考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷1(共219題)_第1頁(yè)
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考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷1(共9套)(共219題)考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)1、已知A是四階矩陣,A*是A的伴隨矩陣,若A*的特征值是1,一1,2,4,那么不可逆矩陣是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳*的特征值是1,一1,2,4,所以|A*|=一8,又|A*|=|A|4—1,因此|A|3=一8,于是|A|=一2。那么,矩陣A的特征值是一2,2,一1,。因此A一E的特征值是一3,1,一2,。因?yàn)樘卣髦捣橇?,故矩陣A—E可逆。同理可知,矩陣A+2E的特征值中含有0,所以矩陣A+2E不可逆。故選C。2、三階矩陣A的特征值全為零,則必有()A、秩r(A)=0。B、秩r(A)=1。C、秩r(A)=2。D、條件不足,不能確定。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:考查下列矩陣它們的特征值全是零,而秩分別為0,1,2。所以僅由特征值全是零是不能確定矩陣的秩的。故選D。3、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,P是n階可逆矩陣,已知n維列向量α是A的屬于特征值A(chǔ)的特征向量,則矩陣(P—1AP)T屬于特征值A(chǔ)的特征向量是()A、P—1α。B、PTα。C、Pα。D、(P—1)Tα。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)β是矩陣(PTAP)T屬于λ的特征向量,并考慮到A為實(shí)對(duì)稱矩陣AT=A,有(P—1AP)Tβ=λβ,即PTA(P—1)Tβ=λβ。把四個(gè)選項(xiàng)中的向量逐一代入上式替換β,同時(shí)考慮到Aα=λα,可得選項(xiàng)B正確,即左端=PTA(P—1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。故選B。4、設(shè)n階矩陣A與B相似,E為n階單位矩陣,則()A、λE—A=λE一B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。D、對(duì)任意常數(shù)t,tE一A與tE一B相似。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)橛葾與B相似不能推得A=B,所以選項(xiàng)A不正確。相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故選項(xiàng)B也不正確。對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楦鶕?jù)題設(shè)不能推知A,B是否相似于對(duì)角陣,故選項(xiàng)C也不正確。綜上可知選項(xiàng)D正確。事實(shí)上,因A與B相似,故存在可逆矩陣P,使P—1AP=B,于是P—1(tE一A)P=tE—P—1AP=tE—B,可見(jiàn)對(duì)任意常數(shù)t,矩陣tE一A與tE一B相似。故選D。5、設(shè)A,B均為n階矩陣,A可逆,且A~B,則下列命題中①AB~BA;②A2~B2;③AT~BT;④A—1~B—1。正確的個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因A~B,可知存在可逆矩陣P,使得P—1AP=B,于是P—1A2P=B2,PTAT(PT)—1=BT,P—1A—1P=B—1,故A2~B2,AT~BT,A—1~B—1。又由于A可逆,可知A—1(AB)A=BA,即AB~BA。即正確的命題有四個(gè)。故選D。6、已知P—1AP=,α1是矩陣A的屬于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩陣A的屬于特征值λ=6的特征向量,則矩陣P不可能是()A、(α1,一α2,α3)。B、(α1,α2+α3,α1—2α3)。C、(α1,α3,α2)。D、(α1+α2,α1一α2,α3)。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:由題意可得Aα1=2α1,Aα2=6α2,Aα3=6α3。由于α2是屬于特征值λ=6的特征向量,所以一α2也是屬于特征值λ=6的特征向量,故選項(xiàng)A正確。同理,選項(xiàng)B,C也正確。由于α1,α2是屬于不同特征值的特征向量,所以α1+α2,α1一α2均不是矩陣A的特征向量,故選項(xiàng)D一定錯(cuò)誤。故選D。二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)7、矩陣的非零特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:4知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==λ2(λ—4),所以非零特征值為4。8、已知矩陣的特征值的和為3,特征值的乘積是一24,則b=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:一3知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣的所有特征值的和等于該矩陣對(duì)角線元素的和,即a+3+(一1)=3,所以a=1。又因?yàn)榫仃囁刑卣髦档某朔e等于矩陣對(duì)應(yīng)行列式的值,因此有所以b=一3。9、設(shè)X為三維單位列向量,E為三階單位矩陣,則矩陣E—XXT的秩為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:2知識(shí)點(diǎn)解析:由題設(shè)知,矩陣XXT的特征值為0,0,1,故E—XXT的特征值為1,1,0。又由于實(shí)對(duì)稱矩陣是可相似對(duì)角化的,故它的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù),即r(E—XXT)=2。10、設(shè)A是三階矩陣,且各行元素的和都是5,則矩陣A一定有特征值______。標(biāo)準(zhǔn)答案:5知識(shí)點(diǎn)解析:已知各行元素的和都是5,即化為矩陣形式,可得滿足,故矩陣A一定有一個(gè)特征值為5。11、若矩陣只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則這個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是______。標(biāo)準(zhǔn)答案:k(1,0,1)T,k≠0知識(shí)點(diǎn)解析:因A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以A的特征值必是三重的,且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是顯然a≠1。再由(3E一A)x=0的解得特征值λ=3對(duì)應(yīng)的特征向量為(1,0,1)T。故線性無(wú)關(guān)的特征向量是k(1,0,1)T,k≠0。12、已知矩陣和對(duì)角矩陣相似,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:一2知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)椋薊一A|==(λ一2)(λ一3)2,所以矩陣A的特征值分別為2,3,3。因?yàn)榫仃嘇和對(duì)角矩陣相似,所以對(duì)應(yīng)于特征值3有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即(3E—A)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,因此矩陣3E一A的秩為1??梢?jiàn)a=一2。13、設(shè)二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值為λ1=1,屬于λ1的特征向量為(1,一1)T,若|A|=一2,則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)矩陣A的特征值λ1=1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,一1)T和α2=(x1,x2)T。實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣Q,使得Q—1AQ=。而相似矩陣的行列式相等,所以一2=|A|==λ2,即λ2=一2。又實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交,所以α1Tα2=0,即x1一x2=0。方程組x1一x2=0的基礎(chǔ)解系為α2=(1,1)T。令Q=(α1,α2)=,則三、解答題(本題共10題,每題1.0分,共10分。)在某國(guó),每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn),有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設(shè)該國(guó)總?cè)丝跀?shù)不變,且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。14、求關(guān)系式中的矩陣A;標(biāo)準(zhǔn)答案:由題意,人口遷移的規(guī)律不變xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn,yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn,用矩陣表示為因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等,即,求。標(biāo)準(zhǔn)答案:由,可知,由=(λ一1)(λ一1+p+q),得A的特征值為λ1=1,λ2=r,其中r=1一p—q。當(dāng)λ1=1時(shí),解方程(A—E)x=0,得特征向量p1=。當(dāng)λ2=r時(shí),解方程(A一rE)x=0,得特征向量p2=。令P=(p1,p2)=,則P—1AP==Λ,A=PΛP—1,An=PΛnP—1。于是因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)三階矩陣A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,4)T,α3=(1,3,9)T。16、將向量β=(1,1,3)T用α1,α2,α3線性表示;標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β,即解得x1=2,x2=一2,x3=1,故β=2α1一2α2+α3。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、求Anβ。標(biāo)準(zhǔn)答案:Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3,則由題設(shè)條件及特征值與特征向量的定義可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、已知A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣,滿足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩陣A的全部特征值,并求秩r(A+E)。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)λ是矩陣A的任一特征值,α(α≠0)是屬于特征值A(chǔ)的特征向量,則Aα=λα,于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O,得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因?yàn)樘卣飨蛄喀痢?,故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必是實(shí)數(shù),從而矩陣A的特征值是0或一2。由于實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化,且秩r(A)=r(Λ)=2,所以A的特征值是0,一2,一2。因A一Λ,則有A+E~Λ+E=,所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)A,B為同階方陣。19、若A,B相似,證明A,B的特征多項(xiàng)式相等;標(biāo)準(zhǔn)答案:若A,B相似,那么存在可逆矩陣P,使P—1AP=B,則|λE一B|=|λE—P—1AP|=|P—1λEP—P—1AP|=|P—1(λE一A)P|=|P—1||λE—A||P|=|λE—A|。所以A、B的特征多項(xiàng)式相等。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明第一小題的逆命題不成立;標(biāo)準(zhǔn)答案:令,那么|λE—A|=λ2=|λE一B|。但是A,B不相似。否則,存在可逆矩陣P,使P—1AP=B=O,從而A=POP—1=O與已知矛盾。也可從r(A)=1,r(B)=0,知A與B不相似。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、當(dāng)A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明第一小題的逆命題成立。標(biāo)準(zhǔn)答案:由A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣知,A,B均相似于對(duì)角陣,若A,B的特征多項(xiàng)式相等,記特征多項(xiàng)式的根為λ1,…,λn,則有所以存在可逆矩陣P,Q,使P—1AP==Q—1BQ。因此有(PQ—1)—1A(PQ—1)=B,矩陣A與B相似。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的秩為2,且22、求矩陣A的所有特征值與特征向量;標(biāo)準(zhǔn)答案:由,得,即特征值λ1=一1,λ2=1對(duì)應(yīng)的特征向量為又由r(A)=2<3可知,A有一個(gè)特征值為0。設(shè)λ3=0對(duì)應(yīng)的特征向量為,則與兩兩正交,于是得由此得,即是特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量。因此k1α1,k2α2,k3η是依次對(duì)應(yīng)于特征值一1,1,0的特征向量,其中k1,k2,k3為任意非零常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)有則有知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)1、設(shè)三階矩陣A的特征值是0,1,一1,則下列選項(xiàng)中不正確的是()A、矩陣A—E是不可逆矩陣。B、矩陣A+E和對(duì)角矩陣相似。C、矩陣A屬于1與一1的特征向量相互正交。D、方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榫仃嘇的特征值是0,1,一1,所以矩陣A一E的特征值是一1,0,一2。由于λ=0是矩陣A—E的特征值,所以A—E不可逆。因?yàn)榫仃嘇+E的特征值是1,2,0,矩陣A+E有三個(gè)不同的特征值,所以A+E可以相似對(duì)角化(或由A~Λ=>A+E~Λ+E而知A+E可相似對(duì)角化)。由矩陣A有一個(gè)特征值等于0可知r(A)=2,所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由n—r(A)=3—2=1個(gè)解向量構(gòu)成。選項(xiàng)C的錯(cuò)誤在于,若A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則不同特征值的特征向量相互正交,而一般n階矩陣,不同特征值的特征向量?jī)H僅線性無(wú)關(guān)并不一定正交。故選C。2、設(shè)λ=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣有特征值()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳為A的非零特征值,所以λ2為A2的特征值,為(A2)—1的特征值。因此的特征值為。故選B。3、設(shè)λ1,λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,則α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:令k1α1+k2A(α1+α1)=0,則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因?yàn)棣?,α2線性無(wú)關(guān),所以k1+k2λ1=0,且k2λ1=0。當(dāng)λ2≠0時(shí),顯然有k1=0,k2=0,此時(shí)α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān);反過(guò)來(lái),若α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān),則必然有λ2≠0(否則,α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關(guān))。故選B。4、設(shè)A是n階矩陣,P是n階可逆矩陣,n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量,那么在下列矩陣中①A2;②P—1AP;③AT;④E一A。α肯定是其特征向量的矩陣個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由Aα=λα,α≠0,有A2α=A(λα)=λAα=λ2α,即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。由知α必是矩陣屬于特征值的特征向量。關(guān)于②和③則不一定成立。這是因?yàn)?P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α,按定義,矩陣P—1AP的特征向量是P—1α。因?yàn)镻—1α與α不一定共線,因此α不一定是P—1AP的特征向量,即相似矩陣的特征向量是不一樣的。線性方程組(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解,所以α不一定是第二個(gè)方程組的解,即α不一定是AT的特征向量。故選B。5、已知矩陣,那么下列矩陣中與矩陣A相似的矩陣個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:二階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值1和3,因此A一Λ=,那么只要和矩陣Λ有相同的特征值,它就一定和Λ相似,也就一定與A相似。①和②分別是上三角和下三角矩陣,且特征值是1和3,所以它們均與A相似,對(duì)于③和④,由可見(jiàn)④與A相似,而③與A不相似。故選C。6、設(shè)A是三階矩陣,其特征值是1,3,一2,相應(yīng)的特征向量依次是α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,一α2),則P—1AP=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由Aα2=3α2,有A(一α2)=3(一α2),即當(dāng)α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時(shí),一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理,2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量。當(dāng)P—1AP=Λ時(shí),P由A的特征向量構(gòu)成,Λ由A的特征值構(gòu)成,且P與Λ的位置是對(duì)應(yīng)一致的,已知矩陣A的特征值是1,3,一2,故對(duì)角矩陣Λ應(yīng)當(dāng)由1,3,一2構(gòu)成,因此排除選項(xiàng)B、C。由于2α3是屬于λ=一2的特征向量,所以一2在對(duì)角矩陣Λ中應(yīng)當(dāng)是第二列。故選A。7、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,則()A、A的n個(gè)特征向量?jī)蓛烧?。B、A的n個(gè)特征向量組成單位正交向量組。C、對(duì)于A的k重特征值λ0,有r(λ0E一A)=n一k。D、對(duì)于A的k重特征值λ0,有r(λ0E一A)=k。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:實(shí)對(duì)稱矩陣A必可相似對(duì)角化,A的屬于k重特征值λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量必有k個(gè),故r(λ0E—A)=n一k。需要注意的是:實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交,但屬于不同特征值的特征向量一定正交;凡個(gè)特征向量不一定是單位正交向量組。故選C。二、填空題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)8、設(shè)矩陣有一特征值0,則a=______,A的其他特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:1;2,2知識(shí)點(diǎn)解析:因A有一個(gè)零特征值,所以|A|=2(a—1)=0,即a=1。A的特征多項(xiàng)式為|λE一A|==(λ一2)2λ=0,解得A的其他特征值為λ=2(二重)。9、已知α=(1,3,2)T,β=(1,一1,一2)T,A=E—αβT則A的最大的特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:7知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榉橇懔邢蛄喀粒碌闹染鶠?,所以矩陣αβT的秩也為1,于是αβT的特征值為0,0,tr(αβT),其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值為1,1,7,則A的最大的特征值為7。10、設(shè)α=(1,一1,a)T是的伴隨矩陣A*的特征向量,其中r(A*)=3,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:一1知識(shí)點(diǎn)解析:α是A*的特征向量,設(shè)對(duì)應(yīng)于α的特征值為λ0,則有A*α=λ0α,該等式兩端同時(shí)左乘A,即得AA*α=|A|α=λ0Aα,即展開(kāi)成方程組的形式為因?yàn)閞(A*)=3,|A*|≠0,因此λ0≠0,根據(jù)方程組中的前兩個(gè)等式,解得a=一1。11、設(shè)A為二階矩陣,α1,α2為線性無(wú)關(guān)的二維列向量,Aα1=0,Aα2=2α1+α2,則A的非零特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:1知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題設(shè)條件,得A(α1,α2)=(Aα1,Aα2)=(α1,α2)。記P=(α1,α2),因α1,α2線性無(wú)關(guān),故P=(α1,α2)是可逆矩陣。由,可得P—1AP=。記B=,則A與B相似,從而有相同的特征值。因?yàn)椋薊—B|==λ(λ—1),所以A的非零特征值為1。12、設(shè)矩陣A與相似,則r(A)+r(A一2E)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:3知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣A與B相似,則A一2E與B一2E相似,而相似矩陣具有相同的秩,所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。13、已知Aαi=iαi(i=1,2,3),其中α1=(1,2,2)T,α2=(2,一2,1)T,α3=(一2,一1,2)T,則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:由Aαi=iαi(i=1,2,3)可知A的特征值為1,2,3。令P=(α1,α2,α3)=則有P—1AP=所以三、解答題(本題共11題,每題1.0分,共11分。)設(shè)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且滿足條件αTβ=0。記n階矩陣A=αβT。14、求A2;標(biāo)準(zhǔn)答案:由αTβ=0可知α與β正交,則A2=(aβT)(αβT)=α(βTα)βT=0。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、求矩陣A的特征值和特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)λ為A的特征值,則λ2為A2的特征值。因A2=0,所以A2的特征值全為零,故λ=0,即A的特征值全為零,于是方程組Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨設(shè)a1≠0,b2≠0,對(duì)A作初等行變換得則Ax=0的基礎(chǔ)解系為(一b2,b1,0,…,0)T,(一b3,0,b1,…,0)T,…,(一bn,0,0,…,b1)T,故矩陣A的特征向量為k1(一b2,b1,0,…,0)T+k2(一b3,0,b1,…,0)T+…+kn—1(一bn,0,0,…,b1)T,其中k1,k2,…,kn—1不全為零。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析16、設(shè)矩陣,B=P—1A*P,求B+2E的特征值與特征向量,其中A*為A的伴隨矩陣,E為三階單位矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)A的特征值為A,對(duì)應(yīng)特征向量為η,則有Aη=λη。由于|A|=7≠0,所以λ≠0。又因A*A=|A|E,故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1)=(B+2E)P—1η=因此,為B+2E的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為P—1η。由于|λE—A|==(λ一1)2(λ一7),故A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=7。當(dāng)λ1=λ2=1時(shí),對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特征向量可取為當(dāng)λ3=7時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量可取為η3=。由。因此,B+2E的三個(gè)特征值分別為9,9,3。對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為k1P—1η1+k2P—1η2=其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù);對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k3P—1η3=,其中k3是不為零的任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、設(shè)矩陣,行列式|A|=一1,又A*的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量為α=(一1,一1,1)T,求a,b,c及λ0的值。標(biāo)準(zhǔn)答案:AA*=|A|E=一E。對(duì)于A*α=λ0α,用A左乘等式兩端,得λ0Aα=一α,即由此可得由(1)一(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1),得b=一3,a=c。由|A|=一1和a=c,有=a一3=一1,即得a=c=2。故a=2,b=一3,c=2,λ0=1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相應(yīng)的特征向量且線性無(wú)關(guān)。證明如果α1+α2+α3仍是A的特征向量,則λ1=λ2=λ3。標(biāo)準(zhǔn)答案:若α1+α2+α3,是矩陣A屬于特征值入的特征向量,則A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3,于是有(λ一λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因?yàn)棣?,α2,α3線性無(wú)關(guān),故λ一λ1=0,λ—λ2=0,λ—λ3=0,即λ1=λ2=λ3。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、設(shè)A為正交矩陣,且|A|=一1,證明λ=一1是A的特征值。標(biāo)準(zhǔn)答案:要證λ=一1是A的特征值,需證|A+E|=0。因?yàn)椋麬+E|=|A+ATA|=|(E+AT)A|=|E+AT||A|=一|A+E|,所以|A+E|=0,故λ=一1是A的特征值。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析已知是矩陣的一個(gè)特征向量。20、求參數(shù)a,b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)A是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值,根據(jù)特征值的定義,有(A一λE)p=0,即從而有方程組解得a=一3,b=0,且p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=一1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、問(wèn)A能不能相似對(duì)角化?并說(shuō)明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案:A的特征多項(xiàng)式|A—λE|==一(λ+1)3,得A的特征值為A=一1(三重)。若A能相似對(duì)角化,則特征值λ=一1有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,而故r(A+E)=2,所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量,A不能相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣的特征值有一個(gè)二重根,求a的值,并討論矩陣A是否可相似對(duì)角化。標(biāo)準(zhǔn)答案:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是單根,則λ2一8λ+18+3a是完全平方,必有18+3a=16,即a=。則A的特征值是2,4,4,而r(4E一A)=2,故λ=4只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而A不能相似對(duì)角化。如果λ=2是二重特征值,則將λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。則矩陣A的特征值是2,2,6,而r(2E—A)=1,故λ=2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而A可以相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、已知是n階矩陣,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩陣P使P—1AP=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案:A的特征多項(xiàng)式為=(λ一2n+1)(λ一n+1)n—1,則A的特征值為λ1=2n一1,λ2=n一1,其中λ2=n一1為n一1重根。當(dāng)λ1=2n一1時(shí),解齊次方程組(λ1E一A)x=0,對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換,有得到基礎(chǔ)解系α1=(1,1,…,1)T。當(dāng)λ2=n一1時(shí),齊次方程組(λ2E一A)x=0等價(jià)于x1+x2+…+xn=0,得到基礎(chǔ)解系α2=(一1,1,0,…,0)T,α3=(一1,0,1,…,0)T,…,αn=(一1,0,0,…,1)T,則A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn,其中k1≠0,k2,k3,…,kn不同時(shí)為0。令,則有P—1AP=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、設(shè)矩陣A與B相似,且。求可逆矩陣P,使P—1AP=B。標(biāo)準(zhǔn)答案:由A~B有于是得a=5,b=6。由A~B,知A與B有相同的特征值,于是A的特征值是λ1=λ2=2,λ3=6。當(dāng)λ=2時(shí),解齊次線性方程組(2E—A)x=0得到基礎(chǔ)解系為α1=(1,一1,0)T,α2=(1,0,1)T,即屬于λ=2的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)λ=6時(shí),解齊次線性方程組(6E—A)x=0,得到基礎(chǔ)解系是(1,一2,3)T,即屬于A=6的特征向量。令P=(α1,α2,α3)=,則有P—1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)1、設(shè)A為n階可逆矩陣,λ是A的一個(gè)特征值,則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是()A、λ—1|A|n。B、λ—1|A|。C、λ|A|。D、λ|A|n。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)向量x(x≠0)是與λ對(duì)應(yīng)的特征向量,則Ax=λx。兩邊左乘A*,結(jié)合A*A=|A|E得A*Ax=A*(λx),即|A|x=λA*x,從而A*x=可見(jiàn)A*有特征值=λ—1|A|。故選B。2、已知A是三階矩陣,r(A)=1,則λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:A的對(duì)應(yīng)λ的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)小于或等于特征值的重?cái)?shù)。r(A)=1,即r(0E一A)=1,(0E一A)x=0必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故λ=0的重?cái)?shù)大于等于2,其至少是二重特征值,也可能是三重。例如,r(A)=1,但λ=0是三重特征值。故選B。3、已知α=(1,一2,3)T是矩陣的特征向量,則()A、a=一2,b=6。B、a=2,b=一6。C、a=2,b=6。D、a=一2,b=一6。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量,按定義有即有所以λ=一4,a=一2,b=6。故選A。4、設(shè)A是n階矩陣,下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量,那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量,那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量,那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量,那么α是A的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如果α是2A的特征向量,即(2A)α=λα,那么Aα=λα,所以α是矩陣A屬于特征值的特征向量。由于(λE—A)x=0與(λE一AT)x=0不一定同解,所以α不一定是AT的特征向量。例如上例還說(shuō)明當(dāng)矩陣A不可逆時(shí),A*的特征向量不一定是A的特征向量;A2的特征向量也不一定是A的特征向量。故選D。5、下列選項(xiàng)中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:選項(xiàng)A中,r(A)=1,r(B)=2,故A和B不相似。選項(xiàng)B中,tr(A)=9,tr(B)=6,故A和B不相似。選項(xiàng)D中,矩陣A的特征值為2,2,一3,而矩陣B的特征值為1,3,一3,故A和B不相似。由排除法可知應(yīng)選C。事實(shí)上,在選項(xiàng)C中,矩陣A和B的特征值均為2,0,0。由于A和B均可相似對(duì)角化,即A和B均相似于對(duì)角矩陣,故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似。故選C。6、已知P—1AP=,α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量,α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量,那么矩陣P不可能是()A、(α1,一α2,α3)。B、(α1,α2+α3,α2一2α3)。C、(α1,α3,α2)。D、(α1+α2,α1一α2,α3)。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:若P—1AP=Λ=,P=(α1,α2,α3),則有AP=PΛ,即(Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1,λ2α2,λ3α3),可見(jiàn)αi是矩陣A屬于特征值λi(i=1,2,3)的特征向量,又因矩陣P可逆,因此α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量,則一α仍是屬于特征值λ的特征向量,故選項(xiàng)A正確。若α,β是屬于特征值λ的特征向量,則α與β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中,α2,α3是屬于λ=5的線性無(wú)關(guān)的特征向量,故α2+α3,α2一2α3仍是λ=5的特征向量,并且α2+α3,α2一2α3線性無(wú)關(guān),故選項(xiàng)B正確。對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)棣?,α3均是λ=5的特征向量,所以α2與α3誰(shuí)在前誰(shuí)在后均正確。故選項(xiàng)C正確。由于α1,α2是不同特征值的特征向量,因此α1+α2,α1一α2不再是矩陣A的特征向量,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選D。二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)7、設(shè)有二重特征根,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:2或知識(shí)點(diǎn)解析:|λE一A|==(λ一2)[λ2一2λ一2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根,則λ=2是λ2—2A一2(a—2)=0的單根,故a=2。如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方,則有△=4+8(a一2)=0,滿足λ=1是一個(gè)二重根,此時(shí)。8、已知λ=12是的特征值,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:4知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)棣?12是A的特征值,因此|12E—A|=0,即|12E—A|==9(4—a)=0,所以a=4。9、設(shè)α=(1,一1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩陣A的特征值,則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是______。標(biāo)準(zhǔn)答案:k(1,一1,1)T,k≠0知識(shí)點(diǎn)解析:令B=αβT,則矩陣B的秩是1,且βTα=a+1,由此可知矩陣B的特征值為a+1,0,0。那么A=E+B的特征值為a+2,1,1。因?yàn)棣?3是矩陣A的特征值,所以a+2=3,即a=1。于是Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α,即α=(1,一1,1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量,所以矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是k(1,一1,1)T,k≠0。10、已知α=(a,1,1)T是矩陣的逆矩陣的特征向量,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:一1知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)α是矩陣A—1屬于特征值λ的特征向量,則A—1α=λα,即α=λaα,于是解得,a=一1。11、已知矩陣只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么A的三個(gè)特征值是______。標(biāo)準(zhǔn)答案:2,2,2知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榫仃嘇只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以A的特征值必定是三重根,否則A至少應(yīng)該有兩個(gè)不同的特征值,同時(shí)也會(huì)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。由主對(duì)角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ,故λ1=λ2=λ3=2。12、已知有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則x=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:0知識(shí)點(diǎn)解析:由A的特征方程|λE一A|==(λ—1)(λ2一1)=0,可得A的特征值是λ=1(二重),λ=一1。因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以λ=1必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,因此r(E—A)=3—2=1,根據(jù)得x=0。13、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣,特征值分別為0,1,2,如果特征值0和1對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,2,1)T,α2=(1,一1,1)T,則特征值2對(duì)應(yīng)的特征向量是______。標(biāo)準(zhǔn)答案:t(一1,0,1)T,t≠0知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)所求的特征向量為α(x1,x2,x3)T,因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的,故有所以對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量是t(一1,0,1)T,t≠0。三、解答題(本題共12題,每題1.0分,共12分。)已知矩陣與相似。14、求x與y的值;標(biāo)準(zhǔn)答案:相似矩陣有相同的特征值,由矩陣B的特征值為2,y,一1可知矩陣A的特征值也為2,y,一1,故|A|=2×y×(一1)=一2,且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1),解得y=1,x=0。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、求一個(gè)滿足P—1AP=B的可逆矩陣P。標(biāo)準(zhǔn)答案:A的特征值為λ1=2,λ2=1,λ3=一1。由(λiE—A)x=0(i=1,2,3)解得矩陣A的屬于特征值λ1=2,λ2=1,λ3=一1的特征向量分別為α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,1)T,α3=(0,一1,1)T,令可逆矩陣P=(α1,α2,α3)=,則P—1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析16、設(shè)矩陣。當(dāng)k為何值時(shí),存在可逆矩陣P,使得P—1AP為對(duì)角矩陣?并求出矩陣P和相應(yīng)的對(duì)角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==(λ+1)2(λ一1)。則A的特征值為λ1=λ2=一1,λ3=1。矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是屬于特征值λ=一1的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè),即線性方程組(一E一A)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,則r(A+E)=1。對(duì)矩陣A+E作初等行變換得當(dāng)k=0時(shí),r(A+E)=1。此時(shí),由(一E一A)x=0解得屬于特征值一1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為α1=(一1,2,0)T,α2=(1,0,2)T;由(E一A)x=0解得屬于特征值1的特征向量為α3=(1,0,1)T。令可逆矩陣P=(α1,α2,α3),則P—1AP=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、設(shè)矩陣與相似,求x,y的值,并求一個(gè)正交矩陣P,P—1AP=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案:A與Λ相似,相似矩陣有相同的特征值,故λ=5,λ=一4,λ=y是A的特征值。因?yàn)棣?一4是A的特征值,所以解得x=4。又因?yàn)橄嗨凭仃嚨男辛惺较嗤?,,|Λ?一20y,解得y=5。當(dāng)λ=5時(shí),解方程(A一5E)x=0,得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量和,將它們正交化、單位化得當(dāng)λ=一4時(shí),解方程(A+4E)x=0,得特征向量,單位化得則有P=(P1,P3,P2)=,所以P—1AP=Λ。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)A為三階矩陣,α1,α2,α3是線性無(wú)關(guān)的三維列向量,且滿足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。18、求矩陣A的特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:由已知可得A(α1,α2,α3)=(α1+α2+α3,2α2+α3,2α2+3α3)=(α1,α2,α3),記P1=(α1,α2,α3),B=,則有AP1=P1B。由于α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),即矩陣P1可逆,所以P1—1AP1=B,因此矩陣A與B相似,則矩陣B的特征值是1,1,4,故矩陣A的特征值為1,1,4。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、求可逆矩陣P使得P—1AP=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案:由(E—B)x=0,得矩陣B對(duì)應(yīng)于特征值λ=1的特征向量β1=(一1,1,0)T,β2=(一2,0,1)T;由(4E—n)x=0,得對(duì)應(yīng)于特征值λ=4的特征向量β3=(0,1,1)T。令P2=(β1,β2,β3)=,得P2—1BP2=,則P2—1P1—1AP1P2=,即當(dāng)P=P1P2=(α1,α2,α3)=(一α1+α2,一2α1+α3,α2+α3)時(shí),有P—1AP=Λ=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)A是三階方陣,α1,α2,α3是三維線性無(wú)關(guān)的列向量組,且Aα1=α2+α3,Aα2=α3+α1,Aα3=α1+α2。20、求矩陣A的全部特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),則α1+α2+α3≠0,α2一α1≠0,α3一α1≠0,且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3),A(α2一α1)=一(α2一α1),A(α3一α1)=一(α3一α1),可知矩陣A的特征值為2和一1。又由α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)可知α2一α1,α3一α1也線性無(wú)關(guān),所以一1是矩陣A的二重特征值,即A的全部特征值為2,一1,一1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、矩陣A是否可對(duì)角化?標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)棣?,α2,α3線性無(wú)關(guān),而(α1+α2+α3,α2一α1,α3一α1)=(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)P,且|P|=3≠0,所以α2一α1,α3一α1,α1+α2+α3線性無(wú)關(guān),即矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以矩陣A可相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、已知矩陣A與B相似,其中。求a,b的值及矩陣P,使P—1AP=B。標(biāo)準(zhǔn)答案:由A~B,得解得a=7,b=一2。由矩陣A的特征多項(xiàng)式|λE—A|==λ2一4λ一5,得A的特征值是λ1=5,λ2=一1。它們也是矩陣B的特征值。分別解齊次線性方程組(5E—A)x=0,(一E—A)x=0,可得到矩陣A的屬于λ1=5,λ2=一1的特征向量依次為α1=(1,1)T,α2=(一2,1)T。分別解齊次線性方程組(5E—B)x=0,(一E—B)x=0,可得到矩陣B的屬于λ1=5,λ1=一1的特征向量分別是β1=(一7,1)T,β2=(一1,1)T。令,則有P1—1AP1==P2—1AP2。取P=P1P2—1=,即有P—1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn,記成向量。23、求與的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式;標(biāo)準(zhǔn)答案:由題意得化成矩陣形式為可見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、驗(yàn)證是A的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)樾辛惺剑?,η2|==5≠0,所以η1,η2線性無(wú)關(guān)。又Aη1==η1,故η1為A的特征向量,且相應(yīng)的特征值λ1=1。,故η2為A的特征向量,且相應(yīng)的特征值λ2=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、當(dāng)時(shí),求。標(biāo)準(zhǔn)答案:令P=(η1,η2)=。則由P—1AP=,有A=。于是因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)1、已知A是四階矩陣,A*是A的伴隨矩陣,若A*的特征值是1,一1,2,4,那么不可逆矩陣是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳*的特征值是1,一1,2,4,所以|A*|=一8,又|A*|=|A|4-1,因此|A|3=一8,于是|A|=一2。那么,矩陣A的特征值是:一2,2,一1,一。因此,A一E的特征值是一3,1,一2,一。因?yàn)樘卣髦捣橇?,故矩陣A—E可逆。同理可知,矩陣A+2E的特征值中含有0,所以矩陣A+2E不可逆。所以應(yīng)選C。2、已知A是三階矩陣,r(A)=1,則λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:A的對(duì)應(yīng)λ的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)小于或等于特征值的重?cái)?shù)。r(A)=l,即r(OE—A)=1,(OE—A)x=0必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故λ=0的重?cái)?shù)大于等于2。至少是二重特征值,也可能是三重。例如A=,r(A)=1,但λ=0是三重特征值。所以應(yīng)選B。3、設(shè)λ1,λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,則α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:令k1α1+k2A(α1+α2)=0,則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因?yàn)棣?,α2線性無(wú)關(guān),所以k1+k2λ1=0,且k2λ2=0。當(dāng)λ2≠0時(shí),顯然有k1=0,k2=0,此時(shí)α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān);反過(guò)來(lái),若α1,A(α1+α2)線性無(wú)關(guān),則必然有λ2≠0(否則,α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關(guān)),故應(yīng)選B。4、已知三階矩陣A與三維非零列向量α,若向量組α,Aα,A2α線性無(wú)關(guān),而A3α=3Aα一2A2α,那么矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因?yàn)棣粒珹α,A2α線性無(wú)關(guān),必有A2α一Aα≠0,所以A2α一Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量,即矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量。所以應(yīng)選C。5、設(shè)n階矩陣A與B相似,E為n階單位矩陣,則()A、λE—A=λE—B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。D、對(duì)任意常數(shù)t,tE一A與tE一B相似。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)橛葾與B相似不能推得A=B,所以選項(xiàng)A不正確。相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故選項(xiàng)B也不正確。對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楦鶕?jù)題設(shè)不能推知A,B是否相似于對(duì)角陣,故選項(xiàng)C也不正確。綜上可知選項(xiàng)D正確。事實(shí)上,因A與B相似,故存在可逆矩陣P,使P-1AP=B。于是P-1(tE—A)P=tE一P-1AP=tE一B,可見(jiàn)對(duì)任意常數(shù)t,矩陣tE一A與tE一B相似。所以應(yīng)選D。6、下列選項(xiàng)中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:選項(xiàng)A中,r(A)=1,r(B)=2,故A和B不相似。選項(xiàng)B中,tr(A)=9,tr(B)=6,故A、和B不相似。選項(xiàng)D中,矩陣A的特征值為2,2,一3,而矩陣B的特征值為1,3,一3,故A和B不相似。由排除法可知應(yīng)選C。事實(shí)上,在選項(xiàng)C中,矩陣A和B的特征值均為2,0,0。由于A和B均可相似對(duì)角化,也即A和B均相似于對(duì)角矩陣,故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似。所以選C。7、設(shè)A是三階矩陣,其特征值是1,3,一2,相應(yīng)的特征向量依次是α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,一α2),則P-1AP=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由Aα2=3α2,有A(一α2)=3(一α2),即當(dāng)α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時(shí),一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理,2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量。當(dāng)P-1AP=時(shí),P由A的特征向量構(gòu)成,由A的特征值構(gòu)成,且P與的位置是對(duì)應(yīng)一致的,已知矩陣A的特征值是1,3,一2,故對(duì)角矩陣應(yīng)當(dāng)由1,3,一2構(gòu)成,因此排除選項(xiàng)B、C。由于2α3是屬于λ=一2的特征向量,所以一2在對(duì)角矩陣中應(yīng)當(dāng)是第二列,所以應(yīng)選A。8、已知三階矩陣A的特征值為0,1,2。設(shè)B=A3一2A2,則r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能確定。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)不同的特征值,所以A必能相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=,于是P-1BP=P-1(A3一2A2)P=P-1A3P一2P-1A2P=(P-1AP)3一2(P-1AP)2則矩陣B的三個(gè)特征值分別為0,0,一1,故r(B)=1。所以選A。二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)9、矩陣的非零特征值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案:4知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE一A|==λ2(λ一4),所以非零特征值為4。10、已知λ=12是A=的特征值,則a=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:4知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)棣?12是A的特征值,因此|12E—A|=0,即|12E—A|==9(4一a)=0,所以a=4。11、已知α=(1,3,2)T,β=(1,一1,一2)T,A=E一αBT,則A的最大的特征值為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案:7知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榉橇懔邢蛄喀粒碌闹染鶠?,所以矩陣αβT的秩也為1,于是αβT的特征值為0,0,tr(αβT),其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值為1,1,7,則A的最大的特征值為7。12、若三維列向量α,β滿足αTβ=2,其中αT為α的轉(zhuǎn)置,則矩陣βαT的非零特征值為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案:2知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)棣罷β=2,所以(βαT)β=β(αTβ)=2β,故βαT的非零特征值為2。13、設(shè)A是三階矩陣,且各行元素的和都是5,則矩陣A一定有特征值_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:5知識(shí)點(diǎn)解析:已知各行元素的和都是5,即化為矩陣形式,可得滿足,故矩陣A一定有一個(gè)特征值為5。14、已知矩陣A=只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么A的三個(gè)特征值是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:2,2,2知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榫仃嘇只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以A的特征值必定是三重根,否則A至少應(yīng)該有兩個(gè)不同的特征值,同時(shí)也會(huì)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。由主對(duì)角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ,故λ1=λ2=λ3=2。15、設(shè)矩陣A與B=相似,則r(A)+r(A一2E)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:3知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣A與B相似,則A一2E與B一2E相似,而相似矩陣具有相同的秩,所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。16、設(shè)三階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1,α2,α3,令P=(3α1,α2,2α2),則P-1AP=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)?α3,α1,2α2分別為A的對(duì)應(yīng)特征值3,1,2的特征向量,所以P-1AP=。17、設(shè)二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值為λi=1,屬于λ1的特征向量為(1,一1)T,若|A|=一2,則A=________。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)矩陣A的特征值λ1=1和λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,一1)T和α2=(x1,x2)T。實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣Q,使得Q-1AQ=。而相似矩陣的行列式相等,所以一2=|A|==λ2,即λ2=一2。又實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交,所以α1Tα2=0,即x1一x2=0。方程組x1一x2=0的基礎(chǔ)解系為α2=(1,1)T。令Q=(α1,α2)=,則三、解答題(本題共13題,每題1.0分,共13分。)18、設(shè)矩陣A=,行列式|A|=一1,又A*的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量為α=(一1,一1,1)T,求a,b,c及λ0的值。標(biāo)準(zhǔn)答案:AA*=|A|E=一E。對(duì)于A*α=λ0α,用A左乘等式兩端,得λ0Aα=一α,即,由此可得(1)一(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1),得b=一3,a=c。由|A|=一1和a=c,有=a—3=一1,即得a=c=2。故a=2,b=一3,c=2,λ0=1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析已知的一個(gè)特征向量。19、求參數(shù)a,b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)λ是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值,根據(jù)特征值的定義,有(A—λE)p=0,即從而有方程組解得a=一3,b=0,且p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=一1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、問(wèn)A能不能相似對(duì)角化?并說(shuō)明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案:A的特征多項(xiàng)式|A—λE|==一(λ+1)3,得A的特征值為λ=一1(三重)。若A能相似對(duì)角化,則特征值λ=一1有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,而A+E=,故r(A+E)=2,所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量,A不能相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、設(shè)矩陣A=的特征值有一個(gè)二重根,求a的值,并討論矩陣A是否可相似對(duì)角化。標(biāo)準(zhǔn)答案:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE一A|==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是單根,則λ2一8λ+18+3a是完全平方,必有18+3a=16,即a=。則矩陣A的特征值是2,4,4,而r(4E—A)=2,故λ=4只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而A不能相似對(duì)角化。如果λ=2是二重特征值,則將λ=2代入λ2一8λ+18+3a=0可得a=一2。于是λ2一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)。則矩陣A的特征值是2,2,6,而r(2E—A)=l,故λ=2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而A可以相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣A=。當(dāng)k為何值時(shí),存在可逆矩陣P,使得P-1AP為對(duì)角矩陣?并求出P和相應(yīng)的對(duì)角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==(λ+1)2(λ一1),則A的特征值為λ1=λ2=一1,λ3=1。矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是屬于特征值λ=一1的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè),即線性方程組(一E—A)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,則r(A+E)=1。對(duì)矩陣A+E作初等行變換得當(dāng)k=0時(shí),r(A+E)=1。此時(shí),由(一E一A)x=0解得屬于特征值一1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為α1=(一1,2,0)T,α2=(1,0,2)T;由(E—A)x=0解得屬于特征值1的特征向量為α3=(1,0,1)T。令可逆矩陣P=(α1,α2,α3),則P-1AP=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)A是三階方陣,α1,α2,α3是三維線性無(wú)關(guān)的列向量組,且Aα1=α2+α3,Aα2=α3+α1,Aα3=α1+α2。23、求A的全部特征值;標(biāo)準(zhǔn)答案:α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),則α1+α2+α3≠0,α2一α1≠0,α3一α1≠0,且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3),A(α2一α1)=一(α2一α1),A(α3一α1)=一(α3一α1)可知矩陣A的特征值為2和一1。又由α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)可知α2一α1,α3一α1也線性無(wú)關(guān),所以一1是矩陣A的二重特征值,即A的全部特征值為2,一1,一1。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、A是否可對(duì)角化?標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)棣?,α2,α3線性無(wú)關(guān),而(α1+α2+α3,α2一α1,α3一α1)=(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)P,且|p|=3≠0,所以α2一α1,α3一α1,α1+α2+α3線性無(wú)關(guān),即矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以矩陣A可相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)三階矩陣A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1=(1,l,1)T,α2=(1,2,4)T,α3=(1,3,9)T。25、將向量β=(1,1,3)T用α1,α2,α3線性表示;標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β,即解得x1=2,x2=一2,x3=1,故β=2α1—2α2+α3。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析26、求Anβ。標(biāo)準(zhǔn)答案:Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3,則由題設(shè)條件及特征值與特征向量的定義可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解。27、求A的特征值與特征向量;標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為3,所以有則λ=3是矩陣A的特征值,α=(1,1,1)T是對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)應(yīng)λ=3的全部特征向量為kα=k(1,1,1)T,其中k是不為零的常數(shù)。又由題設(shè)知Aα1=0,Aα2=0,即Aα1=0.α1,Aα2=0.α2,而且α1,α2線性無(wú)關(guān),所以λ=0是矩陣A的二重特征值,α1,α2是其對(duì)應(yīng)的特征向量,因此對(duì)應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1,2,一1)T+k2(0,一1,1)T,其中k1,k2是不全為零的常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析28、求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A,使得QTAQ=A。標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣,所以α與α1,α2正交,只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法,取β1=α1,β2=α2-。再將α,β1,β2單位化,得令Q=(η1,η2,η3),則Q-1=QT,且QTAQ=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析29、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=一1,λ2=λ3=1,對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量為ξ1=(0,1,1)T,求A。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1,x2,x3)T。實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交,所以ξ1Tx=0,即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎(chǔ)解系為ξ2=(1,0,0)T,ξ3=(0,一1,1)T。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析30、28.已知矩陣A=有特征值λ=5,求a的值;當(dāng)a>0時(shí),求正交矩陣Q,使Q-1AQ=A。標(biāo)準(zhǔn)答案:因λ=5是矩陣A的特征值,則由|5E一A|==3(4一a2)=0,可得a=±2。當(dāng)a=2時(shí),矩陣A的特征多項(xiàng)式|λE一A|==(λ一2)(λ一5)(λ一1),矩陣A的特征值是1,2,5。由(E一A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(0,1,一1)T;由(2E一A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1,0,0)T;由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(0,1,1)T。即矩陣A屬于特征值1,2,5的特征向量分別是α1,α2,α3。由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交,故只需單位化,則知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)1、已知A是n階可逆矩陣,那么與A有相同特征值的矩陣是()A、AT。B、A2。C、A—1。D、A—E。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由于|λE—AT|=|(λE—A)T|=|λE—A|,A與AT有相同的特征多項(xiàng)式,所以A與AT有相同的特征值。由Aα=λα,α≠0可得到A2α=λ2α,A—1α=λ—1α,(A—E)α=(λ一1)α,說(shuō)明A2,A—1,A—E與A的特征值是不一樣的(但A的特征向量也是它們的特征向量)。故選A。2、已知α1=(一1,1,a,4)T,α2=(一2,1,5,a)T,α3=(a,2,10,1)T是四階方陣A的三個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,則()A、a≠5。B、a≠一4。C、a≠一3。D、a≠一3且a≠一4。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線性無(wú)關(guān),所以r(α1,α2,α3)=3。由于所以a≠5。故選A。3、已知三階矩陣A與三維非零列向量α,若向量組α,Aα,A2α線性無(wú)關(guān),而A3α=3Aα一2A2α,那么矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α—Aα。D、A2α+2Aα一3α。標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α一Aα)。因?yàn)棣粒珹α,A2α線性無(wú)關(guān),必有A2α一Aα≠0,所以A2α—Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量,即A2α一Aα是矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量。故選C。4、n階矩陣A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要條件。B、必要而非充分條件。C、充分而非必要條件。D、既非充分也非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由A~B,即存在可逆矩陣JP,使P—1AP=B,故|λE一B|=|λE—P—1AP|=|P—1(λE—A)P|=|P—1||λE—A||P|=|λE—A|,即A與B有相同的特征值。但當(dāng)A,B有相同特征值時(shí),A與B不一定相似。例如雖然A,B有相同的特征值λ1=λ2=0,但由于r(A)≠r(B),A,B不可能相似。所以,相似的必要條件是A,B有相同的特征值。故選B。5、下列矩陣中,不能相似對(duì)角化的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:選項(xiàng)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,實(shí)對(duì)稱矩陣必可以相似對(duì)角化。選項(xiàng)B是下三角矩陣,主對(duì)角線元素就是矩陣的特征值,因而矩陣有三個(gè)不同的特征值,所以矩陣必可以相似對(duì)角化。選項(xiàng)C是秩為1的矩陣,由|λE—A|=λ3一4λ2,可知矩陣的特征值是4,0,0。對(duì)于二重根λ=0,由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齊次方程組(OE一A)x=0的基礎(chǔ)解系有3—1=2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,即λ=0時(shí)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而矩陣必可以相似對(duì)角化。選項(xiàng)D是上三角矩陣,主對(duì)角線上的元素1,1,一1就是矩陣的特征值,對(duì)于二重特征值λ=1,由可知齊次線性方程組(E—A)x=0只有3—2=1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,即λ=1時(shí)只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故矩陣必不能相似對(duì)角化。故選D。6、已知三階矩陣A的特征值為0,1,2。設(shè)B=A3一2A2,則r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能確定。標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)不同的特征值,所以A必能相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣P,使得P—1AP=Λ=于是P—1BP=P—1(A3一2A2)P=P—1A3P一2P—1A2P=(P—1AP)3一2(P—1AP)2則矩陣B的三個(gè)特征值分別為0,0,一1,故r(B)=1。故選A。二、填空題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)7、設(shè)矩陣的一個(gè)特征值為λ1=—3,且A的三個(gè)特征值之積為一12,則a=______,b=______,A的其他特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:1,2或一2,λ2=λ3=2知識(shí)點(diǎn)解析:由題意可得|A|=一4a一2b2=一12,所以2a+b2=6。又A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==(λ一2)[λ2一(a—2)λ一6],而A有特征值一3,所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根,故a=1,b=2或一2。由|λE一A|=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩陣A的另外兩個(gè)特征值為λ2=λ3=2。8、已知,A*是A的伴隨矩陣,那么A*的特征值是______。標(biāo)準(zhǔn)答案:1,7,7知識(shí)點(diǎn)解析:由矩陣A的特征多項(xiàng)式|λE—A|==(λ一7)(λ一1)2可得矩陣A的特征值為7,1,1。所以|A|=7×1×1=7。如果Aα=λα,則有A*α=,因此A*的特征值是1,7,7。9、若三維列向量α,β滿足αβT=2,其中αT為α的轉(zhuǎn)置,則矩陣βαT的非零特征值為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案:2知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)棣罷β=2,所以(βαT)β=β(αTβ)=2β,故βαT的非零特征值為2。10、設(shè)A是三階可逆矩陣,A的各行元素之和為k,A*的各行元素之和為m,則|A|=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:km知識(shí)點(diǎn)解析:由A的各行元素之和為k,A*的各行元素之和為m可知A(1,1,1)T=k(1,1,1)T,A*(1,1,1)T=m(1,1,1)T,在A(1,1,1)T=k(1,1,1)T兩邊同時(shí)左乘A*可得A*A(1,1,1)T=kA*(1,1,1)T,即|A|(1,1,1)T=kA*(1,1,1)T=km(1,1,1)T,故|A|=km。11、已知矩陣有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:一1知識(shí)點(diǎn)解析:A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==(λ+1)3,所以矩陣A的特征值是一1,且為三重特征值,但是A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故r(一E—A)=1,因此a=一1。12、設(shè)三階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1,α2,α3,令P=(3α3,α1,2α2),則P—1AP=______。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)?α3,α1,2α2分別為A的對(duì)應(yīng)特征值3,1,2的特征向量,所以P—1AP=。三、解答題(本題共10題,每題1.0分,共10分。)13、n階矩陣,求A的特征值和特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案:矩陣A的特征多項(xiàng)式為|λE—A|==[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b)]n—1,則A的特征值為1+(n一1)b和1—b(n一1重)。①當(dāng)b=0時(shí),A的特征值是1(n重),任意n維非零列向量均為A的特征向量。②當(dāng)b≠0時(shí),對(duì)方程組{[1+(n一1)]bE—A}x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1,1,1,…,1)T。所以A的屬于λ=1+(n一1)b的全部特征向量為kξ1=k(1,1,1,…,1)T,k≠0。對(duì)方程組[(1一b)E—A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為ξ2=(1,一1,0,…,0)T,ξ3=(1,0,一1,…,0)T,…,ξn=(1,0,0,…,一1)T,所以A的屬于λ=1一b的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn,其中k2,k3,…,kn是不全為零的常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解。14、求矩陣A的特征值與特征向量;標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為3,所以有則λ=3是矩陣A的特征值,α=(1,1,1)T是對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)應(yīng)λ=3的全部特征向量為kα=k(1,1,1)T,其中k是不為零的常數(shù)。又由題設(shè)知Aα1=0,Aα2=0,即Aα1=0·α1,Aα2=0·α2,而且α1,α2線性無(wú)關(guān),所以λ=0是矩陣A的二重特征值,α1,α2是其對(duì)應(yīng)的特征向量,因此對(duì)應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1,2,一1)T+k2(0,一1,1)T,其中k1,k2是不全為零的常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A,使得QTAQ=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣,所以α與α1,α2正交,只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法,取β1=α1,β1=再將α,β1,β2單位化,得令Q=(η1,η2,η3),則Q—1=QT,且QTAQ==Λ。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析16、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=一1,λ2=λ3=1,對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量為ξ1=(0,1,1)T,求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1,x2,x3)T。實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交,所以ξ1Tx=0,即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎(chǔ)解系為ξ2=(1,0,0)T,ξ3=(0,一1,1)T。令P=(ξ1,ξ2,ξ3)=,則P—1AP=,所以知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=1,λ2=一1,λ3=0;對(duì)應(yīng)λ1,λ2的特征向量依次為p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,一2)T,求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣,故必存在正交矩陣Q=(q1,q2,q3),使QTAQ=Q—1AQ==Λ。將對(duì)應(yīng)于特征值λ1,λ2的特征向量單位化,得由正交矩陣的性質(zhì),q3可取為的單位解向量,則由可知,因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(一1,2,一3)T都是A屬于λ=6的特征向量,求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案:由r(A)=2知,|A|=0,所以λ=0是A的另一特征值。因?yàn)棣?=λ2=6是實(shí)對(duì)稱矩陣的二重特征值,故A屬于λ=6的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè),因此α1,α2,α3必線性相關(guān),顯然α1,α2線性無(wú)關(guān)。設(shè)矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1,x2,x3)T,由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交,故有解得此方程組的基礎(chǔ)解系α=(一1,1,1)T。根據(jù)A(α1,α2,α)=(6α1,6α2,0)得A=(6α1,6α2,0)(α1,α2,α)—1=知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量,記B=A5一4A3+E,其中E為三階單位矩陣。19、驗(yàn)證α1是矩陣B的特征向量,并求矩陣B的全部特征值與特征向量;標(biāo)準(zhǔn)答案:由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1,依次遞推,則有A3α1=α1,A5α1=α1,故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1,即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。由關(guān)系式B=A5一4A3+E及A的三個(gè)特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2得B的三個(gè)特征值為μ1=一2,μ2=1,μ3=1。設(shè)α2,α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,又由A為對(duì)稱矩陣,則B也是對(duì)稱矩陣,因此α1與α2,α3正交,即α1Tα2=0,α1Tα3=0。因此α2,α3可取為下列齊次線性方程組兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,即得其基礎(chǔ)解系為,故可取。B的全部特征向量為,其中k1≠0,k2,k3不同時(shí)為零。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案:令P=(α1,α2,α3)=,則P—1BP=,于是知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、已知矩陣有特征值λ=5,求a的值;當(dāng)a>0時(shí),求正交矩陣Q,使Q—1AQ=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案:因A=5是矩陣A的特征值,則由=3(4一a2)=0,可得a=±2。當(dāng)a=2時(shí),矩陣A的特征多項(xiàng)式=(λ一2)(λ一5)(λ一1),矩陣A的特征值是1,2,5。由(E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(0,1,一1)T,由(2E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1,0,0)T,由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(0,1,1)T。矩陣A屬于特征值1,2,5的特征向量分別是α1,α2,α3。由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交,故只需單位化,則令Q=(γ1,γ2,γ3)=,則有Q—1AQ=。知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、設(shè),且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對(duì)角矩陣。若Q的第一列為(1,2,1)T,求a,Q。標(biāo)準(zhǔn)答案:按已知條件,(1,2,1)T是矩陣A的特征向量,設(shè)特征值是λ1,那么又因=(λ一2)(λ一5)(λ+4),知矩陣A的特征值是2,5,一4。對(duì)λ=5,由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1,一1,1)T。對(duì)λ=一4,由(一4E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(一1,0,1)T。因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣,對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交,故只需單位化α2,α3,即則令則有QTAQ=Q—1AQ=知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、設(shè)A是n階矩陣,下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量,那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量,那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量,那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量,那么α是A的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:由于(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解,所以α不一定同時(shí)是AT和A的特征向量。例如該例還說(shuō)明當(dāng)矩陣A不可逆時(shí),A*的特征向量不一定是A的特征向量;A2的特征向量不一定是A的特征向量。若α是

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