考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷1（共275題）

考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷1（共9套）（共275題）考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)齊次線性方程組經(jīng)高斯消元化成的階梯形矩陣是，則自由變量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：自由未知量選擇的原則是：其它未知量可用它們唯一確定．如果選擇x4，x5．對(duì)應(yīng)齊次方程組寫作顯見把x4，x5當(dāng)作參數(shù)時(shí)，x1，x2，x3不是唯一確定的．因此x4，x5不能唯一確定x1，x2，x3，它們不能取為自由變量．選A．2、設(shè)A是m×n矩陣，則下列命題正確的是A、如m＜n，則Ax=b有無窮多解．B、如Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解．C、如A有n階子式不為零，則Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如m＜n，齊次方程組Ax=0有無窮多解，而線性方程組可以無解，兩者不要混淆，請(qǐng)舉簡(jiǎn)單反例．如Ax=0只有零解，則r(A)=n，但由r(A)=n推斷不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以無解．例如前者只有零解，而后者無解．故B不正確．關(guān)于(D)，Ax=b有唯一解→r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=nr(A｜b)=n，例子同上．可見(D)只是必要條件，并不充分．(C)為何正確?除用排除法外，你如何證明．3、已知η1，η2，η3，η4是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3—η4．C、η1，η2，η3，η4的一個(gè)等價(jià)向量組．D、η1，η2，η3，η4的一個(gè)等秩的向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：向量組(A)線性相關(guān)，A不正確．η1，η2，η3，η1+η2與η1，η2，η3，η4等價(jià)．但前者線性相關(guān)，故C不正確．等秩的向量組不一定能互相線性表出，因而可能不是方程組的解，故D不正確．選B．4、設(shè)A是5×4矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由Aη1=0，知α1+α2—2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因?yàn)閚一r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4線性相關(guān)．故應(yīng)排除(B)．把②代入①得α2+α4一2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除(A)．如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)=r(一2α3，α2，α3，—α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾．所以選C．5、設(shè)A為n階可逆矩陣，λ是A的一個(gè)特征值，則伴隨矩陣A*的一個(gè)特征值是A、λ-1｜A｜n—1．B、A-1｜A｜．C、λ｜A｜．D、λ｜A｜n—1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα=λα，則A-1α=．故選B．6、設(shè)λ=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則(A2)-1+E的一個(gè)特征值是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如Aα=λα則[(A2)-1+E]=3(A-1)2α+α=α．當(dāng)λ=2時(shí)，知．選C．7、設(shè)A是3階不可逆矩陣，α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，α3是屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是A、α1+3α2．B、α1—α2．C、α1+α3．D、2α3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：Aα1=0，Aα2=O，Aα3=α3．則A(α1+3α2)=0，A(α1一α2)=0，A(2α3)=2α3．因此A，B，(D)都正確．A(α1+α3)=α3和α1+α3不相關(guān)，因此α1+α3不是特征向量，故應(yīng)選C．8、設(shè)α0是A的特征向量，則α0不一定是其特征向量的矩陣是A、(A+E)2．B、一2A．C、AT．D、A*．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE—A｜=｜(AE—A)T｜=｜λE—A｜知A與AT有相同的特征值，但方程組(λE—A)X=0與(λE—AT)X=0不一定同解，故A與AT特征向量不一定相同．故應(yīng)選C．9、下列矩陣中不能相似對(duì)角化的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是實(shí)對(duì)稱矩陣，(C)有3個(gè)不同的特征值，均可對(duì)角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n—r(0E—A)=2，說明λ=0有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量．故可以相似對(duì)角化．在(D)中，n一r(0E—A)=1，說明λ=0只有1個(gè)線性無關(guān)的特征向量．因此不能相似對(duì)角化．故應(yīng)選D．10、設(shè)A是n階非零矩陣，Am=0，下列命題中不一定正確的是A、A的特征值只有零．B、A必不能對(duì)角化。C、E+A+A2+…+Am—1必可逆．D、A只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Aα=λα，α≠0，則Amα=λmα=0．故A=0．A正確．因?yàn)锳≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基礎(chǔ)解系有n—r(A)個(gè)解，即λ=0有n—r(A)個(gè)線性無關(guān)的特征向量．故B正確，而(D)不一定正確．由(E一A)(E+A+A2+…+Am—1)=E—Am=E，知C正確．故應(yīng)選D．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、已知方程組有無窮多解，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：—5知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)a=一5時(shí)，r(A)=r()＜3，方程組有無窮多解．12、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠1且λ≠—知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意b1，b2，b3，方程組有解→r(A)=3→｜A｜≠0．而由13、四元方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：n—r(A)=4—2=2．取x3，x4為自由變量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=一1，所以基礎(chǔ)解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．14、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，則方程組Ax=b的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知識(shí)點(diǎn)解析：由(α2+α3)一2α1=(α3一α2)+(α3一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n—r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．15、設(shè)A為三價(jià)非零矩陣，B=，且AB=0，則Ax=0的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=0得r(A)+r(B)≤3．顯然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)=1，n—r(A)=2．又AB=0說明B的每個(gè)到向量都是AX=0的解，取它的1，3兩列作為基礎(chǔ)解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意．16、設(shè)A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橹萺(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．17、已知α1，α2，…，αt都是非齊次線性方程組Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，則c1+c2+…+ct=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣羒是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，則A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．18、已知方程組的通解是(1，2，一1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因(1，2，一1，0)T是Ax=b的解，則將其代入第2個(gè)方程可求出b=1．因(一1．2．一1．1)T是Ax=0的解，則將其代入第1個(gè)方程可求出a=3．19、已知ξ1=(一3，2，0)T，ξ2=(一1，0，一2)T是方程組的兩個(gè)解，則此方程組的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：由于矩陣A中有2階子式不為0，故秩r(A)≥2．又ξ1—ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n—r(A)=1．所以方程組通解是：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)20、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(一1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(一1，5，一3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，問a，b取何值時(shí)，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4線性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法不唯一，并寫出此時(shí)表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，對(duì)增廣矩陣(α1，α2，α3，α4┆β)作初等行變換，有(Ⅰ)當(dāng)a=1，b≠2或a=10，b≠一1時(shí)，方程組均無解．所以β不能由α1，α2，α3，α4線性表出．(Ⅱ)當(dāng)a≠1且a≠10時(shí)，b方程組均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4線性表示且表示法唯一。(Ⅲ)方程組在兩種情況下有無窮多解，即(1)當(dāng)a=10，b=一1時(shí)，方程組有無窮多解：(2)當(dāng)a=1，b=2時(shí)，方程組有無窮多解：x4=一，x2=t，x3=1一2t，x1=5t一，即β=(5t一)α1+tα2+(1—2t)α3一α4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知向量組β1=有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3線性表出，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，故方程組x1α1+x2α2+x3α3=β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)=2．于是r(β1，β2，β3)=2．從而｜β1，β2，β3｜==一(a一15)=0→a=15．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知a1，a2，…，as是互不相同的數(shù)，n維向量αi=(1，ai，aiT，…，ain—1)T(i=1，2，…，s)，求向量組α1，α2，…，αs的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)s＞n時(shí)，α1，α2，…，αs必線性相關(guān)，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn線性無關(guān)．因而r(α1，α2，…，αs)=n．當(dāng)s=n時(shí)，α1，α2，…，αn線性無關(guān)，秩r(α1，α2，…，αn)=n．當(dāng)s＜n時(shí)，記α’1=(1，a1，a12，…，a1s—1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s—1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass—1)T，則α’1，α’2，…，α’s線性無關(guān)．那么α1，α2，…，αs必線性無關(guān)．故r(α1，α2，…，αs)=s．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，如果AT=A*，證明任一n維列向量均可由矩陣A的列向量線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳*=AT，按定義有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代數(shù)余子式．由于A≠0，不妨設(shè)a1≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n個(gè)列向量線性無關(guān)．那么對(duì)任一n維列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)．因此β必可由α1，α2，…，αn線性表出。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、證明α1，α2，…，αs(其中(α1≠0)線性相關(guān)的充分必要條件是存在一個(gè)αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αs—1線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．因?yàn)棣?，α2，…，αs線性相關(guān)，故有不全為0的k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0．設(shè)ks，ks—1，…，k2，k1中第一個(gè)不為0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks—1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0與α1≠0矛盾．)，從而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=一(k1α1+k2α2+…+ki—1αi—1)．充分性．設(shè)有αi可用α1，α2，…，αi—1線性表示，則α1，α2，…，αi—1，αi線性相關(guān)，從而α1，α2，…，αs線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、已知A是m×n矩陣，B是n×p矩陣，如AB=C，且r(C)=m，證明A的行向量線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(用定義)對(duì)矩陣A按行分塊，記A=，那么AT=(α1T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)于是CT=0．因?yàn)镃是m×p矩陣，那么CT是p×m矩陣．由于r(CT)=r(C)=m，所以齊次方程組CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A是nz×n矩陣，B是n×s矩陣，C是m×s矩陣，滿足AB=C，如果秩r(A)=n，證明秩r(B)=r(C)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)齊次方程組(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因?yàn)锳是m×n矩陣，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，從而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程組(1)與(Ⅱ)同解．那么s—r(AB)=s—r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)A是n階實(shí)反對(duì)稱矩陣，x，y是實(shí)n維列向量，滿足Ax=y，證明x與y正交．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳T=一A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(一Ax)Tx=(一y，x)，得(x，y)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求齊次方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換，有當(dāng)a≠1時(shí)，r(A)=3，取自由變量x4得x4=1，x3=0，x2=一6，x1=5?；A(chǔ)解系是(5，一6，0，1)T．當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=2．取自由變量x3，x4，則由x3=1，x4=0得x2=一2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=一6，x1=5，知基礎(chǔ)解系是(1，一2，1，0)T，(5，一6，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求線性方程組的通解，并求滿足條件x12=x22的所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有方程組的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．導(dǎo)出組的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=一1．即η2=(一1，0，0，1)T．因此方程組的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，O)T+k2(一1，0，0，1)T．而其中滿足x12=x22的解，即(2+k1—k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1—k2=1+3k1或2+k1一k2=一(1+3k1)，即k2=1—2k1或k2=3+4k1．所以(1，l，0，1)T+k(3，3，1，一2)T和(一1，1，0，3)T+k(一3，3，1，4)T為滿足x12=x22的所有解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、當(dāng)a，b取何值時(shí)．方程組，有唯一解，無解，有無窮多解?當(dāng)方程組有解時(shí)，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有(Ⅰ)當(dāng)a≠0，且b≠3時(shí)，方程組有唯一解(，1，0)T．(1I)當(dāng)a=0時(shí)，b方程組均無解．(11I)當(dāng)a≠0，b=3時(shí)，方程組有無窮多解(，1，0)T+k(0，一3，2)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、已知a，b，c不全為零，證明方程組只有零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橄禂?shù)行列式=一(a2+b2+c2)≠0，所以齊次方程組只有零解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)A是n階矩陣，證明方程組Ax=b對(duì)任何b都有解的充分必要條件是｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．對(duì)矩陣A按列分塊A=(α1，α2，…，αn)，則b，Ax=b有解→α1，α2，…，αn可表示任何n維向量b→α1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(O，0，0，…，1)T→r(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n→r(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克萊姆法則，行列式｜A｜≠0時(shí)方程組必有唯一解，故b，Ax=b總有解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ax=0的基礎(chǔ)解系是α1，α2，…，αt．若β1，β2，…，βs線性無關(guān)，β1，β2，…，βs與α1，α2，…，αt等價(jià)．由βj(j=1，2，…，s)可以由α1，α2，…，αt線性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以βj(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因?yàn)棣?，α2，…，αt線性無關(guān)，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又α1，α2，…，αt與β1，β2，…，βs等價(jià)，所以r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αt)=t．義因β1，β2，…，βs線性無關(guān)，故s=t．因此β1，β2，…，βt是Ax=0的基礎(chǔ)解系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)A，B均為n階對(duì)稱矩陣，則不正確的是（）A、A+B是對(duì)稱矩陣B、AB是對(duì)稱矩陣C、A*+B*是對(duì)稱矩陣D、A一2B是對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，則（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，從而選項(xiàng)A、D是正確的。首先來證明（A*）T=（AT）*，即只需證明等式兩邊（i，j）位置元素相等。（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且為元素aij的代數(shù)余子式Aij。而矩陣（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代數(shù)余子式，因A為對(duì)稱矩陣，即aji=aij，則該元素仍為元素aij的代數(shù)余子式Aij。從而（A*）T=（AT）*=A*，故A*為對(duì)稱矩陣，同理，B*也為對(duì)稱矩陣。結(jié)合選項(xiàng)A可知選項(xiàng)C是正確的。因?yàn)椋ˋB）T=BTAT=BA，從而選項(xiàng)B不正確。注意：當(dāng)A、B均為對(duì)稱矩陣時(shí)，AB為對(duì)稱矩陣的充要條件是AB=BA。所以應(yīng)選B。2、A、P1P3AB、P2P3AC、AP3P2D、AP1P3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A作兩次初等行變換可得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應(yīng)排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二兩行互換可得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3，A正是后者，所以應(yīng)選B。3、設(shè)α1，α2，…，αs均為n維列向量，A是m×n矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（）A、若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)B、若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)C、若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)D、若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：記B=（α1，α2，…，αs），則（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。若向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則r（B）＜s，從而r（AB）≤r（B）＜s，向量組Aα1，Aα2，…，Aαs也線性相關(guān)，故應(yīng)選A。4、非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4，A是4×6矩陣，則（）A、無法確定方程組是否有解B、方程組有無窮多解C、方程組有唯一解D、方程組無解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解的充要條件，且方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)是6，而系數(shù)矩陣的秩為4，因此方程組有無窮多解，故選B。5、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系（）A、不存在B、僅含一個(gè)非零解向量C、含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量D、含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由A*≠O可知，A*中至少有一個(gè)非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩陣A中至少有一個(gè)n一1階子式不為零，再由矩陣秩的定義有r（A）≥n一1。又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r（A）＜n，從而r（A）=n一1。因此對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)非零解向量，故選B。6、設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1，α2，則α1，A（α1+α2）線性無關(guān)的充分必要條件是（）A、λ1≠0B、λ2≠0C、λ1=0D、λ2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令k1α1+k2A（α1+α2）=0，則（k1+k2λ1）α1+k2λ2α2=0。因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。當(dāng)λ2≠0時(shí)，顯然有k1=0，k2=0，此時(shí)α1，A（α1+α2）線性無關(guān)；反過來，若α1，A（α1+α2）線性無關(guān)，則必然有λ2≠0（否則，α1與A（α1+α2）=λ1α1線性相關(guān)），故應(yīng)選B。7、設(shè)A是n階矩陣，下列命題中正確的是（）A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果α是2A的特征向量，即（2A）α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。由于（λE—A）x=0與（λE—AT）x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例還說明當(dāng)矩陣A不可逆時(shí)，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。所以應(yīng)選D。8、已知P—1AP=α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值A(chǔ)=5的特征向量，那么矩陣P不能是（）A、（α1，—α2，α3）B、（α1，α2+α3，α2一2α3）C、（α1，α3，α2）D、（α1+α2，α1一α2，α3）標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若P—1AP=Λ=，P=（α1，α2，α3），則有AP=PΛ，即（Aα1，Aα2，Aα3）=（λ1α1，λ2α2，λ3α3），可見αi是矩陣A屬于特征值λi（i=1，2，3）的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項(xiàng)A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3線性無關(guān)，故選項(xiàng)B正確。對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。故選項(xiàng)C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩陣A的特征向量，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。所以應(yīng)選D。9、二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（2x1+3x2+x3）2一5（x2+x3）2的規(guī)范形為（）A、y12+y22+4y32B、y22一y32C、y12一y22一y32D、y12一y22+y32標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將二次型中的括號(hào)展開，并合并同類項(xiàng)可得f（x1，x2，x3）=5x1x2+5x2x2一4x3x2+14x1x2+4x1x3—4x2x3，則該二次型矩陣為可知，矩陣A的特征根為12，一6，0。因此該二次型的正慣性指數(shù)p=1，負(fù)慣性指數(shù)q=1，所以選B。10、設(shè)f=xTAx，g=xTBx是兩個(gè)n元正定二次型，則下列未必是正定二次型的是（）A、xT（A+B）xB、xTA—1xC、xTB—1xD、xTABx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。設(shè)Apj=λjpj，則A—1pj=pj，A—1的n個(gè)特征值（j=1，2，…，n）必都大于零，這說明A—1為正定陣，xTA—1x為正定二定型。同理，xTB—1x為正定二次型，對(duì)任意n維非零列向量x都有xT（A+B）x=xTAx+xTBx＞0，這說明xT（A+B）x為正定二次型。由于兩個(gè)同階對(duì)稱陣的乘積未必為對(duì)稱陣，所以xTABx未必為正定二次型。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、行列式=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一2（x3+y3）知識(shí)點(diǎn)解析：將后兩列加到第一列上=一2（x3+y3）。12、設(shè)三階方陣A與B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=一1是方陣B的兩個(gè)特征值，則|A+2AB|=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：18知識(shí)點(diǎn)解析：由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一個(gè)特征值。因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均為λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，則E+2B的三個(gè)特征值分別為3，一1，一3。從而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（一1）X（一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。13、如果A=（B+E），且B2=E，則A2=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知A=（B+E）且B2=E，則即A2=A。14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：|A|=1，|B|=（2—1）（3—1）（3—2）=2，所以A，B均可逆，則也可逆。由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2—1=1，同理可得|B*|=|B|3—1=4，且15、已知n階矩陣則r（A2一A）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2一A=A（A—E），且矩陣可逆，所以r（A2一A）=r（A—E），而r（A—E）=1，所以r（A2一A）=1。16、向量組α1=（1，一2，0，3）T，α2=（2，一5，一3，6）T，α3=（0，1，3，0）T，α4=（2，一1，4，7）T的一個(gè)極大線性無關(guān)組是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α4知識(shí)點(diǎn)解析：用已知向量組組成一個(gè)矩陣，對(duì)矩陣作初等行變換，則有（α1，α2，α3，α4）因?yàn)榫仃囍杏腥齻€(gè)非零行，所以向量組的秩為3，又因?yàn)榉橇阈械牡谝粋€(gè)不等于零的數(shù)分別在1，2，4列，所以α1，α2，α4是向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組。17、方程組有非零解，則k=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式等于零，即=12（k+1）=0，因此得k=一1。18、設(shè)n階矩陣A的秩為n一2，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則Ax=b的通解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則α2一α1，α3一α1是Ax=0的兩個(gè)非零解，且它們線性無關(guān)。又n一r（A）=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=b的通解為α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2為任意常數(shù)。19、已知α=（1，3，2）T，β=（1，一1，一2）T，A=E一αβT，則A的最大的特征值為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉橇懔邢蛄喀?，β的秩均?，所以矩陣αβT的秩也為1，于是αβT的特征值為0，0，tr（αβT），其中tr（αβT）=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值為1，1，7，則A的最大的特征值為7。20、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值分別為0，1，2，如果特征值0和1對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=（1，2，1）T，α2=（1，一1，1）T，則特征值2對(duì)應(yīng)的特征向量是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：t（一1，0，1）T，t≠0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)所求的特征向量為α=（x1，x2，x3）T，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，故有所以對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量是t（一1，0，1）T，t≠0。21、設(shè)A是m×n矩陣，E是n階單位陣，矩陣B=一aE+ATA是正定陣，則a的取值范圍是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＜0知識(shí)點(diǎn)解析：BT=（一aE+ATA）T=一aE+ATA=B}，故B是一個(gè)對(duì)稱矩陣。B正定的充要條件是對(duì)于任意給定的x≠0，都有xTBx=xT（一aE+ATA）x=一axTx+xTATAx=一axTx+（Ax）TAx＞0，其中（Ax）T（Ax）≥0，xTx＞0，因此a的取值范圍是一a＞0，即a＜0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。（Ⅰ）計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；（Ⅱ）證明矩陣Q可逆的充分必要條件是α2A—1α≠b。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A—1有（Ⅱ）由下三角形行列式及分塊矩陣行列式的運(yùn)算，有=|A|2（b一αTA—1α）。因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|（b一αTA—1α）。由此可知，Q可逆的充分必要條件是b—αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α，β為三維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別為α，β的轉(zhuǎn)置。證明：r（A）≤2。標(biāo)準(zhǔn)答案：r（A）=r（ααT+ββT）≤r（ααT）+r（ββT）≤r（α）+r（β）≤2。因?yàn)锳=ααT+ββT，A為3×3矩陣，所以r（A）≤3。因?yàn)棣?，β為三維列向量，所以存在三維列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，從而r（A）≤2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、η*是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，ξ1，…，ξn—r是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明：（Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r線性無關(guān)；（Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）假設(shè)η*，ξ1，ξn—r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)c0，c1，…，cn—r，使得c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，（1）用矩陣A左乘上式兩邊，得0=A（c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r）=c0Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=c0b，其中b≠0，則c0=0，于是（1）式變?yōu)閏1ξ1+…+c…ξn—r=0，ξ1，ξn—r是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故ξ1，ξn—r線性無關(guān)，因此c1=c2=…=cn—r=0，與假設(shè)矛盾。所以η*，ξ1，ξn—r線性無關(guān)。（Ⅱ）假設(shè)η*，η*+ξ1，η*+ξn—r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)c0，c1，…，cn—r使c0η*+c1（η*+ξ1）+…+cn—r（η*+ξn—r）=0，即（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0。（2）用矩陣A左乘上式兩邊，得0=A[（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r]=（c0+c1…+cn—r）Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=（c0+c1…+cn—r）b，因?yàn)閎≠0，故c0+c1+…+cn—r=0，代入（2）式，有c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，ξ1，ξn—r是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故ξ1，ξn—r線性無關(guān)，因此c1=c2=…=cn—r=0，則c0=0。與假設(shè)矛盾。綜上，向量組η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r線性無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有矩陣C。標(biāo)準(zhǔn)答案：該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對(duì)系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當(dāng)a=一1，b=0時(shí)，線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B。此時(shí)增廣矩陣變換為所以通解為（其中c1，c2為任意常數(shù)）。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，k1，…，ks為實(shí)數(shù)，滿足k1+k2+…+ks=1。證明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程組的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，故有Aηi=b（i=1，…，s）。因?yàn)閗1+k2+…+ks=1，所以Ax=A（k1η1+k2η2+…+ksηs）=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b（k1+…+ks）=b，由此可見x也是方程組的解。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、已知的一個(gè)特征向量。（Ⅰ）求參數(shù)a，b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值；（Ⅱ）問A能不能相似對(duì)角化?并說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）設(shè)λ是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值，根據(jù)特征值的定義，有（A—λE）p=0，即從而有方程組解得a=一3，b=0，且p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=一1。（Ⅱ）A的特征多項(xiàng)式得A的特征值為λ=一1（三重）。若A能相似對(duì)角化，則特征值λ=一1有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，而故r（A+E）=2，所以齊次線性方程組（A+E）x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，A不能相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=（1，一1，1）T是A的屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為三階單位矩陣。（Ⅰ）驗(yàn)證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=（A5一4A3+E）α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。由關(guān)系式B=A5一4A3+E及A的三個(gè)特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三個(gè)特征值為μ1=一2，μ2=1，μ3=1。設(shè)α1，α2為B的屬于μ2=μ3=1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，又由A為對(duì)稱矩陣，則B也是對(duì)稱矩陣，因此α1與α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個(gè)線性無關(guān)的解，即得其基礎(chǔ)解系為B的全部特征向量為其中k1≠0，k2，k3不同時(shí)為零。（Ⅱ）令P=（α1，α2，α3）知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明：合同。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=CTA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是三階矩陣，有特征值1，一1，2，則下列矩陣中可逆的是()．A、E—AB、E+AC、2E—AD、2E+A標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：｜2E+A｜≠0(一2不是A的特征值)．故選D．2、已知A是n階可逆陣，則與A必有同特征值的矩陣是()．A、A—1B、A2C、ATD、A*標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AT和A有相同的特征值，因｜λE+A｜=｜(λE+A)T=｜(λE)T+AT｜=｜λE+AT｜．A和AT的特征多項(xiàng)式相等．故選C．3、向量組(I)α1，α2，…，αs其秩為r1，向量組(II)β1，β2，…，βs其秩為r2，且βi(i=1，2，…，s)均可由向量組(I)α1，α2，…，αs線性表出，則必有()．A、α1+β1，α2+β2，…，αs+β1的秩為r1+r2B、α1—β1，α2—β2，…，αs—β1的秩為r1—r2C、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r22D、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1，α2，…，αs的極大無關(guān)組為α1，α2，…，，則αi(i=1，2，…，s)均可由α1，α2，…，線性表出，又βi(i=1，2，…，s)可由(I)表出，即可由α1，α2，…，也是向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的極大線性無關(guān)組，故r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)=r1，故選D．4、已知r(A)=r1，且方程組AX=α有解，r(B)=r2，且BY=β無解，設(shè)A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r[α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β]=r，則()．A、r=r1+r2B、r＞r1+r2C、r=r1+r2+1D、r≤r1+r2+1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)r[α1，α2，…，αn，α]=1，r[β1，β2，…，βn，β]=r1+1，故r[α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β]≤r1+r2+1．故選D．5、設(shè)A是n階矩陣，經(jīng)若干次矩陣的初等變換得到矩陣B，那么()．A、必有｜A｜=｜B｜B、必有｜A｜≠｜B｜C、若｜A｜＞0，則｜B｜＞0D、若｜A｜=0，則｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于初等變換不改變矩陣的秩，即r(A)=r(B)，若｜A｜=0，則｜B｜=0．而(A)、(B)、(C)均可舉例說明不成立．故選D．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、已知f(x)=，則x3的系數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1．知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)行列式的定義，f(x)是x的多項(xiàng)式，且最高次冪為x3．容易看出，含x3的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即主對(duì)角線上4個(gè)元素之積x3和對(duì)應(yīng)T(—1)τ(1243)a11a22a34a43的項(xiàng)一1．x．x．1．2x=一2x3，所以多項(xiàng)式f(x)中x3的系數(shù)為1—2=一1．7、設(shè)3×3階矩陣A=[α，β1，β2]，B=[β，β1，β2]，其中α，β，β1，β2均為3維列向量，已知行列式｜A｜=2，｜B｜=，則行列式｜[α—β，2β1—β2，β1—2β2]｜=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一．知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)行列式和矩陣的性質(zhì)，得｜[α一β，2β1一β2，β1一2β2]｜=I[α，2β1一β2，β1一2β2]｜—｜[β，2β1一β2，β1一2β2]｜8、設(shè)α1，α2，α3均為3維列向量，記矩陣A=[一α1，2α2，α3]，B=[α1+α2，α1—4α3，α2+2α3]，如果行列式｜A｜=一2，則行列式｜B｜=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：B=[α1+α2，α1—4α3，α2+2α3]=[α1，α2，α3]又｜A｜=｜[—α1，2α2，α3]｜=一2｜[α1，α2，α3]｜，所以｜[α1，α2，α3]｜=一｜A｜=1，故｜B｜=I[α1，α2，α3]｜．=1．2=2．9、設(shè)A和B是兩個(gè)相似的三階矩陣，矩陣A有特征值1，矩陣B有特征值2和3，則行列式｜AB+A｜=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：144．知識(shí)點(diǎn)解析：由于A，B為相似矩陣，因此有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，又｜AB+A｜=｜A｜．｜B+E｜，而｜A｜=λ1，λ2，λ3=6，｜B+E｜=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=2．3．4=24，故｜AB+A｜=6×24=144．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)10、求矩陣A=的秩，其中a，b為參數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用初等變換將A化成階梯形由階梯形矩陣可見當(dāng)a≠1且b≠2時(shí)，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)為4，此時(shí)r(A)=4；當(dāng)a=1或b≠2時(shí)，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)為3，此時(shí)r(A)=3；當(dāng)a=1且b≠2時(shí)，有階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)為3，此時(shí)r(A)=3；當(dāng)a=1且b=2時(shí)，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)為2，此時(shí)r(A)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)A=，X=(xij)3×3．問a，b，c取何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解?并在有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：AX=B有解→r(A)r[A┆B]=2．為了決定A及[A┆B]的秩，下面對(duì)矩陣[A┆B]作初等行變換可見r(A)=2．當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=2，c=1時(shí)，有r[A┆]=2，故當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=2，c=1時(shí)，AX=B有解．當(dāng)a=1，b=2，c=1時(shí)，將矩陣[A┆B]進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形由此可得線性方程組Ax1=β1，Ax2=β1，Ax3=β3的通解分別為(其中βj為矩陣B的第j列，j=1，2，3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，證明：矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(A┆B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩陣A，X和B按列分塊為A=[α1，α2，…，αn]，X=[x1，x2，…，xp]，B=[β1，β2，…，βp]，則AX=A[x1，x2，…，xp]=[Ax1，Ax2，…，Axp]，故AX=B可以寫成AXj=βj(j=1，2，…，p)，所以，矩陣方程AX=B有解→線性方程組AXj=β有解(j=1，2，…，p)→向量βj可由A的列向量組α1，α2，…，αn線性表出→向量組α1，α2，…，αn與向量組α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp等價(jià)→r(α1，α2，…，αn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp)→r(A)=r(A┆B)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)有兩個(gè)n元齊次線性方程組Ax=0及Bx=0，證明：(1)若Ax=0的解都是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)．(2)若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由條件知Ax=0的解空間是Bx=0的解空間的子空間，因此，Ax=0的解空間的維數(shù)不大于Bx=0的解空間的維數(shù)，即n一r(A)≤n一r(B)，于是得r(A)≥r(B)．(2)由條件知Ax=0的解空間與Bx=0的解空間為同一空間，因而該空間的維數(shù)為n一r(A)=n一r(B)，由此即得r(A)=r(B)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)矩陣A=，已知齊次線性方程組Ax=0的解空間的維數(shù)為2，求a的值并求出方程組Ax=0的用基礎(chǔ)解系表示的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由四元齊次線性方程組Ax=0的解空間的維數(shù)為4一r(A)=2，得r(A)=2．對(duì)A作初等變換由階梯形矩陣可見，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=2，故a=1．當(dāng)a=1時(shí)，將A進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形式由此可得方程組Ax=0的用自由未知量表示的通解于是得Ax=0的用基礎(chǔ)解系表示的通解為x=k1ξ1+k2ξ2(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)A、B均為n階方陣，證明：｜AB｜=｜A｜．｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接利用分塊矩陣，有=(一1)n．(一1)n｜AB｜=｜AB｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)A是n階方陣，E+A可逆，記f(A)=(E—A)(E+A)—1，證明：(1)(E+f(A))(E+A)=2E．(2)f(f(A))=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(E+f(A))(E+A)=[E+(E—A)(E+A)—1](E+A)=E+A+E—A一2E．(2)f(f(A))=(E一f(A))(E+f(A))—1=[E一(E—A)(E+A)—1][E+(E—A)(E+A)—1]—1=[(E+A)一(E—A)](E+A)—1[E+(E—A)(E+A)—1]—1=2A[E+(E一A)(E+A)—1(E+A)]—1=2AE(E+A)+(E—A)—]—1=2A．(2E)—1=A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT．試計(jì)算：(1)｜A｜．(2)An．(3)A—1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)An=(E+αβT)n=En+nEn—1αβT+En—2(αβT)2+…當(dāng)k≥2時(shí)，(αβT)k=(αβT)(αβT)．…．(αβT)=α(αβTα)(αβTα)．…．βT=0．故An=E+nαβT．(3)A2=(E+αβT)(E+αβT)=E+2αβT+αβT．αβT=E+2αβT=2E+2αβT—E=2A—E．2A—A2=E，A(2E一A)=E，A—1=(2E—A)=E一αβT．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A是n階方陣，且E+A可逆，令f(A)=(E—A)(E+A)—1，證明：若A是反對(duì)稱矩陣，則f(A)是正交陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：AT=一A，E+A可逆，要證f(A)=(E一A)(E+A)—1是正交陣，只要證f(A)f(A)T=E，即(E—A)(E+A)—1[(E—A)(E+A)—1]T=(E—A)(E+A)—1[(E+A)—1]T(E—A)T=(E—A)(E+A)—1(E—A)—1(E+A)=(E+A)—1(E一A)(E一A)—1(E+A)=E．即f(A)是正交陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：方陣A是正交陣的充分必要條件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，則它的每一個(gè)元素等于自己的代數(shù)余子式，若｜A｜=一1，則它的每個(gè)元素等于自己的代數(shù)余子式乘一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．A正交→AAT=E→｜A｜=±1．若｜A｜=1，則AA*=｜A｜E=E，而已知AAT=E，從而AT=A*，即aij=Aij；若｜A｜=一1，則AA*=｜A｜E=一E，A(一A*)=E，而已知AAT=E，從而有一A*=AT，即aij=一Aij．充分性．｜A｜=1且aij=一Aij，則A*=AT，AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交陣；｜A｜=一1，且aij=一Aij時(shí)，則一A*=AT，AA*=｜A｜E｜=一E，即AAT=E，A是正交陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A是n階方陣，且A2=A，證明：(A+E)k=E+(2k一1)A．標(biāo)準(zhǔn)答案：證用歸納法．當(dāng)k=1時(shí)，A+E=A+E，成立．假設(shè)k=1時(shí)等式成立，即(A+E)k—1=E+(2k—1一1)A．證明k時(shí)成立，(A+E)k=(A+E)(A+E)k—1=(A+E)[E+(2k—1一1)A]=E+A+(2k—1一1)A+(2k—1一1)A2=E+[2(2k—1一1)+1]a=E+(2k一1)A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、A、B是n階方陣，其中A可逆，且滿足A=(A一λE)B，其中λ是常數(shù)，證明：AB=BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可知A=AB一λB，①左乘A—1，得E=B一λA—1B=(E一λA—1)B=B(E—λA—1)=B(A一λE)A—1．右乘A，得A=B(A一λE)=BA一λB．②比較①式及②式，得AB=BA．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f’(x)=，其中a＜b＜c，證明：f’(a)≠0且f’(b)≠0，f’(c)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：作輔助函數(shù)因f(x)=0的三根為a，b，c，故f’(x)的兩個(gè)根在(a，b)，(b，c)中，故f’(a)≠0(同理f’(c)≠0，f’(b)≠0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A=，問是否存在非單位陣的B3×3，使得AB=A．若不存在，說明理由．若存在，求出所有滿足AB=A的B(B≠E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=A，A(B—E)=0，B≠E，B—E≠0．故當(dāng)A可逆時(shí)，AX=0有唯一零解，不存在B≠E，使得AB=A．當(dāng)A不可逆時(shí)，AX=0有非零解，存在B≠F，使得AB=A成立．使得AB=A成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)向量α1=(1，一1，2，一1)T，α2=(一3，4，一1，2)T，α3=(4，一5，3，一3)T，α4=(一1，λ，3，0)T，β=(0，k，5，一1)T．試問λ，k取何值時(shí)，β不能由α1，α2，α3，α4線性表出?λ，k取何值時(shí)，β可由α1，α2，α3，α4線性表出?并寫出線性表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題相當(dāng)于討論線性方程組AX=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β何時(shí)有解?無解?當(dāng)k≠1，λ=2時(shí)，β不能由α1，α2，α3，α4線性表出，當(dāng)k=1，λ=2時(shí)，β可由α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法唯一．所以β=(3一k1—2k2)α1+(1+k1—k2)α2+k1α3+k2α4(其中k1，k2為任意常數(shù))．當(dāng)λ≠2，k為任意值時(shí)，β可由α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法不唯一．其中λ≠2，k，μ為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A、B是n階方陣，E+AB可逆．(1)驗(yàn)證E+BA也可逆，且(E+BA)—1=E—B(E+AB)—1A．(2)設(shè)P=xiyi=1，利用(1)證明P可逆，并求P—1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(E+BA)[E—B(E+AB)—1A]=E+BA—B(E+AB)—1A—BAB(E+AB)—1A=E+BA—B(E+411)(E+AB)—1A=E，故(E+BA)—1=E—B(E+AB)—1A．(2)P==E+XY—1，其中X=(x1，x2，…，xn)T，Y=(y1，y2，…，yn)T．因1+XTY=1+xiyi=2≠0，由(1)知P=E+XYT可逆，且P—1=(E+XYT)T=E—X(1+YTX)YT=E一2XYT=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、已α1=(1，一2，1，0，0)，α2=(1，一2，0，1，0)，α3=(0，0，1，一1，0)，α4=(1，一2，3，一2，0)是線性方程組的解向量，問α1，α2，α3，α4是否構(gòu)成此方程組的基礎(chǔ)解系，假如不能，是多了還是少了?若多了，如何去除?若少了，如何補(bǔ)充?標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換如下知r(A)=2，因未知量個(gè)數(shù)n=5，故基礎(chǔ)解系應(yīng)由n一r(A)=5—2=3個(gè)線性無關(guān)解向量組成，將行向量組α1，α2，α3，α4作初等行變換如下：得r(α1，α2，α3，α4)=2．α1，α2是極大線性無關(guān)組．從而知α1，α2，α3，α4不能構(gòu)成基礎(chǔ)解系，應(yīng)去除α1，α2，α3，α4中線性相關(guān)的向量(這里應(yīng)去除α3，α4)，保留極大線性無關(guān)組α1，α2，并補(bǔ)充一個(gè)線性無關(guān)解向量．由方程組的系數(shù)矩陣A的等價(jià)階梯形矩陣及已知的解向量α1，α2知，補(bǔ)充一個(gè)線性無關(guān)解向量β，應(yīng)取自由未知量為(0，0，1)(使與α1，α2線性無關(guān))代入階梯形矩陣，得β=(5，一6，0，0，1)，從而α1，α2，β是方程組的基礎(chǔ)解系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)齊次線性方程組其中a≠0，b≠0，n≥2．試討論a，b為何值時(shí)，方程組僅有零解、有無窮多組解?在有無窮多組解時(shí)，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)行列式｜A｜==[a+(n一1)b](a一b)n—1．當(dāng)a≠b且a≠(1一n)b時(shí)，方程組僅有零解．當(dāng)a=b時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作行初等變換，有原方程組的同解方程組為x1，x2，…，xn=0，其基礎(chǔ)解系為α1=(一1，1，0，…，0)T，α1=(一1，0，1，…，0)T，α3=(一1，0，0，…，1)T．方程組的全部解是x=c1α1+c2α2+…+cn—1αn—1(c1，c2，…，an—1為任意常數(shù))．當(dāng)a=(1一n)b時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作行初等變換，有其基礎(chǔ)解系為β=(1，1，…，1)T．方程組的全部解是x=cβ(c為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)n階矩陣A=，求r(A)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A=，所以｜A｜=(a一1)n—1(a+n一1)，所以當(dāng)a≠1，且a≠1—n時(shí)，｜A｜≠0，從而r(A)=n；當(dāng)a=1時(shí)，所以秩r(A)=n一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)A、B都是m×n矩陣，證明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將矩陣A與B按列分塊為A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，并記r(A)=r1，r(B)=r2．不失一般性，設(shè)α1，α2，…，是A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，β1，β2，…，是B的列量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，從而α1，α2，…，αn可由α1，α2，…，線性表示，β1，β2，…，βn可由β1，β2，…，線性表示．因此，α1+β1，α2+β2，…，αn+βn可由向量組α1，…，線性表示，故r(A+B)≤r(A)+r(B)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)A為m×n矩陣，證明：非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是對(duì)齊次線性方程幺且ATy=0的任何解向量u均有uTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．把A按列分塊為A=[α1，α2，…，αn]，其中αj(j=1，2，…，n)都是m維列向量，由于方程組Ax=b有解，所以存在向量[k1，k2，…，kn]T使b=k1α1+k2α2+…+knαn．又因AT=[α1，α2，…，αn]T=，故滿足方程組ATy=0的任何解向量u均有αjTu=0(j=1，2，…，n)．因此，uTb=bTu=k1α1Tu+k2α2Tu+…+knαnTu=0．充分性．由于滿足方程組ATy=0的任何解向量U均有uTb=bTu=0，所以u(píng)滿足方程組令r(A)=r，則，r(AT)=r．從而方程組ATy=0的基礎(chǔ)解系含m—r個(gè)線性無關(guān)的解向量．因?yàn)闈M足方程組ATy=0的任何解向量u都滿足方程組①，以及滿足方程組①的任何解向量u必滿足方程組ATy=0，所以方程組①與方程組ATy=0同解，故方程組①的解空間的維數(shù)為m一r．于是=m一(m一r)=r．因而r(A)=r[A┆b]=r，故非齊次線性方程組Ax=b有解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)a1，a2，…，an是n個(gè)互不相同的數(shù)，b1，b2，…，bn是任意一組給定的數(shù)，證明：存在唯一的多項(xiàng)式f(x)=C0xn—1+C1xn—2+…+Cn—1，使得f(ai)=bi(i=1，2，…，n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=C0xn—1+C1xn—2+…+Cn—1即是該多項(xiàng)式，則有上述非齊次線方程組因?yàn)槠湎禂?shù)行列式為n階范德蒙行列式，又因a1，a2，…，an互不相同，故Dn=Vn≠0，由克萊姆法則知方程組存在唯一解(C0，C1，Cn—1)，故存在唯一的多項(xiàng)式f(x)，使得f(ai)=bi(i=1，2，…，n)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，則A=OD、若A可逆，則A=E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2=A，所以A(E－A)=O，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(E－A)=n，若A可逆，則r(A)=n，所以r(E－A)=0，A=E，選D．2、若向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，且向量α4不可由向量組α1，α2，α3線性表示，則下列結(jié)論正確的是()．A、α1，α2，α3線性無關(guān)B、α1，α2，α3線性相關(guān)C、α1，α2，α4線性無關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若α1，α2，α3線性無關(guān)，因?yàn)棣?不可由α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，矛盾，故α1，α2，α3線性相關(guān)，選B．3、設(shè)A是m×n矩陣，且m＞n，下列命題正確的是()．A、A的行向量組一定線性無關(guān)B、非齊次線性方程組AX=b一定有無窮多組解C、ATA一定可逆D、ATA可逆的充分必要條件是r(A)=n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若ATA可逆，則r(ATA)=n，因?yàn)閞(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因?yàn)閞(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，選D．4、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，且非齊次線性方程組AX=b有兩個(gè)不同解η1，η2，則下列命題正確的是()．A、AX=b的通解為k1η1+k2η2B、η1+η2為AX=b的解C、方程組AX=0的通解為k(η1－η2)D、AX=b的通解為k1η1+k2η2+(η1+η2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉驱R次線性方程組AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因?yàn)锳*≠O，所以r(A)=n－1，η2－η1，為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，選C．5、與矩陣相似的矩陣為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征值為1，2，0，因?yàn)樘卣髦刀际菃沃担訟可以對(duì)角化，又因?yàn)榻o定的四個(gè)矩陣中只有選項(xiàng)D中的矩陣特征值與A相同且可以對(duì)角化，所以選D．6、設(shè)則A與B()．A、合同且相似B、相似但不合同C、合同但不相似D、既不相似又不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然A，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，由｜λE－A｜=0，得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE－B｜=0，得B的特征值為λ1=1，λ2=λ3=3，因?yàn)锳，B慣性指數(shù)相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，選C．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設(shè)A，B都是三階矩陣，A相似于B，且｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，則｜B－1+2E｜=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：60知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麰－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，所以A的三個(gè)特征值為，1又A～B，所以B的特征值為，1從而B－1的特征值為1，2，3，則B－1+2E的特征值為3，4，5，故｜B－1+2E｜=60．8、設(shè)，B≠O為三階矩陣，且BA=0，則r(B)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：BA=O=>r(A)+r(B)≤3，因?yàn)閞(A)≥2，所以r(B)≤1，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)=1．9、設(shè)｜A｜＞0且A*的特征值為－1，－2，2，則a11+a22+a33=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A－1－1，1，根據(jù)逆矩陣之間特征值的倒數(shù)關(guān)系，則A的特征值為－2，－1，1，于是a11+a22+a33=－2－1+1=－2．10、設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜==(λ+1)(λ－1)2=0得λ1=－1，λ2=λ3=1．因?yàn)锳有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以r(E－A)=1，解得a=4．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、設(shè)A是正交矩陣，且｜A｜＜0．證明：｜E+A｜=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是正交矩陣，所以ATA=E，兩邊取行列式得｜A｜2=1，因?yàn)椋麬｜＜0，所以｜A｜=－1．由｜E+A｜=｜ATA+A｜=｜(AT+E)A｜=｜A｜｜AT+E｜=－｜AT+E｜=－｜(A+E)｜T=－｜E+A｜得｜E+A｜=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)A，B為三階矩陣，且A～B，且λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，｜B｜=2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，所以A，B特征值相同，設(shè)另一特征值為λ1，由｜B｜=λ1λ2λ3=2得λ3=1．A+E的特征值為2，3，2，(A+E)－1的特征值為因?yàn)锽的特征值為1，2，1，所以B*的特征值為即為2，1，2，于是｜B*｜=4，｜(2B)*｜=｜4B*｜=43｜B*｜=256，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A)=1的充分必要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A=αβT．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)r(A)=1，則A為非零矩陣且A的每行元素都成比例，令故A=αβT，顯然α，β為非零向量．設(shè)A=αβT，其中α，β為非零向量，則A為非零矩陣，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)α1，α2，…，αn為n個(gè)n維列向量，證明：α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分必要條件是標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=(α1，α2，…，αn)，ATA=r(A)=r(ATA)．向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分必要條件是r(A)=n，即r(ATA)=n或｜ATA｜≠0，從而α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分必要條件是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)齊次線性方程組其中ab≠0，n≥2．討論a，b取何值時(shí)，方程組只有零解、有無窮多個(gè)解?在有無窮多個(gè)解時(shí)求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：=[a+(n－1)b](a－b)n－1．(1)當(dāng)a≠b，a≠(1－n)b時(shí)，方程組只有零解；(2)當(dāng)a=b時(shí)，方程組的同解方程組為x1+x2+…+xn=0，其通解為X=k1(－1，1，0，…，0)T+k2(－1，0，1，…，0)T+…+n－1(－1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn為任意常數(shù))；(3)令當(dāng)a=(1－n)b時(shí)，r(A)=n－1，顯然(1，1，…，1)T為方程組的一個(gè)解，故方程組的通解為k(1，1，…，1)T(k為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)α1，α2，α3，α4為四元非齊次線性方程組BX=b的四個(gè)解，其中r(B)=2．16、求方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求方程組(Ⅱ)BX=0的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(B)=2．所以方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，為方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、(Ⅰ)與(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(I)的通解為k1ξ1+k2ξ2=方程組(Ⅱ)的通解為取k2=k，則方程組(Ⅰ)與方程組(Ⅱ)的公共解為k(－1，1，1，1)T(其中k為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：r(A)=r(ATA)．標(biāo)準(zhǔn)答案：只需證明AX=0與ATAX=0為同解方程組即可．若AX0=0，則ATAX0=0．反之，若ATAX0=0，則X0TATAX0=0=>(AX0)T(AX0)=0=>AX0=0，所以AX=0與ATAX=0為同解方程組，從而r(A)=r(ATA)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)矩陣20、若A有一個(gè)特征值為3，求a；標(biāo)準(zhǔn)答案：｜λE一A｜=(λ2－1)[λ2－(a+2)λ+2a－1]，把λ=3代入上式得a=2，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求可逆矩陣P，使得PTA2P為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜AE－A2｜=0得A2的特征值為λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E－A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，－1，1)T；當(dāng)λ=9時(shí)，由(9E－A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．將α1，α2，α3正交規(guī)范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，將α4規(guī)范化得令P=(β1，β2，β3，β4)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3為三個(gè)三維線性無關(guān)的列向量，且滿足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．22、求矩陣A的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一個(gè)特征值為λ1=2；又由A(α1－α2)=－(α1－α2)，A(α2－α3)=－(α2－α3)，得A的另一個(gè)特征值為λ1=－1．因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以α1－α2與α2－α3也線性無關(guān)，所以λ2=－1為矩陣A的二重特征值，即A的特征值為2，－1，－1.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、判斷矩陣A可否對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣?－α2，α2－α3為屬于二重特征值－1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A一定可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、(1)若A可逆且A～B，證明：A*～B*；(2)若A～B，證明：存在可逆矩陣P，使得AP～BP．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因?yàn)锳～B，所以存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B，而A*=｜A｜A－1，B*=｜B｜B－1，于是由P－1AP=B，得(P－1AP)－1=B－1，即P－1A－1P=B－1，故P－1｜A｜A－1P=｜A｜B－1或P－1A*P=B，于是A*～B*．(2)因?yàn)锳～B，所以存在可逆陣P，使得P－1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP－1=P(BP)P－1，故AP～BP．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A，B為n階正定矩陣．證明：A+B為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B正定，所以AT=A，BT=B，從而(A+B)T=A+B，即A+B為對(duì)稱矩陣．對(duì)任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因?yàn)锳，B為正定矩陣，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B為正定矩陣．知