2.2周期信號(hào)與離散頻譜匯編

2.2周期信號(hào)與離散頻譜

2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開2.2.2周期函數(shù)的奇偶特性2.2.3周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)展開2.2.4傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開的關(guān)系2.2.5周期信號(hào)的強(qiáng)度表述返回2013年9月1/46頁(yè)在有限區(qū)間上，任何周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利(Dirichlet)條件，都可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式：余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中：常值分量2.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開2013年9月2/46頁(yè)在一周期內(nèi)，函數(shù)如果滿足：狄里赫利(Dirichet)條件:連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；只有有限個(gè)極值點(diǎn)。我們稱這樣的信號(hào)滿足狄里赫利(Dirichet)條件。只有滿足狄里赫利(Dirichet)條件的信號(hào)才可以應(yīng)用上述傅里葉級(jí)數(shù)展開式。一般的周期信號(hào)均滿足上述條件，較為典型的不滿足狄氏條件的信號(hào)我們還將以例題的形式進(jìn)行講解。(不要求自己去證明)P172013年9月3/46頁(yè)前面所得到的傅里葉級(jí)數(shù)展開式:可以寫成另外的形式：其中：這是傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開式的另外一種寫法，與前述公式完全相同。與教材的上公式寫法上不同，但實(shí)質(zhì)上是一樣的2013年9月4/46頁(yè)前面所得到的傅里葉級(jí)數(shù)展開式可以寫成另外的形式。其中：這是另外一種寫法，思想與教材相一致。將之稱為第二種寫法吧。2013年9月5/46頁(yè)……0tx(t)例:方波信號(hào)的頻譜描述在時(shí)域中該周期方波的表達(dá)式為:解由圖可見，這是一個(gè)周期信號(hào)，滿足狄氏條件（不證）可以應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)展開。只需應(yīng)用前面講過(guò)的公式計(jì)算各系數(shù)即可。P20例2.3與之類似2013年9月6/46頁(yè)……0tx(t)2013年9月7/46頁(yè)將所求得的各系數(shù)代回到傅里葉級(jí)數(shù)展開式中。與教材相一致的寫法2013年9月8/46頁(yè)將所求得的各系數(shù)代回到傅里葉級(jí)數(shù)展開式中。{第二種寫法（正弦）}2013年9月9/46頁(yè)在工程中為了更加形象地描述信號(hào)，常采用繪圖的方式。幅頻譜相頻譜①只包括基波及各奇次諧波，偶次諧波為0；②諧波的幅值以的規(guī)律衰減。由表達(dá)式可以看出，不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0幅值譜相位譜0

03

05

0qn(

)

/22013年9月10/46頁(yè)x(t)0tT0n=1n=3n=52013年9月11/46頁(yè)%%%周期方波的分解clearall;closeall;tic;A=5;f0=1;omiga_0=2*pi*f0;t=0:0.01:2;figure;S=0;%N=10001;%這個(gè)變量可以修改N=17000fori=1:2:N

part=4.*A/pi./i*sin(i.*omiga_0*t);h1=plot(t,part);%,'[0.1.*i,0.1.*i]','b');set(h1,'linewidth',2);holdon;S=S+part;i=i+1;endholdon;h2=plot(t,S,'r');set(gca,'fontsize',16,'fontweight','bold')set(h2,'LineWidth',5);gridontoc;MATLAB演示程序：(周期方波分解)2013年9月12/46頁(yè)周期方波信號(hào)的時(shí)、頻域描述4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0幅值譜相位譜0

03

05

0q

(

)

/22013年9月13/46頁(yè)例:畫出教材式2-3所示信號(hào)的三角頻譜圖。+=2013年9月14/46頁(yè)x1(t)=10sin(2p·

3·t+p/6)x2(t)=5sin(2p·

2·t+p/3)x3(t)=10sin(2p·

3·t+p/6)+5sin(2p·

2·t+p/3)

+=答案：A(w)-wq(w)-wA(w)-wq(w)-w+A(w)-wq(w)-w=2013年9月15/46頁(yè)若周期函數(shù)x(t)為奇函數(shù)，即x(t)=-x(-t)2.2.2周期函數(shù)的奇偶性若周期函數(shù)x(t)偶函數(shù)，即x(t)=x(-t)2013年9月16/46頁(yè)分析：若x(t)為奇函數(shù)，則有若x(t)為偶函數(shù)，則有可見這些系數(shù)并不需要都去求，如果不掌握可能出差錯(cuò)的。這里分部積分法應(yīng)用得較多，請(qǐng)多做練習(xí)。應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式得到的是周期信號(hào)的單邊頻譜。奇偶性小總結(jié)：2013年9月17/46頁(yè)例2.2周期性三角波的傅氏級(jí)數(shù)。x(t)0T0/2-T0/2At解該三角波在時(shí)域中表達(dá)式為：奇偶？？2013年9月18/46頁(yè)x(t)0T0/2-T0/2At$$$$$$$$$$自己做一遍！2013年9月19/46頁(yè)將所求得的各系數(shù)代回到傅里葉級(jí)數(shù)展開式中。2013年9月20/46頁(yè)

20

03

05

0

(

)相頻譜A(

)4A

24A9

24A25

20

03

05

0A2幅頻譜2013年9月21/46頁(yè)4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值譜4A

24A

9

24A

25

20

03

05

0

A

2三角波幅頻譜A(

)2013年9月22/46頁(yè)利用歐拉公式可推導(dǎo)出如下兩式：實(shí)際是兩式：代入：2.2.3周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式2013年9月23/46頁(yè)整理，周期信號(hào)可以寫為：P20式222013年9月24/46頁(yè)按實(shí)頻譜和虛頻譜形式幅頻譜和相頻譜形式利用它們與頻率間的關(guān)系做圖：幅頻譜圖實(shí)頻譜圖虛頻譜圖相頻譜圖雙邊頻譜其中：2013年9月25/46頁(yè)……0tx(t)例方波信號(hào)應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式進(jìn)行頻譜描述在時(shí)域中該周期方波的表達(dá)式為解=02013年9月26/46頁(yè)這種寫法是數(shù)學(xué)上的經(jīng)驗(yàn)，有點(diǎn)難度。2013年9月27/46頁(yè)幅值譜2A

2A3

2A5

0

A(

)

03

05

02A

2A3

2A5

-

0-3

0-5

0相位譜0

j(

)

03

05

0-

0-3

0-5

02013年9月28/46頁(yè)AA/2

0-

00Re

-

負(fù)頻率的說(shuō)明Im

負(fù)頻率“負(fù)頻率”是運(yùn)算的需要。實(shí)際中，只有把負(fù)頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正頻率項(xiàng)成對(duì)合并起來(lái)，才是實(shí)際的頻譜函數(shù)；從向量旋轉(zhuǎn)的角度：一個(gè)向量的實(shí)部可以看成兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實(shí)軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。在傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中的頻率范圍為也就是出現(xiàn)了“負(fù)頻率”。我們來(lái)看一下負(fù)頻率是什么含義。所以負(fù)頻率僅是向量的旋轉(zhuǎn)方向不同而已，沒有其它的特殊含義。2013年9月29/46頁(yè)例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實(shí)頻及虛頻譜圖。解：由歐拉公式將正弦函數(shù)寫為正弦波用正弦波說(shuō)明負(fù)頻率的含義：2013年9月30/46頁(yè)余弦波由歐拉公式將余弦函數(shù)寫為：2013年9月31/46頁(yè)1x(t)=sin

0tt0cnR0

0-

0

0

-

0-1/2cnI0

0-

0雙邊幅頻譜1x(t)=cos

0t0tcnR0

0-

01/21/2

01/2cnI0

0-

0

0

0-

01/21/21/21/2An0

0

1單邊幅頻譜An0

0

1單邊幅頻譜雙邊幅頻譜2013年9月32/46頁(yè)例2-3：畫出的頻譜幅值頻譜圖1.三角頻譜(正弦形式)相位頻譜圖單邊雙邊2013年9月33/46頁(yè)幅值頻譜圖1.三角頻譜(余弦形式)相位頻譜圖2013年9月34/46頁(yè)在-f0處：即n=-1時(shí)實(shí)頻圖虛頻圖雙邊幅頻圖雙邊相頻圖2.復(fù)指數(shù)頻譜在f0處：即n=1時(shí)2013年9月35/46頁(yè)2.2.4傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開的關(guān)系2013年9月36/46頁(yè)=>CnR＝an/2，CnI＝-bn/2

C0=a0=>2013年9月37/46頁(yè)三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量a0=C0復(fù)指數(shù)常量C0=a0余弦分量幅值an=2CnR復(fù)數(shù)Cn的實(shí)部CnR=an/2正弦分量幅值bn=-2CnI復(fù)數(shù)Cn的虛部CnI=-bn/2振幅An=2|Cn|復(fù)數(shù)Cn的模|Cn|=An/2相位qn=arctan(bn/an)相位jn=arctan(bn/an)傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開的關(guān)系2013年9月38/46頁(yè)幾點(diǎn)結(jié)論復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（

從-

到+

）兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系：雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)傅氏展開式的實(shí)頻譜總是偶對(duì)稱的，虛頻譜總是奇對(duì)稱的。通過(guò)以上分析及舉例，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：2013年9月39/46頁(yè)周期信號(hào)的頻譜是離散譜；（離散性）每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；（諧波性）綜上所述，周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)如下：4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值譜4A

24A

9

24A

25

20

03

05

0

A

2三角波幅頻譜A(

)2013年9月40/46頁(yè)一般周期信號(hào)展開成傅氏級(jí)數(shù)后，在頻域上是無(wú)限的，但從總體上看，工程上常見的周期信號(hào)，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過(guò)高的諧波分量。（收斂性）4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值譜4A

24A

9

24A

25

20

03

05

0

A

2三角波幅頻譜A(

)2013年9月41/46頁(yè)2.2.5周期信號(hào)的強(qiáng)度表述峰值XF

絕對(duì)均值m|x|

有效值Xrms

平均功率Pav1、峰值XF一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)出現(xiàn)的最大瞬時(shí)幅值的絕對(duì)值。峰—峰值XF-F一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)出現(xiàn)的最大瞬時(shí)值與最小瞬時(shí)值之差。峰值作用：正確估計(jì)測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)工作范圍，不至于產(chǎn)生削波現(xiàn)象，從而能真實(shí)地反映被測(cè)信號(hào)的最大值。x(t)0tT0XFXrmsmxXF-F2013年9月42/46頁(yè)均值：——信號(hào)的常值分量2、均值mx與