考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷6（共226題）

考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷6（共7套）（共226題）考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第1套一、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、對(duì)事件A，B，已知P(｜A)＝，P(B｜)＝，P(AB)＝．則P(A)＝_______，P(B)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由得P(A)＝，又由得P(B)＝．2、對(duì)事件A、B，已知P(∪B)＝0．75，P()＝0．8，P(B)＝0．3，則P(A)＝_______，P(AB)＝_______，P()＝_______，P(A－B)＝_______，P(B－A)＝_______，P(A∪)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．45；0．2；0．45；0．25；0．1；0．9．知識(shí)點(diǎn)解析：∵0．8＝P()＝1－P(AB)，∴P(AB)＝0．2，又∵0．75＝P(∪B)＝1－P()＝1－P(A)＝1－[P(A)－P(AB)]＝1－[P(A)－0．2]，得P(A)＝0．45，可得P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)－P(AB)]＝1－(0．45＋0．3－0．2)＝0．45，P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝0．25，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝0．1，P(A∪)＝1－P(B)＝1－[P(B)－P(AB)]＝0．9．3、某城市共有N輛汽車，車牌號(hào)碼從1到N．有一人將他所遇到的該城市的行輛汽車的車牌號(hào)碼(可能有重復(fù)的號(hào)碼)全部抄下來，假設(shè)每輛汽車被遇到的機(jī)會(huì)相同，求抄到的最大號(hào)碼正好是k(1≤k≤N)的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)兩兩獨(dú)立的三事件A，B，C滿足條件：ABC＝，P(A)＝P(B)＝P(C)＜，P(A∪B∪C)＝則P(A)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)P(A)＝χ，則＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝3χ－3χ2，解得χ＝．5、設(shè)在3次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率均相等且A至少出現(xiàn)一次的概率為，則在1次試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)1次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p，則＝P{A至少出現(xiàn)1次}＝1－P{A出現(xiàn)0次}＝1－C30.p0.(1－P)3-0＝1－(1－p3)，故p＝．6、設(shè)甲、乙兩人獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，其命中率分別為0．6和0．5．則已命中的目標(biāo)是被甲射中的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記A＝{甲擊中目標(biāo)}，B＝{乙擊中目標(biāo)}，C＝{目標(biāo)被擊中}，則P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0．6＋0．5－0．6×0．5＝0．8，所求概率為P(A｜C)＝，注意AC，∴P(AC)＝P(A)＝0．6，故P(A｜C)＝．7、設(shè)P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，則A，B，C都不發(fā)生的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P()＝1－P(A∪B∪C)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)]＝1－．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、設(shè)A，B，C為事件，用它們來表示下列事件：(1)僅A發(fā)生；(2)A，B，C不都發(fā)生；(3)A，B，C都不發(fā)生；(4)A，B，C恰一個(gè)發(fā)生．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、從6雙不同的手套中任取4只，求(1)恰有一雙配對(duì)的概率；(2)至少有2只可配成一雙的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、一袋中裝有N－1只黑球及1只白球，每次從袋中隨機(jī)地取出一球，并換人一只黑球，這樣繼續(xù)下去、問第k次取出的是黑球的概率是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：記Ai＝{第i次取得黑球}，i＝1，2，…，k，則A1A2…Ak-1，故＝A1A2…Ak-1，∴P()＝P(A1A1…)＝P(｜A1…Ak1)P(Ak-1｜A1…Ak-2)…P(A2｜A1)P(A1)＝，得P(Ak)＝1－P()＝1－．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、將n個(gè)同樣的盒子和n只同樣的小球分別編號(hào)為1，2，…，n．把這，n只小球隨機(jī)地投入n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中投入一只小球．問至少有一只小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同的概率是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：記Ai＝{i號(hào)小球投人到i號(hào)盒中}，i＝1，2，…，n．則所求概率為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、對(duì)目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立炮擊．第一次命中率為0．4，第二次命中率為0．5，第三次命中率為0．7．目標(biāo)中一彈而被擊毀的概率為0．2，中兩彈被擊毀的概率為0．6，中三彈被擊毀的概率為0．8．(1)求目標(biāo)被擊毀的概率；(2)已知目標(biāo)被擊毀，求目標(biāo)中兩彈的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)記Ai＝{第i次射擊時(shí)擊中目標(biāo)}(i＝1，2，3)，B＝{目標(biāo)被擊毀}，則＝0．2(0．4×0．5×0．3＋0．6×0．5×0．3＋0．6×0．5×0．7)＋0．6(0．4×0．5×0．3＋0．4×0．5×0．7＋0．6×0．5×0．7)＋0．8×0．4×0．5×0．7＝0．43；(2)P(A1A2∪A1A3∪A2A3｜B)＝＝×0．6×(0．4×0．5×0．3＋0．4×0．5×0．7＋0．6×0．5×0．7)＝0．572093023．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、在隨機(jī)地拋擲兩枚均勻骰子的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，求兩枚骰子點(diǎn)數(shù)和為5的結(jié)果出現(xiàn)在它們的點(diǎn)數(shù)和為7的結(jié)果之前的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：記Ai＝{第i次拋時(shí)點(diǎn)數(shù)之和為5}，Bi＝{第i次拋時(shí)點(diǎn)數(shù)之和為7}，則P(Ai)＝，P(Bi)＝，而A1B1＝，∴P()＝1－P(Ai∪Bi)＝1－[P(Ai)＋P(Bi)]＝，i＝1，2，…．又記C1＝A1，Ck＝Ak，(k＝2，3，…)而諸Ai，Aj，Bk，Bl(在i，j，k，l互不相等時(shí))相互獨(dú)立，故P(Ck)＝，(k＝1，2，…)．注意諸Ck兩兩不相容，故所求概率為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、乒乓球比賽采用5局3勝制，甲、乙兩人在比賽中，各局甲勝的概率為0．6，且前2局皆為甲勝．求甲最終贏得比賽勝利的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：記Ai＝{第i局甲勝}，i＝3，4，5．所求概率為P(A3∪A4∪A5)＝1－P()＝1－＝1－0．43＝0．936．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)袋中有7紅6白13個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)取5個(gè)球，分(1)不放回；(2)放回兩種情形下，寫出這5個(gè)球?yàn)?紅2白的概率(寫出計(jì)算式即可)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、乒乓球盒中有15個(gè)球，其中有9只新球和6只舊球．第一次比賽時(shí)任取3只使用，用后放回(新球使用一次就成舊球)．第二次比賽時(shí)也任取3只球，求此3只球均為新球的概率．(寫出計(jì)算式即可)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記Ai＝{第1次取的3只球中有i只新球}，B＝{第2次取的3只球均為新球}，則P(Ai)＝，P(B｜Ai)＝，i＝0，1，2，3．則P(B)＝P(B｜Ai)P(Ai)＝(C63C93＋C62C91C83＋C61C92C73＋C93C62)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、3架飛機(jī)(其中有1架長(zhǎng)機(jī)和2架僚機(jī))去執(zhí)行轟炸任務(wù)，途中要過一個(gè)敵方的高炮陣地．各機(jī)通過高炮陣地的概率均為0．8，通過后轟炸成功的概率均為0．3，各機(jī)間相互獨(dú)立，但只有長(zhǎng)機(jī)通過高炮陣地才有可能轟炸成功．求最終轟炸成功的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長(zhǎng)機(jī)為A，另2架僚機(jī)分別為B、C，記A1＝{A通過高炮陣地}，B1＝{B通過高炮陣地}，C1＝{C通過高炮陣地}，A2＝{A轟炸成功}，D＝{最終轟炸成功}，由題意，得＝0．2＋0．8P(｜A1)，又P(｜A1＝P(A2｜A1)＋P(｜A1)＝0＋＝0．7P()，又＝072×0．82＋0．7×0．8×0．2×2＋1×0．22＝0．5776。代回可得P(D)＝0．476544．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)X和Y獨(dú)立同分布，且均服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，求ξ＝的分布函數(shù)F(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，(X，Y)的概率密度為則F(u)＝P(ξ≤u)＝P(≤u)U≤0時(shí)，F(xiàn)(u)＝0；U≥0時(shí)，F(xiàn)(u)＝1；0＜u≤時(shí)，F(xiàn)(u)＝其中G見圖1中陰影部分；其中D見圖2中陰影部分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)區(qū)域D1為以(0，0)，(1，1)，(0，)，(，1)為頂點(diǎn)的四邊形，D2為以(，0)，(1，0)，(1，)為頂點(diǎn)的三角形，而D由D1與D2合并而成．隨機(jī)變量(X，Y)在D上服從均勻分布，求關(guān)于X、Y的邊緣密度f(wàn)X(χ)、fY(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易算得D1的面積為，D2的面積為，故D的面積為，∴(X，Y)的概率密度為∴fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy當(dāng)χ≤0或χ≥1時(shí)，fχ(χ)＝0；當(dāng)0＜χ＜時(shí)，fX(χ)＝2dy＝1當(dāng)≤χ＜1時(shí)，fX(χ)＝2dy＋∫χ12dy＝1．而fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，fY(y)＝0；當(dāng)0＜y＜時(shí)，fY(y)＝∫0y2dχ＋2dχ＝1；當(dāng)≤y＜1時(shí)，fY(y)＝2dχ＝1．故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，P(X＝1)＝P∈(0，1)，P(X＝0)＝1－P，令問P取何值時(shí)，X與Z獨(dú)立?(約定：0為偶數(shù))標(biāo)準(zhǔn)答案：P(Z＝0)＝P(X＋Y＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝0)＝2p(1－p)P(Z＝1)＝P(X＋Y＝0)＋P(X＋Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝(1－p)2＋P2而P(X＝0，Z＝0)＝P(X＝0，Y＝1)＝P(X＝0)P(Y＝1)＝P(1－p)如果P(X＝0，Z＝0)＝P(X＝0)P(Z＝0)，則須p(1－P)＝(1－p).2p(1－p)解得p＝．不難驗(yàn)算出，p＝時(shí)，P(X＝0，Z＝1)＝P(X＝0)P(Z＝1)＝，P(X＝1，Z＝0)＝P(X＝1)P(Z＝0)＝，P(X＝1，Z＝1)＝P(X＝1)P(Z＝1)＝．故知當(dāng)且僅當(dāng)P＝時(shí)，X與Z獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，都服從指數(shù)分布，參數(shù)分別為λ1，λ2，λ3(均為正)，求P{X＝min(X，Y，Z)}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度為∴P{X＝min(X，Y，Z)}＝P{X≤Y，X≤Z}＝(χ，y，z)dχdydz＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為問X與Y是否獨(dú)立?｜X｜與｜Y｜是否獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：關(guān)于X的邊緣密度為fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy．若｜χ｜≥1，則fX(χ)＝0；若｜χ｜＜1，則fX(χ)＝關(guān)于Y的邊緣密度為fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ若｜y｜≥1，則fY(y)＝0；若｜y｜＜1，則fY(y)＝即X與Y不獨(dú)立．而(｜X｜，｜Y｜)的分布函數(shù)為F(χ，y)＝P{｜X｜≤χ，｜y｜≤y}當(dāng)χ≤0或y≤0時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝0；當(dāng)χ≥0，y≥0時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝P{－χ≤X≤χ，－y≤Y≤y}＝∫－χχdu∫－yyf(u，v)dv．當(dāng)χ＞1，y＞1時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝∫－11du∫－11dv＝1：當(dāng)0＜χ≤1，y≥1時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝∫－χχdu∫－χχdv＝χ；當(dāng)χ≥1，0＜y≤1時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝∫－11du∫－yydv＝y(tǒng)；當(dāng)0＜χ＜1，0＜y＜1時(shí)，F(xiàn)(χ，y)＝∫－χχdu∫－yydv＝χy．故于是，關(guān)于｜X｜的(邊緣)分布函數(shù)為：而關(guān)于｜y｜的(邊緣)分布函數(shù)為：可見F｜X｜(χ).＝F｜y｜(y)＝F(χ，y)(χ，y)∈R2，即｜X｜與｜Y｜相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、函數(shù)F(χ，y)＝是否是某個(gè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)答案：令a＝c＝0，b＝d＝2，則a＜b，c＜d，但F(b，d)－F(a，d)－F(b，f)＋F(a，c)＝1－1－1＋0＝－1＜0，可見F(χ，y)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)X～N(0，1)，當(dāng)給定X＝χ時(shí)，Y～N(ρχ，1－ρ2)，(0＜ρ＜1)求(X，Y)的分布以及給定Y＝y(tǒng)時(shí)，X的條件分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，X的概率密度為φ(χ)＝，而已知X＝χ條件下，Y的條件概率密度為f｜Y｜X(y｜χ)＝，故(X，Y)的概率密度為f(χ，y)＝φ(χ)fY｜X(y｜χ)＝，可見(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且EX＝EY＝0，DX＝DY＝1，(X，Y)的相關(guān)系數(shù)為ρ．故Y～N(0，1)，Y的概率密度為φ(y)，故Y＝y(tǒng)的條件下X的條件概率密度為fX｜Y(χ｜y)＝y(tǒng)∈R1，χ∈R1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、證明：(1)若隨機(jī)變量X只取一個(gè)值a，則X與任一隨機(jī)變量Y獨(dú)立；(2)若隨機(jī)變量X與自己獨(dú)立，則存在C，使得P(X＝C)＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)χ＜a時(shí)，P(X≤χ)＝0，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)＝0；χ≥a時(shí)，P(X≤χ)＝1，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)．y∈R1即y(χ，y)∈R1，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，即X與Y獨(dú)立；(2)由已知得：(χ，y)∈R2，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，記X的分布函數(shù)為F(χ)，則F(χ)＝P(X≤χ)前式中令y＝χ即得F(χ)＝[F(χ)]2，可見F(z)只能取0或1，又由F(－∞)＝0，F(xiàn)(＋∞)＝1，知必存在C(常數(shù))，使得故P{X＝C}＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為：F(χ，Y)＝A(B＋arctan)(C＋arctan)，－∞＜χ，y＜＋∞求：(1)常數(shù)A，B，C；(2)(X，Y)的密度；(3)關(guān)于X、Y的邊緣密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)0＝F(－∞，y)＝A(B－)(C＋arctan)，y∈R1，0＝F(χ，－∞)＝A(B＋arctan)(C－)，χ∈R1，1＝F(＋∞，＋∞)＝A(B＋)(C＋)．上邊3式聯(lián)立可解得A＝，B＝C＝；(2)(X，Y)的概率密度為f(χ，y)＝(3)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(χ)＝F(χ，＋∞)＝，χ∈R1，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)＝F(＋∞，y)＝，y∈R1，故關(guān)于X的邊緣概率密度為fX(χ)＝F′X(χ)＝，χ∈R1，關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)＝F′Y(y)＝，y∈R1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)X的密度為f(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞求：(1)常數(shù)C和X的分布函數(shù)F(z)，(2)P(0≤X≤1)及Y＝e－｜X｜的密度f(wàn)Y(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y的分布函數(shù)為FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e－｜X｜≤y}顯然，y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)＝0，y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)＝1，這時(shí)fY(y)＝F′Y(y)＝0；當(dāng)0＜y＜1時(shí)，F(xiàn)Y(y)＝P{－｜X｜≤lny}＝P{｜X｜≥－lny}＝1－P(lny≤X≤－lny}＝1－∫lny-lnyf(χ)dχ，則fY(y)＝F′Y(y)＝－[f(－lny)(－－f(lny).]＝[f(－lny)＋f(lny)]，注意到f(χ)是一偶函數(shù)，故fY(y)＝f(lny)＝即fY(y)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、某種產(chǎn)品的次品率為0．1，檢驗(yàn)員每天獨(dú)立地檢驗(yàn)6次，每次有放回地取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則作一次記錄(否則不記錄)．設(shè)X為一天中作記錄的次數(shù)，寫出X的分布列．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)檢驗(yàn)員取出的10件產(chǎn)品中有Y件次品，則Y～B(10，0．1)(即Y服從參數(shù)為(10，0．1)的二項(xiàng)分布)，而X～B(6，P)。其中P＝P{Y＞1}＝1－P{Y＝0}－P{Y＝1}＝1－C100.0．10.0．910-0－C101.0．11.0．910-1＝0．2639，故P(X＝k)＝C6k×0．2639k×0．73616-k，k＝0，1，2，…，6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)X與Y獨(dú)立且X～N(μ，σ2)，Y服從IX間[－π，π]上的均勻分布，求Z＝X＋Y的密度f(wàn)Z(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，X的概率密度為fX(χ)＝，Y的概翠密度為故fZ(z)＝∫－∞＋∞fX(z－y)fY(y)dy＝作代換，(這是y與t的變換)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)在時(shí)間t(分鐘)內(nèi)，通過某路口的汽車數(shù)服從參數(shù)為λt的泊松分布．已知1分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0．2，求在2分鐘內(nèi)有至少1輛汽車通過的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t分鐘內(nèi)通過該路口的汽車數(shù)為X(t)，則由題意知0．2＝P(X(1)＝0)＝＝e－λ，∴λ＝ln5，故P{X(2)≥1}＝1－P{X(2)＝0}＝1－e－λ.2＝1－e－2ln5＝1－．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，=P(B｜A)，則必有A、P(A｜B)=．B、P(A｜B)≠．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件可知，無(wú)論事件A發(fā)生與否，事件B發(fā)生的概率都相同，即事件A的發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，因此可以確認(rèn)A與B是相互獨(dú)立的，應(yīng)該選(C)．2、某射手的命中率為p(0＜P＜1)，該射手連續(xù)射擊n次才命中k次(k≤n)的概率為A、Pk(1一P)n－k．B、Cnkpk(1一P)n－k．C、Cn－1k－1pk(1一P)n－k．D、Cn－1k－1pk－1(1—p)n－k．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：n次射擊視為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次射擊命中概率為P，不中概率為1一P，設(shè)事件A=“射擊n次才命中k次”=“前n一1次有k一1次擊中，且第n次也擊中”，則P(A)=Cn－1k－1pk－1(1一P)n－1－(k－1)．P=Cn－1k－1pk(1一p)n－k，應(yīng)選(C)．3、已知(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(shù)(x)≥0，h(y)≥0，a=∫－∞＋∞g(x)dx，b=∫－∞＋∞h(y)dy存在且不為零，則X與Y獨(dú)立，其密度函數(shù)fX(x)，fY(y)分別為A、fX(x)=g(x)，fY(y)=h(y)．B、fX(x)=ag(x)，fY(y)=bh(y)．C、fX(x)=bg(x)，fY(y)=ah(y)．D、fX(x)=g(x)，fY(y)=abh(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然我們需要通過聯(lián)合密度函數(shù)計(jì)算邊緣密度函數(shù)來確定正確選項(xiàng)，由于fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫－∞＋∞g(x)h(y)dy=g(x)∫－∞＋∞h(y)dy=bg(x)，fY(y)=∫－∞＋∞g(x)h(y)dx=ah(y)，又1=∫－∞＋∞∫－∞＋∞f(x，y)dxdy=∫－∞＋∞g(x)dx∫－∞＋∞h(y)dy=ab，所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=fX(x)fY(y)，X與Y獨(dú)立，故選(C)．4、設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n一∞時(shí)依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望，只要｛Xn，n≥1｝A、有相同的數(shù)學(xué)期望．B、有相同的方差．C、服從同一泊松分布．D、服從同一連續(xù)型分布，f(x)=(一∞＜x＜+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：辛欽大數(shù)定律要求：{Xn，n≥1}獨(dú)立同分布且數(shù)學(xué)期望存在，選項(xiàng)(A)、(B)缺少同分布條件，選項(xiàng)(D)雖然服從同一分布但期望不存在，因此選(C)．5、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和S2為樣本均值和樣本方差，則A、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．B、Xi2服從自由度為n—1的χ2分布．C、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．D、(n一1)S2服從自由度為n一1的χ2分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然，(n一1)S2服從自由度為n一1的χ2分布，故應(yīng)選(D)，其余選項(xiàng)不成立是明顯的，對(duì)于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的總體，，由于X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立并且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可見Xi2服從自由度為n的χ2分布．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)6、設(shè)隨機(jī)事件A，B滿足條件A∪C=B∪C和C—A=C—B，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)乘法公式再應(yīng)用減法公式8、已知某自動(dòng)生產(chǎn)線加工出的產(chǎn)品次品率為0．01，檢驗(yàn)人員每天檢驗(yàn)8次，每次從已生產(chǎn)出的產(chǎn)品中隨意取10件進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品就去調(diào)整設(shè)備，那么一天至少要調(diào)整設(shè)備一次的概率為________．(0．9980≈0．4475)標(biāo)準(zhǔn)答案：0.55知識(shí)點(diǎn)解析：如果用X表示每天要調(diào)整的次數(shù)，那么所求的概率為P{每天至少調(diào)整設(shè)備一次}=P{X≥1}=1—P{X=0}，顯然0≤X≤8，如果將“檢驗(yàn)一次”視為一次試驗(yàn)，那么X就是8次試驗(yàn)，事件A=“10件產(chǎn)品中至少有一件次品”發(fā)生的次數(shù)，因此X～B(8，p)，其中p=P(A)，如果用Y表示10件產(chǎn)品中次品數(shù)，則Y～B(10，0．01)，p=P(A)=P{Y≥1}=1—P{Y=0}=1一(1—0．01)10=1—0．9910．所求的概率為P{X≥1}=1一P{X=0}=1一(1一p)8=1一0．9980=1—0．4475≈0．55．9、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為則隨機(jī)變量Y=3X2一5的概率分布為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于P{X=一2}=P{Y=3X2—5}=P{Y=3×(一2)2—5}=P{Y=7}=0．1，P{X=一1}=P{Y=一2}=0．2，P{X=0}=P{Y=一5}=0．1，P{X=1}=P{Y=一2}=0．3，P{X=2}=P{Y=7}=0．2，P{X=3}=P{Y=22}=0．1，因此Y可能取值為一5，一2，7，22，其概率分布為P{Y=一5}=0．1，P{Y=一2}=0．2+0．3=0．5，P{Y=7}=0．1+0．2=0．3，P{Y=22}=0．1，于是Y=3X2—5的概率分布為10、已知隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合概率分布為又P{X+Y=1}=0．4，則α=________；β=________；P{X＋Y＜1}=________；P{X2＋Y2=1}=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．3；0．1；0．4；0．3；知識(shí)點(diǎn)解析：由0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=1及P{X+Y=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4解得α=0．3，β=0．1，于是P{X+Y＜1}=｛X=i，Y=j｝=P{X=0，Y=一1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=一1}=0．1+0．2+0．1=0．4；P{X2Y2=1}=P{X=1，Y=一1}+P{X=1，Y=1}=0．1+0．2=0．3．11、將一顆骰子連續(xù)重復(fù)擲4次，以X表示4次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，則根據(jù)切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以Xk(k=1，2，3，4)表示第k次擲出的點(diǎn)數(shù)，則Xk獨(dú)立同分布：P=｛Xk=i｝=(i=1，2，…，6)，所以EXk=，DXk=EXk2一(EXk)2=．又由于X=X1+X2+X3+X4，而Xk(k=1，2，3，4)相互獨(dú)立，所以EX=因此，根據(jù)切比雪夫不等式，有P{10＜x＜18}=P{一4＜x一14＜4}=P｛｜x一14｜＜4｝=P{｜X－EX｜＜4}≥1一．12、已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1一e－1，則E(X1+X2)2=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：已知Xi～P(λi)且相互獨(dú)立，所以EXi=DXi=λi，i=1，2．E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．為求得最終結(jié)果我們需要由已知條件求得λ1+λ2，因?yàn)镻{X1+X2＞0}=1一P{X1+X2≤0}=1一P{X1+X2=0}=1一P{X1=0，X2=0}=1一P{X1=0}P｛X2=0｝=1一=1一e－1．所以λ1+λ2=1，故E(X1+X2)2=1+1=2．13、設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)成功的概率p=0．20，現(xiàn)在將試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行100次，則試驗(yàn)成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．84知識(shí)點(diǎn)解析：以X表示“在100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為(n，p)的二項(xiàng)分布，其中n=100，p=0．20，且EX=np=20，=4．由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，知隨機(jī)變量Un=近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，因此試驗(yàn)成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α=P{16≤X≤32}=≈φ(3)一φ(一1)=φ(3)一[1一φ(1)]=0．9987一(1—0．8413)=0．84，其中φ(μ)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)．14、已知χ2～χ2(n)，則E(χ2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=，而Xi～N(0，1)，且Xi相互獨(dú)立，由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以E(χ2)==n．15、假設(shè)X1，X2，…，X16是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為其均值，S為其標(biāo)準(zhǔn)差，如果P{＞μ+aS}=0．95，則參數(shù)a=_______．(t0．05(15)=1．7531)標(biāo)準(zhǔn)答案：一0．4383知識(shí)點(diǎn)解析：由于總體X～N(μ，σ2)，故與S2獨(dú)立，由t分布典型模式得：t=～t(15)，所以=P{t＞4a}=0．95．由此知4a為t(15)分布上0．95分位數(shù)，即4a=t0．95(15)=一t1－0．95(15)=一t0．05(15)=一1．7531，a=一0．4383．16、已知總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，…，X2n是來自總體X容量為2n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，當(dāng)σ2未知時(shí)，Y=(X2i—X2i－1)2的期望為σ2，則C=_______，DY=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：通過EY=σ2求得C，為此需先求得X2i—X2i－1分布，由于Xi～N(μ，σ2)，且相互獨(dú)立，故X2i—X2i－1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i－1)2=D(X2i—X2i－1)+[E(X2i一X2i－1)]2=2σ2．所以由EY=E(X2i—X2i－1)2=Cn2σ2=σ2，解得C=．又～N(0，1)且相互獨(dú)立，故W=～χ2(n)．Y=C．2σ2．=2Cσ2W，DW=2n，所以DY=4C2．σ4DW=．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)17、已知袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，每次從袋中任取一球，記下它的顏色再將其放回，直到記錄中出現(xiàn)4次白球?yàn)橹?，試求抽取次?shù)X的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然X可能取的值為4，5，…，k，…，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率p不變，并且都是p=，又各次取球是相互獨(dú)立的，因此根據(jù)伯努利概型得P{X=4}=P4，P{X=5}=P{前4次抽取取到3個(gè)白球1個(gè)黑球，第5次取到白球}=C43p3(1一p)4－3P=C43(1一P)P4，同理P{X=6}=C53p3(1一p)5－3P=C53(1一p)5－3P4，P{x=K}=Ck－13(1一p)(k－1)－3P4=Ck－13(1一p)K－4P4(K≥4)，故X的概率分布為P{X=k}=Ck－13(1一p)k－4p4，其中k=4，5，…，且p=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=．已知Y=，求｜Y｜的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：從X的分布函數(shù)F(X)可知：X只取一2，一1與1三個(gè)值，其概率分別為0．3，0．3，0．4，因此隨機(jī)變量，其相應(yīng)概率分別為0．3，0．3與0．4．因此｜Y｜的分布律為=0．3，｜Y｜的分布函數(shù)為F｜Y｜(y)=P{｜Y｜≤y}=知識(shí)點(diǎn)解析：顯然X是離散型隨機(jī)變量，Y=也是離散型隨機(jī)變量，要求｜Y｜的分布函數(shù)，應(yīng)先求｜Y｜的分布律，而Y又是X的函數(shù)，因此我們應(yīng)通過X的分布律求解．已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．19、求Y的概率密度f(wàn)Y(y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知X的概率密度f(wàn)X(x)=，所以Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤Y}(y∈R)．由于P｛X＞1｝=1，故當(dāng)y≤0時(shí)FY(y)=0；當(dāng)Y＞0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P｛1＜X＜ey｝=∫1eyλx－λ－1dx=1—e－λy．于是FY(y)=故Y=lnX的概率密度f(wàn)Y(y)=可見，Y服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算P｛Y≥K｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：P｜Y≥k｜=∫k＋∞λe－λydy=e－λk，由于λ＞0，0＜e－λ＜1，故．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二維離散型隨機(jī)變量只取(一1，一1)，(一1，0)，(1，一1)，(1，1)四個(gè)值，其相應(yīng)概率分別為．(I)求(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(Ⅱ)求關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率分布；(Ⅲ)求在Y=1條件下關(guān)于X的條件分布與在X=1條件下關(guān)于Y的條件分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)依題意，(X，Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示．(Ⅱ)關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率分布分別為表中最右一列與最后一行．(Ⅲ)由于，且在Y=1條件下，X只取1，因此關(guān)于X的條件概率分布為P{X=1｜Y=1}==1；在X=1條件下，Y取一1和1兩個(gè)值，其條件概率分布為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為(Ⅰ)求常數(shù)a；(Ⅱ)求兩個(gè)邊緣分布律；(Ⅲ)說明X與Y是否獨(dú)立；(Ⅳ)求3X+4Y的分布律；(Ⅴ)求P{X+Y＞1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由1=．(Ⅱ)由(X，Y)的分布律，得所以，兩個(gè)邊緣分布律分別為(Ⅲ)因?yàn)镻{X=一1，Y=3}=，故X與Y不獨(dú)立．(Ⅳ)由(X，Y)的分布律，得所以3X+4Y的分布律為(V)由(Ⅳ)可得X+Y的分布律為所以P{X+Y＞1}=P{X+Y=2}+P{X+Y=3}=．知識(shí)點(diǎn)解析：先由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)求出a，再由式(3．2)與(3．3)求X，Y的邊緣分布律，然后由列表法求出3X+4Y，X+Y的分布律，從而可解(Ⅳ)與(V)，而由式(3．11)可判斷X與Y是否獨(dú)立．23、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X=m}=pqm－1，m=1，2，…，0＜p＜1，q=1一p，Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)．求：(Ⅰ)U=X+Y的分布函數(shù)；(Ⅱ)V=XY的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)全概率公式有(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析投籃測(cè)試規(guī)則為每人最多投三次，投中為止，且第i次投中得分為(4一i)分，i=1，2，3．若三次均未投中不得分，假設(shè)某人投籃測(cè)試中投籃的平均次數(shù)為1．56次．24、求該人投籃的命中率；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該投籃人投籃次數(shù)為X，投籃得分為Y；每次投籃命中率為P(0＜P＜1)，則X的概率分布為P{X=1}=P，P{X=2}=pq，P{X=3}=q2，EX=P+2pq+3q2=P+2p(1一P)+3(1一P)2=P2一3p+3．依題意P2一3p+3=1．56，即P2一3p+1．44=0．解得P=0．6(P=2．4不合題意，舍去)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求該人投籃的平均得分．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y可以取0，1，2，3四個(gè)可能值，且P{Y=0}=q3=0．43=0．064，P{Y=1}=pq2=0．6×0．42=0．096，P{Y=2}=pq=0．6×0．4=0．24，P{Y=3}=P=0．6，于是EY=P｛Y=i｝=2．376(分)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[一1，1]上服從均勻分布，隨機(jī)變量(Ⅰ)Y=，試分別求出DY與Cov(X，Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然Y是X的函數(shù)：Y=g(x)，因此計(jì)算DY可以直接應(yīng)用公式EY=Eg(x)，或用定義計(jì)算．(Ⅰ)已知X～f(x)=，則EY=Eg(X)=∫－∞＋∞g(x)f(x)dx=∫－∞0(一1)f(x)dx+∫0＋∞f(x)dx=∫－10dx=0，EY2=Eg2(X)=∫－∞＋∞g2(x)f(x)dx=∫－∞＋∞f(x)dx=1，故DY=EY2一(EY)2=1—0=1．或者EY=1×P{Y=1}+0×P{Y=0}+(一1)×P{Y=一1}=P｛X＞0｝－P{X＜0}=∫01dx=0，又Y2=所以DY=EY2一(EY)2=EY2=P{X≠0}=P{X＞0}+P{X＜0}=1，cov(X，Y)=EXY—EXEY=EXY=∫－∞＋∞xg(x)f(x)dx=∫－10．(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)總體X～N(0，σ2)，參數(shù)σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(n＞1)，令估計(jì)量27、求的數(shù)學(xué)期望；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且與總體x同分布，故EXi=0，DXi=σ2，，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)抽樣分布有關(guān)結(jié)論知再由χ2分布隨機(jī)變量的方差公式有：Y～χ2(n)，則DY=2n．所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)隨機(jī)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，則必有A、C與A—B獨(dú)立．B、C與A—B不獨(dú)立．C、A∪C與B∪獨(dú)立．D、A∪C與B∪不獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于(A)，(B)：P[C(A—B)]==P(AC)－P(ABC)=P(A)P(C)一P(ABC)，P(C)P(A—B)=P(C)[P(A)一P(AB)]=P(A)P(C)一P(A)P(B)P(C)．盡管A，B，C兩兩獨(dú)立，但未知A，B，C是否相互獨(dú)立，從而不能判定P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A)，(B)均不正確．與題設(shè)P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)矛盾，因此排除(C)，選(D)．2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，則隨機(jī)變量｜X｜的概率密度f(wàn)1(x)為A、f1(x)=[f(x)+f(一x)]．B、f1(x)=f(x)+f(一x)．C、f1(x)=D、f1(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，｜X｜的分布函數(shù)為F1(x)，則當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)1(x)=P{｜X｜≤x}=0，從而f1(x)=0；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)1(x)=P{｜X｜≤x}=P{一x≤X≤x}=∫－xxf(x)dx=F(x)一F(一x)，從而有f1(x)=f(x)+f(一x)．由上分析可知，應(yīng)選(D)．3、已知X，Y的概率分布分別為P{X=1}=P{X=0}=，則P{X=Y}=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，由題設(shè)知P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=，又已知X，Y的分布，從而可求出下表中用黑體表示的數(shù)字，得(X，Y)的概率分布所以，P{X=Y}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=，故選(C)．4、假設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立且服從同參數(shù)λ的泊松分布，則下面隨機(jī)變量序列中不滿足切比夫大數(shù)定律條件的是A、X1，X2，…，Xn，…B、X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C、X1，2X2，…，nXn，…D、X1，X2，…，Xn，…標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：切比雪夫大數(shù)定律的條件有三個(gè)：第一個(gè)條件要求構(gòu)成隨機(jī)變量序列的各隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，顯然無(wú)論是X1，…，Xn，…，還是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…；X1，2X2，…，nXn，…以及X1，，…都是相互獨(dú)立的；第二個(gè)條件要求各隨機(jī)變量的期望與方差都存在，由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，，因此四個(gè)備選答案都滿足第二個(gè)條件；第三個(gè)條件是方差DX1，…，DXn…有公共上界，即DXn＜c，c是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，對(duì)于(A)：DXn=λ＜λ+1；對(duì)于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；對(duì)于(C)：(nXn)=n2DXn=n2λ沒有公共上界；對(duì)于(D)＜λ+1。綜上分析，只有(C)中方差不滿足方差一致有界的條件，因此應(yīng)選(C)．5、設(shè)隨機(jī)變量X服從F(3，4)分布，對(duì)給定的α(0＜α＜1)，數(shù)Fα(3，4)滿足P｛X＞Fα(3，4)｝=α，若P｛X≤x}=1一α，則x=A、．B、．C、Fα(4，3)．D、F1－α(4，3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)，又由F1－α(n1,n2)=，故選(A)．6、設(shè)隨機(jī)變量X服從n個(gè)自由度的t分布，定義tα滿足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)，若已知P{｜X｜＞x}=b(b＞0)，則x等于A、t1－b．B、．C、tb．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)t分布的對(duì)稱性及b＞0，可知x＞0，從而P{X≤x}=1一P{X＞x}=1－．根據(jù)題設(shè)定義P{X≤tα}=1一α，可知x=，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、已知，則X=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：事件的運(yùn)算性質(zhì)，可得8、若在區(qū)間(0，1)上隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)μ，ν，則關(guān)于x的一元二次方程x2一2νx+μ=0有實(shí)根的概率是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件A表示“方程x2—2νx+μ=0有實(shí)根”，因μ，ν是從(0，1)中任意取的兩個(gè)數(shù)，因此點(diǎn)(μ，ν)與正方形區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，其中D={(μ，ν)｜0＜μ＜1，0＜ν＜1}．事件A={(μ，ν)｜(2ν)2一4μ≥0，(μ，ν)∈D}，有利于事件A的樣本點(diǎn)區(qū)域?yàn)閳D1．2中陰影部分D1，其中D1={(μ，ν)｜ν2≥μ，0＜μ，ν＜1}．依幾何型概率公式，有P(A)=．9、甲、乙二人輪流投籃，游戲規(guī)則規(guī)定為甲先開始，且甲每輪只投一次，而乙每輪連續(xù)投兩次，先投中者為勝，設(shè)甲、乙每次投籃的命中率分別是P與0．5，則P=________時(shí)，甲、乙勝負(fù)概率相同．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記事件Ai表示甲在總投籃次數(shù)中第i次投中，i=1，4，7，10，…．事件Bj表示乙在總投籃次數(shù)中第i次投中，j=2，3，5，6，8，9．…．記事件A，B分別表示甲、乙取勝，事件A可以表示為下列互不相容的事件之和，即A=A1∪，又A中每項(xiàng)中的各事件相互獨(dú)立，因此有=P+0．52(1一p)p+0．54(1一P)2P+…=P+0．25(1一p)p+[0．25(1一p)]2P+…這是一個(gè)公比q=0．25(1一P)的幾何級(jí)數(shù)求和問題，由于0＜0．25(1一P)＜1，該級(jí)數(shù)收斂，且P(A)=．若要甲、乙勝率相同，則P(A)=P(B)=0．5，即．按這種游戲規(guī)則，只有當(dāng)P=時(shí)，甲、乙勝負(fù)概率相同．10、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1，2)，Y一N(一3，4)，則隨機(jī)變量Z=一2X+3Y+5的概率密度為f(z)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閮蓚€(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍然服從正態(tài)分布，所以Z=一2X+3Y+5服從正態(tài)分布，要求f(z)=，則需確定參數(shù)μ與σ的值，又E(Z)=μ，D(Z)=σ2，因此歸結(jié)為求E(Z)與D(Z)，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)及E(X)=1，D(X)=2，E(Y)=一3，D(Y)=4，可得E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5=(一2)×1+3×(一3)+5=一6，D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44．因此Z的概率密度為f(z)=，z∈R．11、已知隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)式P{｜X一Y｜≥}≤________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0。12、設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立且都在(一1，1)上服從均勻分布，則=_______(結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)φ(x)表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于Xn相互獨(dú)立且都在(一1，1)上服從均勻分布，所以EXn=0，DXn=，根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理，對(duì)任意x∈R有13、已知總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其均值為+(2—3a)S2的期望為λ，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接由+(2—3a)ES2=aλ+(2—3a)λ=(2—2a)λ=λ，解得a=．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)14、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(wàn)(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{0．4＜X≤1．3}=F(1．3)一F(0．4)=(1．3—0．5)一=0．6，P{X＞0．5}=1一P｛X≤0．5｝=1一F(0．5)=1一=0．75，P{1．7＜X≤2}=F(2)一F(1．7)=1—1=0；f(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知隨機(jī)變量X的概率分布為且P{X≥2}=，求未知參數(shù)θ及X的分布函數(shù)F(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由P{X≥2}=1一P{X=1}=1一θ2=，又P{X=2}=20(1—θ)≥0，θ=，從而得X的概率分布于是X的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有四個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的盒子和三只球，現(xiàn)將每個(gè)球隨機(jī)地放人四個(gè)盒子，記X為至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼．16、求X的分布律；標(biāo)準(zhǔn)答案：用古典型概率求X的分布律．樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為43=64，事件{X=1}表示“1號(hào)盒中有球”，分1號(hào)盒中有1個(gè)球、2個(gè)球和3個(gè)球三種情況，所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為m1=C31．32+C32．3+C33=37，事件{X=2}表示“1號(hào)盒中尤球，2號(hào)盒中有球”，同樣分盒中有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)球三種情況，所含樣本點(diǎn)數(shù)為m2=C31．22+C32．2+C33=19，事件{X=3}表示“1號(hào)、2號(hào)盒中無(wú)球，3號(hào)盒中有球”，所含樣本點(diǎn)數(shù)，m3=C31+C32+C33=7，事件{X=4}表示“3個(gè)球全落入4號(hào)盒中”，樣本點(diǎn)數(shù)m4=1，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、若當(dāng)X=k時(shí)，隨機(jī)變量Y在[0，k]上服從均勻分布，k=1，2，3，4，求P{y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x=k時(shí)，隨機(jī)變量Y在[0，k]上服從均勻分布，故P{Y≤2｜X=1}=P{Y≤2｜X=2}=1，P{Y≤2｜X=3}=，P{Y≤2｜X=4}=．由全概率公式即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差X～N(0，102)，試求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e－5=0．007)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記事件A=“100次獨(dú)立測(cè)量中至少有3次測(cè)量誤差X的絕對(duì)值大于19．6”=“100次獨(dú)立測(cè)量中，事件{｜X｜＞19．6}至少發(fā)生3次”，依題意，所求α=P(A)，如果記事件C={｜X｜＞19．6}，Y表示100次獨(dú)立測(cè)量中事件C發(fā)生的次數(shù)，則事件A={Y≥3}，Y～B(100，p)，其中p=P(C)．p=P(C)=P{｜X｜＞19．6}=1—P{｜X｜≤19．6}=1一P{一19．6≤X≤19．6}=1一=2[1一φ(1．96)]=2×0．025=0．05，因此所求的概率α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y＜3}=1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}，其中P{Y=k}=C100kPk(1一p)100－k=C100k×0．05k×0．95100－k．由于n=100充分大，p=0．05很小，np=100×0．05=5適中，顯然滿足泊松定理的條件，可認(rèn)為Y近似服從參數(shù)為5的泊松分布，因此P{Y=k}≈e－λ，其中λ=np=5，于是α≈1－e－5－5e－5－e－5=1－18．5e－5=0．87．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)=其中參數(shù)λ＞0，試求X與Y的邊緣分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)X(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1一e－x；當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)X(x)=0，因此關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為｛｛FX(x)=類似地，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)隨機(jī)變量，且P{｜X｜≠｜Y｜}=1．(I)求X與Y的聯(lián)合分布律，并討論X與Y的獨(dú)立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X—Y，討論U與V的獨(dú)立性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由P{｜X｜}≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜}=0．由此可得X與Y的聯(lián)合分布律為因?yàn)镻{X=一1，Y=一1}≠P{X=一1}P{Y=一1}，所以X與Y不獨(dú)立．(Ⅱ)由(X，Y)的聯(lián)合分布律知U，V的取值均為一1，1，且P{U=V=一1}=P{X=一1，Y=0}=，P{U=一1，V=1}=P{X=0，Y=一1}=，P{U=1，V=一1}=P{X=0，Y=1}=，P{U=V=1}=P{X=1，Y=0}=，故U與V的聯(lián)合分布律與邊緣分布律為可驗(yàn)證U與V獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知隨機(jī)變量X，Y的概率分布分別為P{X=一1}=，并且P{X+Y=1}=1，求：(Ⅰ)(X，Y)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)X與Y是否獨(dú)立?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：首先由邊緣分布及條件求得聯(lián)合分布，進(jìn)而判斷是否獨(dú)立．(Ⅰ)由題設(shè)P{X+Y=1}=1，即P{X=一1，Y=2}+P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=1，故其余分布值均為零，即P{X=一1，Y=0}=P{X=一1，Y=1}=P{X=0，Y=0}=P{X=0，Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1，Y=2}=0，由此可求得聯(lián)合分布為(Ⅱ)因?yàn)镻{X=一1，Y=0}=0≠P{X=一1}P{Y=0}=，故X與Y不獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X與Y獨(dú)立，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀察，用Z表示觀察值大于2的次數(shù)，求T=Y+Z的分布函數(shù)FT(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知Z～B(n，p)，其中p=P{X＞2}=∫2＋∞e－Xdx=e－2，即Z～B(n，e－2)，又X與Y獨(dú)立，故Y與Z獨(dú)立，Z為離散型隨機(jī)變量，應(yīng)用全概率公式可以求得T=Y+Z的分布函數(shù)FT(t)，事實(shí)上，由于{Z=k}=Ω，所以，根據(jù)全概率公式可得其中p=e－2，t∈R．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析汽車加油站共有兩個(gè)加油窗口，現(xiàn)有三輛車A，B，C同時(shí)進(jìn)入該加油站，假設(shè)A、B首先開始加油，當(dāng)其中一輛車加油結(jié)束后立即開始第三輛車C加油，假設(shè)各輛車加油所需時(shí)間是相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為A的指數(shù)分布．23、第三輛車C在加油站等待加油時(shí)間T的概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：首先我們需要求出T、S與各輛車加油時(shí)間Xi(i=1，2，3)之間的關(guān)系，假設(shè)第i輛車加油時(shí)間為Xi(i=1，2，3)，則Xi獨(dú)立同分布，且概率密度都為fi(x)=依題意，第三輛車C在加油站等待加油時(shí)間T=min(X1，X2)，度過時(shí)間=等待時(shí)間+加油時(shí)間，即S=T+X3=min(X1，X2)+X3．由于T=min(X1，X2)，其中X1與X2獨(dú)立，所以T的分布函數(shù)FT(t)=P{min(X1，X2)≤t}=1一P{min(X1，X2)＞t}=1－P｛X1＞t｝P{X2＞t}=T的密度函數(shù)fT(t)=即T=min(X1，X2)服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求第三輛車C在加油站度過時(shí)間S的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：S=T+X3=min(X1，X2)+X3，T與X3獨(dú)立且已知其概率密度，由卷積公式求得S的概率密度為fS(s)=∫－∞＋∞fT(t)f3(s一t)dt=∫0＋∞2λe－2λtf3(s一t)dt∫s－∞2λe－2λ(s－x)f3(x)d(一x)=∫－∞s2λe－2λs．e2λxf3(x)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=Aex(B－x)(一∞＜x＜+∞)，且E(X)=2D(X)，試求：(Ⅰ)常數(shù)A，B之值；(Ⅱ)E(X2+eX)；(Ⅲ)Y=｜(X—1)｜的分布函數(shù)F(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)E(X2+eX)=E(X2)+E(eX)，而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=，所以E(X2+eX)=．(Ⅲ)由于X～．顯然，當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y≥0時(shí)，其中φ(y)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=Aex(B－x)=，可以將f(x)看成正態(tài)分布的概率密度函數(shù)．假設(shè)某種型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望值為50克，標(biāo)準(zhǔn)差為5克．求：26、100個(gè)螺絲釘一袋的重量超過5．1千克的概率；標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)Xi表示袋中第i顆螺絲釘?shù)闹亓?，i=1，…，100，則X1，…，X100相互獨(dú)立同分布，EXi=50，DXi=52，記一袋螺絲釘?shù)闹亓繛镾100，則S100=Xi，ES100=5000，DS100=2500．應(yīng)用列維-林德伯格中心極限定理可知S100近似服從正態(tài)分布N(5000，502)，且P{S100＞5100}=1一P{S100≤5100}=1一≈1一φ(2)=0．02275．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、每箱螺絲釘裝有500袋，500袋中最多有4％的重量超過5．1千克的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)500袋中重量超過5．1千克的袋數(shù)為Y，則Y服從參數(shù)n=500，p=0．02275的二項(xiàng)分布．EY=11．375，DY=11．116，應(yīng)用棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，可知Y近似服從參數(shù)μ=11．375，σ2=11．116的正態(tài)分布，于是≈φ(2．59)=0．995．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、已知總體X的數(shù)學(xué)期望EX=μ，方差DX=σ2，X1，X2，…，X2n是來自總體X容量為2n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，求EY．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于總體分布未知，我們只好將Y化簡(jiǎn)，應(yīng)用數(shù)字特征性質(zhì)計(jì)算EY，由于又EXi=μ，DXi=σ2，EXi2=σ2＋μ2，，所以EY==2nσ2＋2nμ2＋2nμ2－2σ2－4nμ2=2(n－1)σ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、已知A是n階方陣，E是n階單位矩陣，且A3=E，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故P200=(P2)100=又A100=A3×33+1=(A3)33.A=E.A=A．2、已知n階矩陣A和n階矩陣B等價(jià)，則必有()A、A+E和B+E等價(jià)B、A2和B2等價(jià)C、AB和BA等價(jià)D、-2A和3B等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閚階矩陣A和B等價(jià)，故r(A)=r(B).因?yàn)閞(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B)，故-2A和3B等價(jià)，應(yīng)選(D)．取r(A)=r(B)=2，但r(A+E)=1≠r(B+E)=2，所以A+E和B+E不等價(jià)，故(A)不成立．?。畆(A)=r(B)=1，但r(A2)=1≠r(B2)=0，所以A2和B2不等價(jià)，故(B)不成立．取，r(A)=r(B)=1，但r(AB)==0≠r(BA)=所以AB和BA不等價(jià)，故(C)不成立．3、設(shè)A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則()A、A*x=0的解均是Ax=0的解B、Ax=0的解均是A*x=0的解C、Ax=0與A*x=0無(wú)非零公共解D、Ax=0與A*x=0僅有兩個(gè)非零公共解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)辇R次線性方程組Ax=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，所以方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)n一r(A)≥2，于是r(A)≤n一2，由此得知A*=O．任意n維列向量均是方程組A*x=0的解．因此方程組Ax=0的解均是A*x=0的解，選項(xiàng)(B)是正確的．選項(xiàng)(A)顯然不對(duì)．對(duì)于選項(xiàng)(C)，(D)，由于方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系至少含有兩個(gè)解向量，故Ax=0有無(wú)窮多個(gè)非零解，與A*x=0的公共解中也有無(wú)窮多個(gè)非零解．顯然(C)，(D)不正確．4、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+x3)2+[-x1+(a-4)x2+2x3]2+(2x1+x2+ax3)2正定，則參數(shù)a的取值范圍是()A、a=2B、a=一7C、a＞0D、a可任意標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)已是平方和，故f(x1，x2，x3)≥0．又則方程組(*)的系數(shù)行列式對(duì)任意a成立，故對(duì)任意a，(*)式有唯一零解．故對(duì)任意的x≠0，有f(x1，x2，x3)=xTAx＞0，f正定，故應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、設(shè)n階行列式|An×n|=a，將A的每一列減去其余各列的行列式記成|B|，則|B|=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2一n)2n-1a知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，若|A|=|α1，α2，…，αn|=a，則6、設(shè)A，B，C均是3階矩陣，滿足AB=B2一BC，其中則A5=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因|B|==1≠0，故B可逆，則由AB=B2一BC=B(B—C)，得A=B(B-C)B-1，于是A5=B(B-C)B-1B(B—C)B-1…B(B—C)B-1=B(B—C)5B-1，7、設(shè)A是2階矩陣，有特征值λ1=1，λ2=2，B=A2一3A—E，則B=kE，其中k=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是2階矩陣，有兩個(gè)不同的特征值λ1=1，λ2=2，故存在可逆矩陣P，使得P-1AP=A=，故A=PAP-1．因此kE=B=A2—3A—E=(PAP-1)2一3PAP-1一PP-1故k=-3．或kE=B=A2一3A—E=(A—E)(A一2E)-3E=(PAP-1一PP-1)(PAP-1—2PP-1)一3E=P(A—E)(A一2E)P-1-3E故k=一3．8、設(shè)實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx經(jīng)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形為f=2y12-y22一y32，A*是A的伴隨矩陣，且向量α=[1，1，一1]T滿足A*α=α，則二次型f(x1，x2，x3)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x1x2-2x1x3-2x2x3知識(shí)點(diǎn)解析：由于A的特征值為2，一1，一1，所以|A|=2×(-1)×(-1)=2．對(duì)A*α=α兩端左邊乘A，并利用AA*=|A|E得Aα=2α，則α是A的對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量．取α2=[0，1，1]T，α3=[-2，1，-1]T，則α，α2，α3兩兩正交，將它們分別單位化有令Q=[q1，q2，q3]，即Q為正交矩陣，且所以二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2-2x1x2-2x2x3．三、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)9、設(shè)線性方程組則λ為何值時(shí)，方程組有解，有解時(shí)，求出所有的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組是齊次線性方程組故當(dāng)λ≠一2且λ≠2時(shí)，有唯一零解；當(dāng)λ=2時(shí)，有無(wú)窮多解，其解為k1[1，一1，0，0]T+k2[1，0，一1，0]T+k3[1，0，0，-1]T，k1，k2，k3為任意常數(shù)；當(dāng)λ=一2時(shí)，方程為有通解k[1，1，1，1]T，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、已知齊次線性方程組(I)的基礎(chǔ)解系為ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加兩個(gè)方程后組成齊次線性方程組(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(I)的通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=其中k1，k2，k3是任意常數(shù)．代入添加的兩個(gè)方程，得得解：η1=[2，一3，0]T，η2=[0，1，-1]T，故方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為ζ1=2ξ1—3ξ2=[一4，-3，2，5]T，ζ2=ξ2-ξ3=[2，一1，一1，0]T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、已知線性方程組(I)及線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，0，1]T．求方程組(I)和(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(Ⅱ)的通解為k1ξ1+k2ξ2=k1[-3，7，2，0]T+k2[-1，一2，0，1]T=[-3k1一k2，7k1-2k2，2k1，k2]T，其中k1，k2是任意常數(shù)．將該通解代入方程組(I)得，3(-3k1-k2)一(7k1-2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1-k2)+3(7k1-2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程組(Ⅱ)的通解均滿足方程組(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T即是方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、已知線性方程組問：(1)a，b為何值時(shí)，方程組有解；(2)方程組有解時(shí)，求出方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；(3)方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)a=1，b=3時(shí)，r(A)=r([A|b])，方程組有解．(2)導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系為：ξ1=[1，一2，1，0，0]T，ξ2=[1，-2，0，1，0]T，ξ3=[5，一6，0．0，1]T．(3)方程組通解：非齊次特解為η=[-2，3，0，0，0]T，故通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、已知η1=[一3，2，0]T，η2=[一1，0，一2]T是線性方程組的兩個(gè)解向量，試求方程組的通解，并確定參數(shù)a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)齊次方程組有解ξ=η1-η2=[一2，2，2]T或[一1，1，1]T，即對(duì)應(yīng)齊次方程組至少有一個(gè)非零解向量，故又顯然應(yīng)有r(A)=r([A|b])≥2，從而r(A)=r([A|b])=2，故方程組有通解是[一1，1，1]T+[一3，2，0]T，其中k為任意常數(shù)，將η1，η2代入第一個(gè)方程，得一3a+2b=2，一a一2c=2，解得a=-2-2c，b=-2-3c，c為任意常數(shù)，可以驗(yàn)證：當(dāng)a=-2--2c，b=-2-3c，c任意時(shí)，r(A)r([A|b])=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、已知4階方陣A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組AX=β的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由α1=2α2一α3及α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3．且對(duì)應(yīng)齊次方程組AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齊次方程組有特解η=[1，1，1，1]T，故方程組的通解為k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A的秩為1，已知η1，η2，η3是它的三個(gè)解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求該非齊次方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因r(A)=1，故AX=b的通解應(yīng)為k1ξ1+k2ξ2+η，其中對(duì)應(yīng)齊次方程AX=0的解為ξ1=(η1+η2)一(η2+η3)=[-1，3，2]T，ξ2=(η2+η3)一(η3+η1)=[2，一3，1]T．因ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，故ξ1，ξ2是AX=0的基礎(chǔ)解系．取AX=b的一個(gè)特解為故AX=b的通解為k1[一1，3，2]T+k2[2，一3，1]T+[0，1，0]T，k1，k2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)α1，α2，…，αn是n個(gè)n維列向量，已知齊次線性方程組α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解，問齊次線性方程組(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0是否有非零解?若沒有，說明理由；若有，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次線性方程組α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解，故其系數(shù)矩陣(記為A)的秩r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n，則矩陣A是可逆方陣．齊次線性方程組(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0(*)的系數(shù)矩陣(記為B)和A有如下關(guān)系：[α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1]=[α1，α2，…，αn]記為B=AC．因A可逆，故有r(B)=r(C)，而當(dāng)n=2k+1時(shí)，|C|=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程組(*)只有零解．當(dāng)n=2k時(shí)，|C|=0，故r(B)=r(C)＜n，方程組(*)有非零解．當(dāng)n=2k時(shí)，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程組，故只需求解齊次線性方程組Cx=0即可．對(duì)C作初等行變換，將第i行的一1倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)．知r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0的基礎(chǔ)解系為ξ=[1，一1，1，…，1，一1]T，故方程組(*)的通解為cξ=c[1，一1，1，…，1，一1]T，其中c是任意常數(shù)．或由C知，C中有n一1階子式Cn-1≠0，故r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解lξ．由觀察，因α1+α2一(α2+α3)+…一(α2k+α1)=0，則通解為l[1，一1，1，一1，…，一1]T，其中l(wèi)是任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)三元線性方程組有通解求原方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)非齊次線性方程組為ax1+bx2+cx3=d，由η1=[-1，3，2]T，η2=[2，一3，1]T是對(duì)應(yīng)齊次解，代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程得解得a=-9k，b=-5k，c=3k，k是任意常數(shù)．又η=[1，一1，3]T是非齊次方程的解，代入得d=一b=5k，故原方程組是9x1+5x2—3x3=一5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知方程組(I)及方程組(Ⅱ)的通解為k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T．求方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程組(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[-2，一3，0，0]T=[-2-k1+2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程組(I)，得化簡(jiǎn)得k1=2k2+6．將上述關(guān)系式代入(Ⅱ)的通解，得方程組(I)，(Ⅱ)的公共解為[一2一(2k2+6)+2k2，一3+2k2+6-k2，2k2+6,k2]T=[-8，k2+3，2k2+6，k2]T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知方程組與方程組是同解方程組，試確定參數(shù)a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程組(I)，因增廣矩陣為故其通解為k[-1，2，一1，1]T+[1，2，一1，0]T=[1-k，2+2k，一1-k，k]T，k為任意常數(shù)．將通解代入方程組(Ⅱ)，有解得a=-1，b=-2，c=4．此時(shí)，方程組(Ⅱ)的增廣矩陣為因r(B)=r([B|β])=3，故方程組(I)和(Ⅱ)是同解方程組．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知矩陣相似．(1)求x與y；(2)求一個(gè)滿足P-xAP=B的可逆矩陣P．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)B的特征值為2，y，-1．由A與B相似，則A的特征值為2，y，-1．故(2)分別求出A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=一1的線性無(wú)關(guān)的特征向量為令可逆矩陣P=[p1，p2，p3]=則P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A，B是n階方陣，證明：AB，BA有相同的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)AB有任一特征值λ，其對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ，則ABξ=λξ．①①式兩端左邊乘B，得BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ)．②若Bξ≠0，②式說明，BA也有特征值λ(其對(duì)應(yīng)的特征向量為Bξ)，若Bξ=0，由①式知λξ=0，又ξ≠0，得AB有特征值λ=0，從而|AB|=0，且|BA|=|B||A|=|A||B|=0，從而BA也有λ=0的特征值．故AB和BA有相同的特征值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知n階矩陣A的每行元素之和為a，當(dāng)k是自然數(shù)時(shí)，求Ak的每行元素之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的每行元素之和為a，故有A[1，1，…,1]T=a[1，1，…，1]T，即a是A的一個(gè)特征值．又Ak的特征值為ak，且相應(yīng)的特征向量相同，即Ak[1，1，…，1]T=ak[1，1，…，1]T，故Ak的每行元素之和為ak．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、A是3階矩陣，λ1，λ2，λ3是三個(gè)不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相應(yīng)的特征向量．證明：向量組A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)線性無(wú)關(guān)的充要條件是A是可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)線性無(wú)關(guān)λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1線性無(wú)關(guān)[λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1]=[ξ1，ξ2，ξ3]秩為3|A|=λ1λ2λ3≠0，A是可逆矩陣(因?yàn)棣?，ξ2，ξ3線性無(wú)關(guān)