任意給定的常數(shù)，將等式①兩邊對x求枳分得z(x，y)=－xsiny－ln｜1－xy｜+φ(y)，其中φ(y)為待定函數(shù)．由②式得－siny－ln｜1－y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1－y｜．因此，z(x，y)=(2－x)siny+知識點解析：暫無解析13、設(shè)z=(x2+y2)，求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案：由一階全微分形式不變性及全微分四則運(yùn)算法則得由dz的表達(dá)式得對y求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析14、設(shè)u=標(biāo)準(zhǔn)答案：u=是u=f(s，t)與復(fù)合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du(從而也就求得)或先求也就可求得du，然后再由．由一階全微分形式的不變性及全微分的四則運(yùn)算法則，得知識點解析：暫無解析15、設(shè)由方程φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0(*)確定隱函數(shù)z=z(x，y)，其中φ對所有變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，a，b，c為非零常數(shù)，且bφ’1－aφ’2≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程(*)看成關(guān)于x，y的恒等式，兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)得由①×a+②×b，可得知識點解析：暫無解析16、設(shè)z=z(x，y)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)并滿足①(Ⅰ)作變量替換u=3x+y，v=x+y，以u，v作為新的自變量，變換上述方程；(Ⅱ)求滿足上述方程的z(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將z對x，y的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為z對u，v的偏導(dǎo)數(shù)．由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得這里仍是u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，因而將②，③，④代入原方程①得(Ⅱ)由題(Ⅰ)，在變量替換u=3x+y，v=x+y下，求解滿足①的z=z(x，y)轉(zhuǎn)化為求解滿足⑤的z=z(u，v)．由⑤式=>=0，對v積分得=f(u)，其中f(u)為任意的有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)．再對u積分得z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ為任意的有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)．回到原變量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．知識點解析：暫無解析17、在空間坐標(biāo)系的原點處，有一單位正電荷，設(shè)另一單位負(fù)電荷在橢圓z=x2+y2，x+y+z=1上移動，問兩電荷間的引力何時最大，何時最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2－z)+μ(x+y+z－1)，由前三個方程得x=y，代入后兩個方程得．記，可算得g(M1)=9－，g(M2)=9+．從實際問題看，函數(shù)g的條件最大與最小值均存在，所以g在點M1，M2分別達(dá)到最小值和最大值，因而函數(shù)f在點M1，M2分別達(dá)到最大值和最小值，即兩個點電荷間的引力當(dāng)單位負(fù)電荷在點M1處最大，在點M2處最?。R點解析：暫無解析18、若函數(shù)f(x，y)對任意正實數(shù)t，滿足f(tx，ty)=tnf(x，y)，(7．12)稱f(x，y)為n次齊次函數(shù)．設(shè)f(x，y)是可微函數(shù)，證明：f(x，y)為n次齊次函數(shù)<=>標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x，y)是n次齊次函數(shù)，按定義，得f(tx，ty)=tnf(x，y)(t＞0)為恒等式．將該式兩端對t求導(dǎo)，得xf’1(tx，ty)+yf’2/sub>(tx，ty)=ntn－1f(x，y)(t＞0)，令t=1，則xf’x(x，y)+yf’y(x，y)=nf(x，y)．現(xiàn)設(shè)上式成立．考察φ(t)=，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得知識點解析：暫無解析19、設(shè)z=f(x，y)滿足)=2x，f(x，1)=0，=sinx，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2xy+φ(x)，φ(x)為x的任意函數(shù)<=>f(x，y)=xy2+φ(x)y+ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函數(shù)．由=sinx，得[2xy+φ(x)]｜y=0=sinx，則φ(x)=sinx．由f(x，1)=0，得[xy2+φ(x)y+ψ(x)]｜y=1=x+sinx+ψ(x)=0，則ψ(x)=－x－sinx．因此，f(x，y)=xy2+ysinx－x－sinx．知識點解析：暫無解析20、設(shè)u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫xyp(t)dt確定，求，其中φ(u)≠1．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程對x求導(dǎo)=>對y求導(dǎo)得分別乘P(y)，P(x)后相加得由于φ’(u)≠1=>知識點解析：暫無解析21、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：u是u=f(s，t)與復(fù)合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du．由一階全微分形式不變性及全微分四則運(yùn)算法則，得知識點解析：暫無解析22、設(shè)z=f(x，y，u)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)由方程u5－5xy+5u=1確定．求標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程u5－5xy+5u=1兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得5u4u’x－5y+5u’x=0，解得u’x=，故在上式對x求導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)注意其中的f’1，f’2仍是x，y，u的函數(shù)，而u又是x，y的函數(shù)，于是知識點解析：暫無解析23、若可微函數(shù)z=f(x，y)在極坐標(biāo)系下只是θ的函數(shù)，證明：=0(r≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)與r無關(guān)=>=0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)u=u(x，y)，v=v(x，y)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足條件：F(u，v)=0，其中F有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程F(u，v)=0分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，南復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得按題設(shè)，這個齊次方程有非零解，其系數(shù)行列式必為零，即知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)=2(y－x2)2－x7－y2，(Ⅰ)求f(x，y)的駐點；(Ⅱ)求f(x，y)的全部極值點，并指明是極大值點還是極小值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)解即駐點為(0，0)與(－2，8)．(Ⅱ)在(－2，8)處，，AC－B2＞0，A＞0=>(－2，8)為極小值點．在(0，0)處，，AC－B2=0，該方法失效．但令x=0=>f(0，y)=y2，這說明原點鄰域中y軸上的函數(shù)值比原點函數(shù)值大，又令y=x2，f(x，x2)=，這說明原點鄰域中拋物線y=x2上的函數(shù)值比原點函數(shù)值小，所以(0，0)不是極值點．知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)z=(1+ey)cosx－yey，證明：函數(shù)z有無窮多個極大值點，而無極小值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先計算(Ⅱ)求出所有的駐點．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判斷所有駐點是否是極值點，是極大值點還是極小值點．在(2nπ，0)處，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．則(2nπ，0)是極大值點．在((2n+1)π，－2)處，由于則((2n+1)π，－2)不是極值點．因此函數(shù)z有無窮多極大值點(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而無極小值點．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x，y)在點(a，b)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f’y(a，b)≠0，證明由方程f(x，y)=0在x=a的某鄰域所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是：f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，且當(dāng)r(a，b)＞0時，b=φ(a)是極大值；當(dāng)r(a，b)＜0時，b=φ(a)是極小值．其中標(biāo)準(zhǔn)答案：y=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φ’(a)=0．按隱函數(shù)求導(dǎo)法，φ’(x)滿足f’x(x，φ(x))+f’y(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，則有f(a，b)=0，φ’(a)==0，于是f’x(a，b)=0．將(*)式兩邊對x求導(dǎo)得f"xx(x，φ(x))+f"xy(x，φ(x))φ’(x)+[f’y(x，φ(x))]φ’(x)+f’y(x，φ(x))φ"(x)=0，上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此當(dāng)＞0時，φ"(a)＜0，故b=φ(a)是極大值；當(dāng)＜0時，φ"(a)＞0，故b=φ(a)是極小值．知識點解析：暫無解析28、已知三角形的周長為2p，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一立體，求使立體體積最大的那個三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，并設(shè)以AC邊為旋轉(zhuǎn)軸(見圖8．1)，AC上的高為h，則旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為又設(shè)三角形的面積為S，于是有問題化成求y(a，b，c)在條件a+b+c－2p=0下的最大值點，等價于求V0(a，b，c)=(p－a)(p－b)(p－c)=ln(p－a)+ln(p－b)+ln(p－c)－lnb在條件a+b+c－2p=0下的最大值點．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c－2p)，求解方程組比較①，③得a=c，再由④得6=2(p－a)．⑤比較①，②得b(p－b)=(p－a)p．⑥由⑤，⑥解出由實際問題知，最大體積一定存在，而以上解又是方程組的唯一解．因而也是條件最大值點．所以當(dāng)三角形的邊長分別為時，繞邊長為的邊旋轉(zhuǎn)時．所得立體體積最大．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(χ，y)＝sin，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、對χ可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B、對χ不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C、對χ可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D、對χ不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(χ，y)在(0，0)處對χ不可偏導(dǎo)；因為＝0，所以f′t(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)處對y可偏導(dǎo)，應(yīng)選B．2、設(shè)f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，則()．A、f(χ，y)在(χ0，y0)處連續(xù)B、f(χ，y)存在C、f(χ，y)在(χ0，y0)處可微D、f(χ0，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：多元函數(shù)在一點可偏導(dǎo)不一定在該點連續(xù)，A不對；函數(shù)f(χ，y)＝在(0，0)處可偏導(dǎo)，但(χ，y)不存在，B不對；f(χ，y)在(χ0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，C不對，應(yīng)選D．事實上由f′χ(χ0，y0)＝存在得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)．3、設(shè)f(χ，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足＝－3，則函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為＝－3，根據(jù)極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(χ，y)－f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在點(0，0)處取極大值，選A．4、設(shè)f(χ，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足＝－3，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)5、設(shè)z＝(χ2＋y2)χy，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(χ2＋y2)χy.[yln(χ2＋y2)＋]知識點解析：6、設(shè)f二階可導(dǎo)，且z＝f(χy)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)知識點解析：7、設(shè)f二階可偏導(dǎo)，z＝f(χy，χ＋y2)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22知識點解析：＝y(tǒng)f′1＋f′2，＝f′1＋y(χf〞11＋2yf〞12)＋χf〞21＋2yf〞22＝f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22．8、設(shè)f(χ，y)連續(xù)，且f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)，其中ρ＝，則dz｜(1，0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3dχ＋4dy知識點解析：因為f(χ，y)連續(xù)，所以f(1，0)＝9，由f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)得△z＝f(χ，y)－f(1，0)＝3(χ－1)＋4y＋o()，由可微的定義得dz｜(1，0)＝3dχ＋4dy．9、設(shè)z＝f(χ，y)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝χ＋1，f′χ(χ，0)＝2χ，f(0，y)＝sin2y，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(＋χ)y＋χ2＋sin2y知識點解析：由＝χ＋1得＝(χ＋1)y＋φ(χ)，由f′χ(χ，0)＝2χ得φ(χ)＝2χ，即＝(χ＋1)y＋2χ，再由＝(χ＋1)y＋2χ得z＝(＋χ)y＋χ2＋h(y)，由f(0，y)＝sin2y得h(y)＝sin2y，故f(χ，y)＝(＋χ)y＋χ2＋sin2y．10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)z＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)z＝，則dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin2χy(ydχ＋χdy)知識點解析：13、設(shè)z＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：14、設(shè)z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、設(shè)f(χ，y)滿足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＋χy＋1知識點解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)，因為f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．因為f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．16、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g(χ2＋y2)知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)17、設(shè)z＝y(tǒng)f(χ2－y2)，其中f可導(dǎo)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，則．知識點解析：暫無解析18、設(shè)z＝，其中f，g二階可導(dǎo)，證明：＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χf〞22＋2f′2，＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4yf〞22＋2f′2，則＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ＋y)f〞22＋4f′2．知識點解析：暫無解析20、設(shè)z＝f[χg(y)，χ－y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝g(y)f′1＋f′2，＝g′(y)f′1＋g(y)[χg′(y)f〞11－f〞12]＋χg′(y)f〞21－f〞22＝g′(y)f′1＋χg′(y)g(y)f〞11＋[χg′(y)－g(y)]f〞12－f〞22．知識點解析：暫無解析21、設(shè)z＝z(χ，y)由χyz＝χ＋y＋z確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令F＝χyz－χ－y－z，知識點解析：暫無解析22、舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)不一定連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(χ，y)＝，顯然f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)．但不存在，所以f(χ，y)在點(0，0)處對χ不可偏導(dǎo)，由對稱性，f(χ，y)在點(0，0)處對y也不可偏導(dǎo)．所以f(χ，t)在點(0，0)處可偏導(dǎo)，且f′χ(0，0)＝f′y(0．0)＝0．因為，所以(χ，y)不存在，而f(0，0)＝0，故f(χ，y)在點(0，O)處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(χ，y)＝討論函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以(χ，y)不存在，故函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處不連續(xù)．因為＝0，所以函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處對χ，y都可偏導(dǎo)．知識點解析：暫無解析24、討論f(χ，y)＝在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為＝0，所以f′χ(0，0)＝0，根據(jù)對稱性得f′y(0，0)＝0，即函數(shù)f(χ，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝，因為不存在，所以函數(shù)f(χ，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析25、討論f(χ，y)＝在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為＝0，所以f′χ(0，0)＝0，由對稱性得f′y(0，0)＝0，即函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處可偏導(dǎo)．△z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y－χysin，因為所以函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析26、設(shè)z＝f(e′sint，tant)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：et(sint＋cost)f′1＋f′2sec2t．知識點解析：暫無解析27、設(shè)z＝sinχy，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)z＝f(t，et)，f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)球標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)u＝，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所確定，其中f是可微函數(shù)，計算并化成最簡形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊對χ求偏導(dǎo)得2χ＋2z＝y(tǒng)f(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝＝χyf(z2)兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)，＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)．知識點解析：暫無解析32、設(shè)z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2，＝f′1eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22)＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22．知識點解析：暫無解析33、設(shè)z＝f(χ2＋y2，χy，χ)，其中f(u，v，ω)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3，＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)>＋2yf〞31＋χf〞32＝4χyf〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32．知識點解析：暫無解析34、設(shè)z＝z(χ，y)由χ－yz＋yez－χ－y＝0確定，求及dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程χ－yχ＋yz－χ－y＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得方程χ－yz＋yz－χ－y＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析35、設(shè)z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))，其中f，g可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))兩邊對χ求偏導(dǎo)得等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析36、設(shè)u＝f(z)，其中z是由z＝y(tǒng)＋χφ(z)確定的z，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：，z＝y(tǒng)＋χφ(z)兩邊對χ求偏導(dǎo)得兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ，y)＝sin，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、對χ可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B、對χ不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C、對χ可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D、對χ不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(χ，y)在(0，0)處對χ不可偏導(dǎo)；因為＝0，所以f′y(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)處y可偏導(dǎo)，應(yīng)選B．2、設(shè)f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，則()．A、f(χ，y)在(χ0，y0)處連續(xù)B、f(χ，y)存在C、f(χ，y)在(χ0，y0)處可微D、(χ，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：多元函數(shù)在一點可偏導(dǎo)不一定在該點連續(xù)，A不對；函數(shù)f(χ，y)＝在(0，0)處可偏導(dǎo)，但f(χ，y)不存在，B不對；f(χ，y)在(χ0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，C不對，應(yīng)選D，事實上由f′χ(χ0，y0)＝存在得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)．3、設(shè)f(χ，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足＝3，則函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為＝－3，根據(jù)極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(χ，y)－f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在點(0，0)處取極大值，選A．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、設(shè)χ＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析6、設(shè)z＝，則dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin2χy(ydχ＋χdy)知識點解析：7、設(shè)z＝ln()，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)f(χ，y)滿足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＋χy＋1知識點解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)因為f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋φ2(χ)，因為f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．10、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)知識點解析：＋2χyg′(χ2＋y2)，＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)．11、設(shè)z＝f(χ2＋y2，)，且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)z＝χyf()，其中f(u)可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2z知識點解析：三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)13、設(shè)u＝，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：由u＝得知識點解析：暫無解析14、設(shè)z＝y(tǒng)f(χ2－y2)，其中f可導(dǎo)，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，則知識點解析：暫無解析15、設(shè)z＝，其中f，g二階可導(dǎo)，證明：＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χ2f〞22＋2f′2＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4y2f〞22＋2f′2＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ＋y)f〞22＋4f′2知識點解析：暫無解析17、設(shè)z＝f[χg(y)，z－y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝g(y)f′1＋f′2＝g′(y)f′1＋g(y)[χg′(y)f〞11－f〞12]＋χg′(y)f〞21－f〞22＝g′(y)f′1＋χg′(y)g(y)f〞11＋[χg′(y)－g(y)]f〞12－f〞22．知識點解析：暫無解析18、設(shè)z＝z(z，y)由χyz＝χ＋y＋z確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F＝χyχ－χ－y－z，知識點解析：暫無解析19、舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)不一定連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(χ，y)＝，顯然f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)，但不存在，所以f(χ，y)在點(0，0)處對χ不可偏導(dǎo)，由對稱性，f(χ，y)在點(0，0)處對y也不可偏導(dǎo)．設(shè)f(χ，y)＝因為所以f(χ，y)在點(0，0)處可偏導(dǎo)，且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0．因為所以(χ，y)不存在，而f(0，0)＝0，故f(χ，y)在點(0，0)處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(χ，y)＝討論函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為，所以(χ，y)不存在，故函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處不連續(xù)．因為，所以函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處對χ，y都可偏導(dǎo)．知識點解析：暫無解析21、討論f(χ，y)＝在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0≤，且＝0，所以(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為＝0，所以f′χ＝(0，0)＝0，根據(jù)對稱性得y′y(0，0)＝0，即函數(shù)f(χ，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△z－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝，因為不存在，所以函數(shù)f(χ，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析22、討論f(χ，y)＝在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以f(χ，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為＝0，所以f′χ(0，0)＝0，由對稱性得f′y(0，0)＝0，即函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處可偏導(dǎo)．△z－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝χysin，因為0≤，且＝0，所以函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析23、設(shè)z＝f(etsint，tant)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝et(sint＋cost)f′1＋f′2sec2t．知識點解析：暫無解析24、設(shè)z＝sinχy，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)z＝f(t，et)dt，f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)u＝，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所確定，其中廠是可微函數(shù)，計算并化成最簡形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊對χ求偏導(dǎo)得2χ＋2z＝y(tǒng)f(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊對y求偏導(dǎo)得2y＋2z＝χf(z2)＋2χyzf′(z2)，知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)，＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)．知識點解析：暫無解析29、設(shè)z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2，＝f′eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22)＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22．知識點解析：暫無解析30、設(shè)z＝f(χ2＋y2，χy，z)，其中f(u，v，w)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3，＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)＋2yf〞31＋χf〞32＝4χyf〞11＋2(χ＋y)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32知識點解析：暫無解析31、設(shè)z＝z(χ，y)由z－yz＋yez－χ－y＝0確定，求及dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程χ－yz＋yez－χ＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得方程χ－yz＋yez－χ－y＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析32、設(shè)z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))，其中f，g可微，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))兩邊對χ求偏導(dǎo)得等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析33、設(shè)u＝f(z)，其中z是由z＝y(tǒng)＋χφ(χ)確定的χ，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：，z＝y(tǒng)＋χφ(z)兩邊對χ求偏導(dǎo)得z＝y(tǒng)＋φ(z)兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析34、設(shè)χy＝χf(χ)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是z，y的函數(shù)．證明：[z－g(z)]＝[y－f(z)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy＝χf(z)＋yg(z)兩邊分別對χ，y求偏導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析35、設(shè)z＝f(χ，y)由方程z－y－χ＋χz－y－χ＝0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對z－y－χ＋χz－y－χ＝0兩邊求微分，得dz－dy－dχ＋ez－y－χdχ＋χez－y－χ(dz－dy－dχ)＝0．解得dz＝＋dy．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f’x(x0，y0)存在，則=()A、f’x(x0，y0)。B、0。C、2f’x(x0，y0)。D、f’x(x0，y0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故選C。2、二元函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是()A、[f(x，y)一f(0，0)]=0。B、，且。C、。D、[f’x(x，0)一f’x(0，0)]=0，且f’y[f’y(0，y)一f’y(0，0)]=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：按可微性定義，f(x，y)在(0，0)處可微其中A，B是與x，y無關(guān)的常數(shù)。題中的C項即A=B=0的情形。故選C。3、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由需對x和y分開考慮，則已知的兩個不等式分別表示函數(shù)f(x，y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變